Scarica TOLC PSI - sezione di MATEMATICA e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Psicologia Generale solo su Docsity! TOLC PSI - SEZIONE DI MATEMATICA INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI INSIEMI Insieme: collezione di oggetti (detti membri o elementi dell’insieme). Il concetto di “insieme” e quello di “elemento” sono concetti primitivi: non definibili tramite concetti più semplici - x ∈ A: x appartiene ad A. x ∉ A: x non appartiene ad A - A ⊆ B (A ⊂ B): A è contenuto (propriamente) in B, A è sottoinsieme (proprio) di B Due insiemi A e B sono uguali quando contengono gli stessi elementi Un insieme si dice vuoto se non ha elementi e si indica con il simbolo o il simbolo { } L’insieme ambiente o universo (U) è un insieme che contiene la totalità degli elementi da cui bisogna prendere quelli occorrenti per formare un insieme. Per esempio, se A è l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano, l’insieme universo è l’insieme di tutte le lettere dell’alfabeto italiano CORRISPONDENZE TRA INSIEMI Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca (da A a B) quando a ogni elemento 𝑎 di A corrisponde uno e un solo elemento 𝑏 di B; vi è una corrispondenza biunivoca quando a ogni elemento di un insieme corrisponde uno e un solo elemento dell’altro insieme e viceversa OPERAZIONI CON GLI INSIEMI - L’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme C formato dagli elementi che si trovano sia in A sia in B; si scrive C = A ⋂ B. Per esempio: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d,e, f, g } allora A ⋂ B = { a, e } - L’unione di due insiemi A e B è l’insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A e anche dagli elementi che appartengono a B, se ripetuti vanno presi una sola volta: C = A ⋃ B. Per esempio: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d,e, f, g } allora A ⋃ B { a, b, c, d, e, f, g, i, o, u } - La differenza di due insieme A e B è l’insieme C costituito dagli elementi di A che non appartengono a B: C = A - B oppure C = A \ B. Per esempio: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d,e, f, g } allora A - B { i, o, u } - L’insieme complementare di B rispetto all’insieme U è l’insieme costituito da tutti gli elementi di A che non appartengono a B. Per esempio: A = { 1, 4, 5, 6 } e l'insieme B = { 2, 3, 6 }, entrambi contenuti in un medesimo insieme universo. Un elemento { 7 } non è compreso né in A e né in B - Prodotto cartesiano: dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano A x B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) dove l'elemento a appartiene all'insieme A e l'elemento b all'insieme B. Per esempio: A = { 1, 3 }, B = { 2, 4, 6 }. A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 4 ), ( 1, 6 ), ( 3, 2 ), ( 3, 4 ), ( 3, 6 ) } INSIEMI NUMERICI Insieme dei numeri naturali ℕ = { 0, 1, 2, 3, … } Insieme dei numeri interi relativi ℤ = { - …, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, +... } Insieme dei numeri razionali ℚ = , ! " ∶ 𝑛 ∈ ℤ,𝑚 ∈ ℕ \ { 0 } 6 = , 0, # # , − # # , . . . 6 L'insieme dei numeri reali contiene propriamente quello dei razionali ℚ e degli irrazionali: ℝ = , 0, +1,−1, . . . , + # $ , . . . 