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“MATEMATICA IN E-LEARNING” e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Tecnologia dell'Energia solo su Docsity! TRASCRIZIONE DEL VIDEO DIDATTICO 1 DI “MATEMATICA IN E-LEARNING” I numeri complessi nei circuiti elettrici e nell'elettromagnetismo. Buongiorno a tutti. In questo video presenteremo alcune applicazioni di uno degli insiemi numerici più tipici dell'astrazione matematica: quello dei numeri complessi. Sicuramente li avete già incontrati nella vostra carriera scolastica, ad esempio nella risoluzione delle equazioni algebriche di secondo grado, nel caso in cui il cosiddetto discriminante risulta negativo e non se ne può pertanto calcolare la radice quadrata. Per ampliare l’insieme dei numeri reali e permettere il calcolo di radici di indice pari di numeri negativi, si introduce un nuovo numero, detto unità immaginaria, che si indica con la lettera i e che è definito come la radice quadrata di 1.‒ Uno degli ambiti applicativi in cui i numeri complessi ricoprono un ruolo molto utile è quello dello studio dei circuiti elettrici. Consideriamo, ad esempio, un circuito RLC, ovvero contenente un resistore, un induttore e un condensatore e dotato di un generatore che produce una forza elettromotrice alternata che stabilisce nel circuito una corrente alternata. In questo caso, rimanendo nel campo dei numeri reali, non è facile calcolare grandezze come la tensione e l'intensità di corrente: sarebbe necessario costruire un metodo grafico che però non è conveniente dal punto di vista computazionale. Utilizzando invece i numeri complessi si riesce a ricondurre il problema, almeno da un punto di vista formale, ad un caso molto più semplice: quello in cui nel circuito sono presenti soltanto delle resistenze. A tal scopo, viene introdotta una nuova grandezza, detta impedenza e rappresentata da un numero complesso, che prende il posto della resistenza (reale) nelle formule che caratterizzano i circuiti puramente resistivi, come la legge di Ohm e le leggi di Kirchhoff. L’impedenza Z può essere scritta come il numero complesso R + jX, dove la parte reale R rappresenta la resistenza elettrica propriamente detta, mentre la parte immaginaria, è data dal prodotto dell’unità immaginaria (qui indicata con j per non confonderla con il simbolo della corrente elettrica) per la reattanza X, che rappresenta l’opposizione ai cambiamenti di tensione o di corrente, dovuti alla presenza nel circuito di condensatori ed induttori. Anche le grandezze elettriche, quali la tensione o l'intensità di corrente, possono essere rappresentate mediante l’introduzione di numeri complessi detti fasori; benché esse siano grandezze reali, nel caso dei circuiti in corrente alternata sono oscillanti e il campo complesso offre una comoda e semplice rappresentazione delle loro oscillazioni. Ad esempio, nella legge di Ohm generalizzata, V = I*Z, dove V e I sono i fasori rispettivamente corrispondenti a tensione e intensità di corrente, mentre Z è l'impedenza. I numeri complessi possono ricoprire un ruolo importante anche nella rappresentazione computerizzata dei poligoni regolari. Considerato un cerchio di raggio unitario, con centro nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, è possibile costruire un poligono regolare di n lati, ad esso inscritto, utilizzando come vertici i punti del piano complesso (il cosiddetto piano di Gauss) che rappresentano le n radici n-esime complesse dell’unità: tali punti hanno per ascissa la parte reale della radice e per ordinata la sua parte immaginaria. Con questa costruzione ogni poligono regolare (qualunque sia n) ha un vertice nel punto di coordinate (1,0). È però possibile superare questo vincolo tramite opportune trasformazioni geometriche elementari facilmente effettuabili con un computer, come le traslazioni, le rotazioni e le omotetie, trasformazioni queste che permettono di riscalare una figura, ingrandendola o rimpicciolendola. È questo uno dei metodi più usati per rappresentare in un piano i poligoni regolari.
