Scarica Esercizi di Algebra Lineare: Prodotto Scalare e Vettori Orthogonali e più Appunti in PDF di Geometria solo su Docsity! Esercizi di Algebra Lineare Vettori: prodotto scalare Anna M. Bigatti 27 settembre 2012 Il piano reale Fissiamo nel piano R2 un sistema di coordinate ortogonali monometrico. Esercizio 1 Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?) (a) punti (x, y) che soddisfano x = 1 (b) punti (x, y) che soddisfano x = 1 e y = x (c) punti (x, y) che soddisfano 2x− 3y = 1 (d) punti (x, y) che soddisfano xy = 0 (e) punti (x, y) che soddisfano xy − x = 0 Prodotto scalare Ora definiamo una strana moltiplicazione: Definizione 2 Il prodotto scalare di due vettori u = (a1, a2) e v = (b1, b2) in R2 è lo scalare (un numero) u · v = (a1, a2) · (b1, b2) def = a1 · b1 + a2 · b2 Lemma 3 Dati u e v vettori in R2 abbiamo che (a) La lunghezza (o modulo) di v è √ v · v (b) u e v sono ortogonali se e solo se u · v = 0 Dim. Siano u = (a1, a2) e v = (b1, b2) . (a) La lunghezza di v è |v| = √ a21 + a 2 2 = √ (a1, a2) · (a1, a2) = √ v · v (b) Consideriamo i punti A(a1, a2) , B(b1, b2) , O(0, 0) . Allora u = A−O e v = B−O , e la somma è il vettore libero u+ v = (a1 + b1, a2 + b2) , quindi |u+v|2 = √ (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 = √ a21 + b 2 1 + 2a1b1 + a 2 2 + b 2 2 + 2a2b2 = |u|2+|v|2+2u·v Possiamo applicare il teorema di Pitagora se e solo se u e v sono perpendicolari (u ⊥ v ), nel qual caso abbiamo |u+ v|2 = |u|2 + |v|2 1 e quindi u · v = 0 ⇐⇒ u ⊥ v ut Dati u , v , w vettori in R2 e β ∈ R valgono le seguenti proprietà: (a) Simmetria: u · v = v · u (b) Linearità: (β · u) · v = β · (u · v) e (u+ v) · w = u · w + v · w (c) Positività: u · u ≥ 0 ; e u · u = 0 se e solo se u = 0 Definizione 4 Il versore di v è il vettore di modulo 1 e direzione e verso uguale a v . vers(v) = v |v| Esercizio 5 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano. Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?) (a) vettori perpendicolari al vettore (3, 4). (b) vettori perpendicolari a entrambi i vettori (2, 2) e (0, 1). (c) vettori di lunghezza 2 e perpendicolari a (0, 1). (d) calcolare il perimetro del triangolo con vertici in A = (1, 2) , B = (3, 1) , C = (−1,−1) . Esercizio 6 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano. Determinare per quali valori reali del parametro b il triangolo ABC con A = (1,−2) , B = (1, 0) , C = (0, b) è un triangolo rettangolo Esercizio 7 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano e si conside- rino i vettori u = (2, 2) , v = (−1, 2) . (a) Trovare altri tre vettori che hanno lo stesso modulo di v . (b) Trovare altri tre vettori che hanno la stessa direzione di v . (c) Descrivere l’insieme dei vettori perpendicolari a u . Esercizio 8 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano e si consideri il vettore u = (10, 30) . (a) Calcolare v = vers(u) (b) Calcolare v′ = vers(−u) (c) Trovare un vettore w perpendicolare a v (d) Esiste un vettore di lunghezza minima tra i vettori non nulli e paralleli a u? Lo spazio reale Esercizio 9 Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?) (a) punti (x, y, z) che soddisfano x = 1 (b) punti (x, y, z) che soddisfano x = 1 e y = 0 (c) punti (x, y, z) che soddisfano xy = 0 (d) punti (x, y, z) che soddisfano xy − x = 0 2