6 NUMERI PRIMI Si dicono primi i numeri naturali ℕ maggiori di 1 che ammettono come divisori solo sé stessi e per 1 I primi dieci numeri primi sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI La scomposizione in fattori primi di un numero naturale maggiore di 1 è la sua rappresentazione come prodotto dei suoi fattori primi: tale scomposizione è unica. Per esempio: La scomposizione in fattori primi di 126 è: 126 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 2 ⋅ 3² ⋅ 7 MASSIMO COMUNE DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO MASSIMO COMUNE DIVISORE Il Massimo Comune Divisore (MCD) di due o più interi è il maggiore tra gli interi che dividono (senza resto) tutti i numeri dati Per determinare il MCD di due o più numeri, li si scompone in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, ciascuno preso una volta sola con il minimo esponente con cui figura MCD (26, 36): divisori di 24 = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) divisori di 36 = (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 26) divisori comuni = (1, 2, 3, 4, 6, 12) 12 MINIMO COMUNE MULTIPLO Il minimo comune multiplo (mcm) è il minore tra gli interi multipli multipli di tutti i numeri dati Per determinare il mcm di due o più numeri, li si scompone in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una volta sola con il massimo esponente con cui figura mcm (360, 300): 360 = 23⋅32⋅5 300 = 22⋅3⋅52 mcm = 23⋅32⋅52 = 1800 FRAZIONI E NUMERI RAZIONALI Una frazione è il quoziente tra due numeri interi % % , con 𝑎 ∈ ℤ, b ∈ ℤ - {0}. Il numeratore è 𝛼, il denominatore è 𝑏 Una frazione % & è detta frazione propria se 𝛼 < 𝑏, frazione impropria se 𝛼 > 𝑏 e frazione apparente se 𝛼 è un multiplo di 𝑏 SEMPLIFICAZIONE E RIDUZIONE IN MINIMI TERMINI Per semplificare una frazione si divide numeratore e denominatore per uno stesso numero, fino a ottenere una frazione con numeratore e denominatore primi fra loro Una frazione in cui numeratore e denominatore sono primi tra loro si dice ridotta ai minimi termini CONFRONTO DI FRAZIONI Tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore è maggiore quella che ha il numeratore maggiore Tra due frazioni che hanno lo stesso numeratore è maggiore quella che ha il denominatore minore Tra due frazioni con denominatori diversi si trasformano le frazioni in frazioni equivalenti che abbiamo lo stesso denominatore, quindi si confrontano i numeratori Esempio: $ ' < ( ' ; $ ' > $ ( Esempio: per confrontare ' ) e $ * si trasformano le frazioni in ' ) = '⋅* )⋅* = $# $, e $ * = $⋅) *⋅) , si ha $# $, > , $, , quindi ' ) > $ * OPERAZIONI CON LE FRAZIONI 𝑎 ⋅ & - = %⋅& - % & ⋅ - . = %⋅- &⋅. % & : 𝑐 = % & ⋅ # - = % &⋅- % & ∶ - . = % & ⋅ . - = %⋅. &⋅- % & + 𝑐 = %/-⋅& & % & + - & = %/- & % & ⋅ - . = %⋅./-⋅& &⋅. TRASFORMAZIONE IN NUMERO DECIMALE Ogni frazione può essere trasformata in un numero decimale limitato o illimitato periodico, dividendo il numeratore per il denominatore della frazione. Per esempio: * ) = 7 : 4 = 1,75 ' * = 3 : 7 = 0,428571 Un numero decimale limitato si trasforma in frazione riportando al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Per esempio: 3,75 = '*( #00 Un numero decimale periodico si trasforma in una frazione che ha al numeratore la differenza tra il numero stesso senza la virgola e il numero costituito dalle cifre prima del periodo, al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo. Per esempio: { 210 : 27 - [ 6 - ( 6 - 10 : 5 ) ] } { 210 : 27 - [ 6 - ( 6 - 2 ) ] } { 210 : 27 - [ 6 - 4 ] } { 210 : 27 - [ 6 - ( 6 - 2 ) ] } { 210 : 27 - 2 } { 23 - 2 } = { 8 - 2 } = 6 Esempio: T # / $ $ U $ × , # $ × W $ ' + $ ( + T # ' + $ ' − 1 U X ∶ ' (" 6 T # / $ $ U $ × , # $ × W $ ' + $ ( + T # / $ 3 ' ' U X ∶ ' (" 6 T ' $ U $ × , # $ × W $ ' + $ ( X ∶ ' (" 6 1 ) × , # $ × W $ ' + $ ( X ∶ ' (" 6 1 ) × , # $ × W #0 / 2 #( X ∶ ' (" 6 1 ) × , # $ × W #2 #( X ∶ ' (" 6 1 ) × , # $ × #2 #( ∶ ' $( 6 1 ) × , # $ × #2 #( × $( ' 6 1 ) × , # # × , ( × ( ' 6 1 ) × )0 1 = # # × #0 # = 10 ALGEBRA CLASSICA MONOMI Monomio: qualunque espressione algebrica numerica o letterale in cui non figurano addizioni o sottrazioni. Per esempio: i numeri 2, # $ e - # ' e le espressioni letterali 𝑎𝑏, 𝑥𝑦$ e % " & prendono rispettivamente il nome di coefficienti numerici e di parti letterali dei corrispondenti monomi GRADO DI UN MONOMIO INTERO Monomio intero: le lettere non figurano al denominatore Grado complessivo: somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado relativo a una lettera: esponente con cui tale lettera compare MONOMI SIMILI E SOMMA TRA MONOMI Due o più monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale Dati due o più monomi, la loro somma algebrica è un monomio soltanto se i monomi sono simili tra loro; è un monomio simile agli addendi e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. Per esempio: 15𝑎𝑏𝑐' e 24𝑎𝑏𝑐' sono monomi simili e la loro somma vale 39𝑎𝑏𝑐' PRODOTTO, POTENZA INTERA E QUOZIENTE DI MONOMI Il prodotto tra due o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Per esempio: (12𝑥'𝑦𝑧$) ⋅ (4𝑥𝑦$) = 48𝑥) 𝑦' 𝑧$ Per elevare alla potenza n-esima un monomio si elevano alla potenza n-esima sia il coefficiente sia ciascun fattore della parte letterale. Per esempio: (3𝑥$𝑦𝑧' )' = 27𝑥2𝑦'𝑧1 Un monomio si dice divisibile per un altro monomio (diverso da 0) se ne esiste un terzo che moltiplicato per il secondo dia come risultato il primo Il coefficiente del monomio quoziente è uguale al quoziente dei coefficienti del dividendo e del divisore: A : B = Q ↔ A = B ⋅ Q. Per esempio: (−15𝑎(𝑏'𝑐)) : (3𝑎'𝑏$𝑐) = (−15/3)𝑎( 3 '𝑏' 3 $𝑐)3# = - 5𝑎$𝑏𝑐'. Quando due monomi non sono divisibili l’uno per l’altro, il monomio quoziente è un monomio frazionario. Per esempio: (12𝑥'𝑦𝑧$) : (−4𝑥𝑦$𝑧𝑤) = #': #;<" 3):;#<= = - ': "< ;"= M.C.D E M.C.M DI PIÙ MONOMI 8𝑎$𝑏'𝑐' ; 12𝑎𝑏)𝑐$ ; 16𝑎'𝑏' M.C.D.: 4𝑎𝑏' m.c.m.: 48𝑎'𝑏)𝑐' POLINOMI Polinomio: somma algebrica di due o più monomi non simili tra loro GRADO DI UN POLINOMIO Il grado di un polinomio è il massimo tra i gradi dei suoi termini. Per esempio: 2𝑥𝑦$ + 3𝑥$ + 5𝑦 è un polinomio di 3° grado SOMMA E DIFFERENZA DI POLINOMI La somma algebrica tra due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti quelli dei polinomi addendi. Dopo aver scritto la somma algebrica si deve operare la riduzione dei termini simili (somma algebrica degli eventuali monomi simili). Per esempio: (4𝑥𝑦$ − 3𝑥$ + 5𝑦) + (4𝑥$ + 2𝑦) = 4𝑥𝑦$ + 𝑥$ + 7𝑦 PRODOTTO E QUOZIENTE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio. Per esempio: (4𝑥$ − 3𝑥 + 3𝑧) ⋅ (2𝑥𝑦) = 8𝑥'𝑦 − 6𝑥$𝑦 − 4𝑥𝑦$ + 6𝑥𝑦𝑧 Un polinomio si dice divisibile per un monomio quando tutti i termini del polinomio sono divisibili per il monomio Il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio è uguale al polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio. Per esempio: (4 𝑎'𝑏) − 8𝑎$𝑏 + 3𝑎$𝑏$ − 6𝑎)𝑏) ∶ (2𝑎$𝑏) = 2𝑎𝑏' − 4 + ' $ − 3𝑎$. Quando il polinomio non è divisibile per il monomio si ha una frazione algebrica PRODOTTO DI POLINOMI Il prodotto di due o più polinomi è uguale al polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Per esempio: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝑎 ⋅ (𝑥 + 𝑦) + 𝑏 ⋅ (𝑥 + 𝑦) + 𝑐 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI La trasformazione di una somma algebrica di più monomi in un prodotto RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE Mettere in evidenza un fattore comune a tutti i termini del polinomio da scomporre. Si calcola il M.C.D. dei monomi del polinomio e si pone il polinomio uguale al prodotto di due fattori di cui il primo è il M.C.D. stesso e il secondo è il quoziente tra il polinomio e il M.C.D. Per esempio: 15𝑥2 − 25𝑥) + 5𝑥' = 5𝑥' ⋅ (3𝑥' − 5𝑥 + 1) dove M.C.D. è 5𝑥' RACCOGLIMENTO A FATTORE PARZIALE Se il polinomio è del tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 è possibile mettere in evidenza nei primi termini il fattore comune 𝑥 e negli ultimi due il fattore comune 𝑦: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥 ⋅ (𝑎 + 𝑏) + 𝑦 ⋅ (𝑎 + 𝑏) Mettendo poi in evidenza il fattore (𝑎 + 𝑏) si ha: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥 ⋅ (𝑎 + 𝑏) + 𝑦 ⋅ (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑥 + 𝑦) PRODOTTI NOTEVOLI - Somma per differenza: (a + b) · (a – b) = a2 - b2 - Quadrato di un binomio con somma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Quadrato di un binomio con differenza: (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 - Cubo di un binomio con somma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - Cubo di un binomio con differenza: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3 - Quadrato di un trinomio con somma: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc - Quadrato di un trinomio con differenza: (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc - Somma di due cubi: a3 + b3 = (a + b) · (a2 - ab +b2) - Differenza di due cubi: a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab +b2) - Cubo di un trinomio: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c +3bc2 + 6abc SCOMPOSIZIONE TRAMITE PRODOTTI NOTEVOLI Formule usate in senso inverso METODO DI RIDUZIONE Sommare o sottrarre membro a membro le due equazioni in modo da far scomparire una delle due incognite FUNZIONI DEFINIZIONE DI UNA FUNZIONE Funzione: una relazione che lega due grandezze variabili in modo che, assegnati valori arbitrari ad esse (variabile indipendente), risultino univocamente determinati i corrispondenti valori dell’altra (variabile dipendente) Coincide col concetto di corrispondenza univoca: dati due insiemi vuoti X e Y, si chiama funzione da X in Y una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento x di X uno e un solo elemento y di Y. Y viene detto immagine di X y = f(x) f: x → y Una funzione è rappresentata da un’equazione che stabilisce il legame tra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y forma esplicita: y = f(x) forma implicita: F(x) = y Insieme X: dominio (o campo di esistenza) Insieme f(x): codominio (o immagine del dominio) FUNZIONI SURIETTIVE, INIETTIVE E BIETTIVE - Funzione suriettiva: quando ogni elemento di Y è immagine di almeno un elemento di X f(X) = Y - Funzione iniettiva: se a elementi distinti di X fa corrispondere elementi distinti di Y Se X1 ≠ X2, allora f(X1) ≠ f(X2) - Funzione biettiva (o biunivoca): una funzione sia iniettiva sia suriettiva CAMPO DI ESISTENZA Il dominio di una funzione è l’insieme dei valori della variabile indipendente per cui la funzione risulta definita FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI - Funzione crescente: se comunque scelti due elementi X1 < X2 si ha f(X1) < f(X2) - Funzione decrescente: se comunque scelti due elementi X1 < X2 si ha f(X1) > f(X2) FUNZIONI PARI E DISPARI Funzione pari: f(x) = f(-x) Funzione dispari: f(-x) = f(-x) MASSIMI E MINIMI - La funzione f ha un massimo assoluto se esiste un valore X1 tale che comunque scelto un elemento x si abbia f(X1) > f(X) - La funzione f ha un minimo assoluto se esiste un valore X2 tale che comunque scelto un elemento x si abbia f(X2) < f(X) LOGARITMI DEFINIZIONE PROPRIETÀ - Teorema del prodotto: - Teorema del rapporto: - Teorema della potenza: - Potenza alla base e all'argomento: - Base frazionaria: - Argomento frazionario: - Base e argomento frazionario: - Commutazione base argomento: - Cambio di base: - Trasformazione di un numero 𝑛 in logaritmo di base 𝑎: - Trasformazione di un numero 𝑛 in potenza di base 𝑎: