Trasformata di Laplace, Dispense di Analisi Numerica

Scarica Trasformata di Laplace e più Dispense in PDF di Analisi Numerica solo su Docsity! Per i primi argomenti verrano utilizzati i numeri complessi indicati come Le funzioni che useremo sono definite come: (funzioni che vanno dai reali ai complessi) Ad esempio: (Dai numeri complessi ai numeri complessi) Queste sono funzioni nuove, diverse da quelle di analisi 1 = funzioni a valori reali con due variabili bidimensionali x,y ANALISI CAMPO COMPLESSO. PARTE 1: TRASFORMATA DI LAPLACE Di IY | x + iy) =v +y2 - x +iy x + iy EFF . Dela- · PARTE REALE PARTE X : Re(x + iy) IMMAGINARIA X y = Im(x+iy) u = IER-- C - FUNZIONE f(t) = u(t) + i . v(t) FUNZIONI DI SON DUE FUNZIONI I IN R DI ANALISI 1 et-cost + iseut g : 2 ck - k - Sotwinsiere Dei Numeri Compressi g(x + iy) = ge(x ,y) + i . gz(x ,y) 2 FUNZIONI DIANALISI 2 Ad esempio: Ad esempio: Ha le proprietà analoghe a una esponenziale in senso reale FUNZIONI OLOMORFE. Si definiscono funzioni olomorfe delle funzioni speciali che si aggregano in maniera speciale. Queste espressioni si possono derivare in campo complesso e noi di ciò vedremo solo un cenno. DERIVATA COMPLESSA. Diciamo che g è derivable (in senso complesso) in zo se esiste in C il seguente limite: Se g è derivabile in ogni punto di , g è una funzione olomorfa nell’insieme . (CONSIDERAndo La Notazione Z = X +i) RB g(z) = zz= (x+ iy) = x > 2xy . i -y = ic = - 1 = y +2xy - i - gz(x ,2)92(x ,f) e = e ++ =e .e= e (cosx + isuy) = e Cox + i - e very - ga(x ,y) qz(x ,f) RB piy= COSX tilely DEF : SIA : EK-C =zoE FSSATO - Sottoinsiere I g'(zo) = lu f(z) -g(zd FUNZIONE Derivabile z -> zo z - zo IN CAMPO COMPLESSO - Oppurdozoeerivo rispetto Ze NON Zo & R TRASFORMATA DI LAPLACE. Motivazione (idea): Dove l’incognita è u(t) Per risolvere questo problema usiamo un metodo diverso rispetto a quello di analisi 1 (lungo e complesso). L’idea è quella di trasformare l’equazione applicando un operatore e quindi faccio una trasformata. Applico quindi un operatore L -> le funzioni sono operatori quando trasformano funzioni in funzioni. Qui trasformato u (t) che è una incognita in una altra funzione : Quindi il problema di Cauchy è diventato una equazione algebrica con incognita L’operatore inverso di L è denotato come = ANTITRASFORMATA DI LAPLACE PROBA DI u" - 3u1 +2u = - 202t AAUCHY Lineare E u(0) = 2 a Coff . COSTANTI U'(0) = 0 C ( DEF . Ci u(t) L[u](z) =:(z) Operatore Operatore -(z): (zz -3z +2)b(z) = z-10z + 10 EQ . ALGEBRICA CHE ↓ z -2 OTTENGO APPLICANDO L'OperHO MOLTIPLICATO -CORE PER UNA FUNZIONO INCOGNIZA - v(z) = 22-1ozto2 L-1 L-1 u" - 3u1 +2u = - 202t v(z) = 20ztoe+2 L E u(0) = 2 U'(0) = 0 Dove -2[i] = 1-11 . . . ] = -2+02+ + 2e + Quindi la trasformata di laplace prende le equazioni differenziali ordinarie e le risolve con passaggi formali. Nella teoria di laplace il piano complesso è indicato come sigma + i omega,non x + iy-> PICCOLO CAMBIO NOTAZIONALE: DEFINIZIONE TRASFORMATA DI LAPLACE. (U una semiretta definita per il campo dei tempi positivi) per tutte le per cui vale la condizione più sotto si pone: -> moltiplico la vecchia u(t) per un nucleo che è l’esponenziale La condizione è la seguente (detta condizione L ) Sia un integrale generalizzato convergente L è una condizione più forte della convergenza dell’ integrale generalizzzato che definisce Questa cosa è ben posta quando l’integrale generalizzato converge e quindi esiste. FUNZIONE DI HEAVISIDE. Kiw · 5 = X + in ↑ DEF : Sia U : Io , too IER SEC & L[u](s) : = j + op - st . u(t)dt - INTU=GRALE Generalizzato 2 · let (lat I LEu] (S) . o - .d Deve convertere LAPLACE AILA ILTerra A FUNZIONARE RECLIO Funzione di Heaviside -> Vera funzione H -> H con intervallo ristretto e voglio trovare Per comodità ) Allora tornando all’esercizio di prima Devo imporre che la funzione converga: Es . H(t) = 1 su[0; tool 1 10 & LI](S PERIQUALI SECUAE OSS (erpre vera) 10 - St . (t)/dt = e -+ . (e -++ / . (u(t))de = APPLICO LA PROPRIZE S = 5+ ic MOLIPLICATIVA Del MODULO COMPLESSO g - st = p - +t -iwt = 0 -5t . z-iwt LUAE SIA IN R CHE IN K -Tt O >O Poi Tet Sono Variabili Reali CANALISI 1) (i) = (cosp + iseuy) = cospl + (eup) = 1 CON Y PURAMEnte Reale Y ER ↳ uecon ! +OO = Je -+t . (u(t))dt os . Nondipende a 1 , sa solo dat= e(s) &j-stu(t)(at = 0 e - ++ /u(t(at To(e- st - 1) - +0 e - ++ d tAl d T ULt) = H = 1 Se ciò accade, allora Definito anche come ascissa di semiconvergenza Passando all’estremo inferiore di questi si trova il semipiano (chiamato semipiano di convergenza) u(t)(at > +00 [] vanitL -O VOGLIO CHE SIA IN (5) Convergente APPLICO +OO To . UCL LSO CHE QUESTO INTEGRALE ConvergelS 2 O Cosa Succes se si trolo Nella Parte Rosa? Io So He Converse Qui ico · So ORA Convergenza di LOGLIO DIMOSTAL-Do T> To Che Converge qui To XT> TO A MAGGIOR RAGIONE : IN QUESTO MODO No Dimostrato E- rt . (u(e)(at =-r . + . (u(z))a+ +00 Che Anche seSono NELLA PARTEROSA - - Sono convergente QUINDI TULA LA T > To =D -+ + =-To -t Condizione a Minore Alora : - Di +oo , Pure * EXP MONOZONA Crescente , preserva LE UGUAGLIANZE ico · So To new ↑ POSSO Avera un valopa MINORE A CUI ANCORA CONVERGE (PUNTO DEFINITO INF) Quindi ora dobbiamo vedere come si comporta la trasformata di laplace con la derivata -> noi prendiamo eq diff ordinaria a coeff costanti che fa comparire u, u’, u’’ e voglio vedere come si trasforma la trasformata di laplace con le derivate ordinare. COMPORTAMENTO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE CON LA DERIVAZIONE. Teorema) Comportamento della trasformata di Laplace rispetto alla derivazione Supponiamo che ammetta la trasformata di Laplace (nel semipiano S1), che u sia derivabile e anche la sua derivata u’ ammette la trasformata di Laplace (nel semipiano S2). Allora in vale la seguente formula: Se f integrabile in senso generalizzato su non è detto che faccia Infatti si consideri il controesempio: Premessa della dimostrazione Cioè che tenda a 0 all’infinito L’ integrale generalizzato di questa funzione sarà la somma delle aree: Prendo una funzione f(t) limitata la quale non ha limite all’infinito. Se lavoro sull’area e la faccio convergere vedo che più mi sposto lungo l’asse t, più tale area diminuisce e quindi i triangoli sono più piccoli. DA SerIRETA In Funzioneatool- C SMS2 L[u'](s)= s . L[u](s) - u(o) COME ABBIAMO DETTO VALLORE INIZIALE PRIMA U HA UN SUO Di U In 0 VECCHIA TRASFORMATA SEIPIANO IN CUI LA Selza Derivata TRASFORMATA Converge L'INTERSAZIONE DEI SERIPIANI CORRISPONDE AL SERIPIANO + PICCOLO [0 ; +o [ EstoF(t) O . f(t)1 . , ...... - ' n (t) AREA AreAre Art En Fa= = 1 = L'Integrate converge ! ra F Non tende a zero. SE AVESSI UNA FUNZIONE CON -0 UUOL DIRECHE NON TOCCA I INFINITE LOLO , DOPO UNA CERTA DOUREBE DIMINUIRE . Se però oltre a richiedere che l’integrale generalizzato converga, abbiamo la extra informazione per cui esiste, segue per forza che questo limite sia zero. oof(t)a+ bu F(t) t - too QUESTA FUNZIONE Diverg L funzione Deve Stade Qui UNA F INTEGRABILE DOTATA - &Di Lirite Non PUO Fare: (xl+0) -u - Condizione X Cui PREUDO QUESTO M↑ NTORNO UN INTEGRALE Generalizzato RACCIA zero - QUI HO QUALCOSA Di CONTINUO E DIM . SIA LI COME NellE IPOTESI, AORA : L Son converge QUESTA FUNZIONE Saperdoche ([uJ(S) = 50 0-stude Converge U 0 ↓ Derilo L'ARGOMENTO (e -stu(t)) = - sa * u(t) + e st (t - d Derivabil X iPorasi INIZIA COMPARIDE TRASFORMATA Di INIZIALE La trasforta Di Laplace di Lil PLACE Di LL ReGola LeiNiz Cregol Del PRODOTO PREMIDO UN VALONE CHE COMANDO A +OO INTEGRO TUTTO In E tra I' (Mandando -too per definizione di INTEGRALE GENERALIZZATO) : T - I 6 a (e st . u(t)d = s - Std e u(t)dt + e st . u(t)dt COSTANTE , TEORERA FONDAMENTALE PORTO FLORI DECACOLO INTEGRALE II -e-s # u(I) -eu(0) = e s ** u(Il) - u(d) AllORA : est (I) = u(d) - se-stuLEat + st . Eat - COSTANTE Rispetto I GUARDO SOLO IL SECONDO MEMBRO CON 'I'- +OO L TRAFORMATE NOTE. RissumEndo) ((s) . (352 - 55 + 4) + 35 +11 = 1 Lo scrilo come S ASF. LAPLACE DI T(s) = = - 35 + 11 - 352 +115 +1 b QUARCUNO - =([(t)](s) 352- 55 +4 s(352 -35 +4) Delo SCOPRIRE Chic q(t) DA RICORDARE Che Questo E L[U](S) AMORA ([uJ(s) = L [q(H)](s) SI PU PROVARE CHE L'OPERATORE L E Intentio ! FUNZIONE QUANDO HO Due USCITE Lun operatore Una LGUAI Ho due elitrate UGUAI FUNZION CHE TRASFORA UNA FUNZIONAL - RGO L[u](s) = L[q(Hl] (s) = u(t) = q(t) - - L'HO CROVACA everata Uscite Preventivante in esplicito RB FARE SEMPRE UNA Verifica Vedi DopO COME FA 1 L[e] = CON COMPRESSO AEC - [edt](s) = 0 -st . e ++ at = 1/(S-2) +00 - (s-a) + - =(e . 1 at = (t1](s-a) L'Altra Volta Avelos , Ora 5-2 -[e++](s) = a Hack 2 LIxut](s) = ? [rut](s) = 7 eize-it = Leit](s) - ([e] =↑ - PER LINCARIZI LO BUTTO FUORI Forme enero Le un Numero Costante) SOTTRAGGIO eit=cost +identMEMBROA ( MEUBRO e-it = cost-iselt FORMULA DI PRIMA e ottengo la =L - i2= - 1 LIsent]= -(- 1) = +1 3 L[cost] =? * ** LIcost](s) = L[(sut)'](s) = s . L [seut](s) - zeu(0) = 5 . 1 = S Qui u(t)=xut -[cost] = Doe : * = LEu'](s) = S . L[u] (s) - u(0) I da questa ricao : L[u](s)+ u(0) =LIU](s) *** QUALNQUE PRIMIZIVA DI H E APPLICO QUEST'ULIRA AAFUNZIONE ULE fea con Continua su to,tool, INFATti : Ult) = ( f(eat) = flu T . F. C . I TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE CON F CONTINUO E QUINDI OTTENGO: Laplace di tutti i polinomi O L[u](s) * * * LIF(t)](s) + (8f(t)d= - L[f](S) S S I RIASSUMENDO ↳[ed](s)= APPLICAIAC A F(t) = 1 SAPEndo (If)= Es viele : -[b = z](s) = = == LIt](s) f RiApplic Con fl= E vielle : -[6 * <a= ](s) = = RB -I +2/2](s) L[1] = 1/S vogno toquere IL 2 AL DELOMINATORE L[t](s) = 1/2 Da Cui , per Lineariza : L[+z](s) = 2/3 L+z](s)= ANALOGAMEnte CON Flt)= Uso eviene: L](s) = = L[+3/3](s) # V <[t3/3](s) = Urie LI+3](s) = 23 Endurance siDoneEnzo LORREI Anche Calcore LIt . e *](s) = One , AEk (DA CUi GRATIS LItcost] , LIt · sent] , LIvent , eat] , L[cost ·et] RiAssumento ([U](s) = 252-105 + 10 (5-2)(52 -35 +2) =([3](s) Delo TROVARe ... Somme Di Questa Cosetipo AR 5ar(k =2[ ... ] Somme Di L ↳xk = 5n+ 1 IDEA = 4 Ci Dove essere dietro Una tecnica Dei FRATI SEMPLICI (COME Neve ECNICHe DI INTEGRAZIONE) : SI PUO INQUADRARE LA TECNICA NELLAZEORI DELLE FUNZIONI OLOMORTE LOSSIA Derivabili In Jenso Compresso) . userero questi Ingredient : APERTO - TEOROA DI ANALIZICITE : + E OLMORA Sum esezoer Amora LINTORNO DATO) ↓ COINCIDE VICIno A Zo Con la Sua Serie di Taylor Di Contro 20 : f(z) = F(zo) + F(zd)(z-zo) +(d)(z -zo . . . (zd(zz)c PosSO SCRIVERE UNA OOMORA CON QUALCHE Derivata NEGLI ESERCIZI MOLLE VOLTEABBIAMO DEI DEMOMINATORI IN QUANTO DELO DIVIDER PER IL POLINOMIO CARATTERISTICO E QUINDI BISOGNA Star Attenti Perch Ad eserPio In 5=2 LA FUNZIONE NON E NEAUCHE DEFINIZA : e(5-2)E UNA RADICO MULTIPLA 1 NEI NOSTRI ESERCIZI CI SARANNO SEMPRE PUNTI SINGOLARI , AD ESEMPIO LA FUNZIONE : 2z2 - 10z +10 NON HA MOLTO SCIMPO (SALLO CANCELLAZIONI - (z -2)2(z-1) MiraColos Che Qui Non Avvengon di essere Derivabile in z=20=1. ES . Se Ho (2-1) Al NumerATORE FUNZIONI MEROMORFE. TEORERA Dele FUNZIONI MEROMORE SIANO Fig: - OloMorte Su e Sia Zoe . FRAZIONI DI or Si Pu espandere In una seri di luraneo FUNZIONI OCOMOR LVICINA A Z0) , Ossia Una Serie Del Zipo: ....+ 203 + 2 + 2 + do + 21(z -20) +az(z-zo- LEFUNZIONI DI LAURANT SONO DEFINITE Bilatera que cli Appendi DeZipo n (Conno sono SOLO In Un Numero Finito (a Per questo Si Chiarano PO Di ) . Exerpio 2z2 - 10z +10 GUI UNICI PUNTI SINGOLARI SON 20-2 E 20 = 1 (z-2)2(z - 1) LOGLIO VEDERE COSA SUCCEDE VICINO A TALI PUNTI LIANALIZZO SINGOLARENT PARTIALO Da 222-10 +10 = 1 2z2 - 10z +10 = 2) TeoreMa (Precedente 20 =1 (z -2)2(z - 1) z -1 O ( (z -2)2 ( DI ANALIZICITI - 1)Isolre Le Questae Derivabile SINGOLARIZA IN z = 1 LEOLOMORIA IN 2 =1) - . (bo +bz(z-1) + bz(z -1)+ ..... ) = ECCO ESIBIta A Serie di Laurant= b + be + b2(z-1) + b3(z-2 ... DI CUI PARLA IL Zorra Delle Funzioni recorate E Coeff . bo , ba , ba si possono chicolare esplicitarente come Coeff. Dicipozylor: bn = = RIASSUMENDO DECOMPONEO IL RAPPORTO (222107710 E STUDIO I PUNCILC SINGOLARIZE : z =e) + = A - LI+e2+] + BL[e2+] + C L[e+] Recap Moltiplico a destra e a sinistra per il termine più sfortunato. = quello che compare al denominatore del secondo membro con esponente più grossoNegli es saranno dei polinomi Con il trucco della rimozione, il secondo membro è diventato una serie di taylor di centro zo Grazie a questo ragionamento scopro che il termine sinistro è una funzione regolare intorno a zo e quindi anche lui si sviluppa con una serie di Taylor. Questo vuol dire che si sono cancellati dei termini. NB 1) lavoro sul secondo membro 2) lavoro sul primo membro RICORDIAMO Che e f(z) e g() Sono olmore In un Intorno di zo, Amora (Toorea FUNZIONI MeroMorte) Vicino A zo Sitti COEFF . LAURANT ↓ 2 -p 2 -p +1 a -1 = + ...+ + 20 +d1(z- 20) + 22(z- 20)4+ ... z - Zo U U PARTE SINGOLARE DELO SUILPPO DI LAURANT PARTE REGOLARE" Di Flo Vicino zo Per esata li trolo Cost a- i i EFF. - , -, ...., -1 , 20,1 Si trovano In Questo Modo : 1 RIMOZIONE DEA SINGOLARITI H (z-zo)p. = a-p + 2 p+ 2 (z -zo) + d - p + z(z- zo)" + .. . + do(z - zo) ... Questa FunziONE AURA UNA SINGOLARITA ELIMINABILI ERGO QUESTO PRIMO MEMBRO SI SVIMPRA CONTAYLOR ESERCIZIO (tipo compito). Risolvere col metodo di Laplace: Verificare a posteriori che quella trovata è la soluzione del problema di Cauchy PROCEDIMENTO. Applico la trasformata di la place ad entrambi i membri della EDO: S u" + 2u' - 34 = 48t. c -t u(0) =0 u'(0) =8 Linearita 10 MEMBRO L[U" + 24 -34] = ([u] + 2. L[uD-3L[u] = PONGO ( (s) : = L[U] (s) = s2.(s) - (s. u(0) +U(0) +2 (5 . Tr(s) -2014-3.uso - * = O(s) . (s+25 -3) -8 Check : Questo Deve Diventare Il PolinOnio Caratt . Della edo ! 20 MeUBRO ([48 + +](s) = 48 L [t . e +] (s) = 48 . 1 (5+1)2 Nel Foglio D'estre Aurero Questa FORMULA : LIt" . pat] = n ! (s-a) n+1 Metto assiere 10 Merbro = 20 MemBro E Richo (S) : 8 + 48 O(s) = (5+1)2 = 852 +165 + 36 = 852 +165 +56 S2 +25 -3 (s+12 5 -3) (s + 1)2(5+3)(5 - 1) posso Ottenere Potrei ottelere anche↳ &Dei Numeri CompleSSi GRADI 3 & QUINDI se Fattorizzo Questo Porei Avere UnaDeriv . " potrei Avera Un (st) equindi moliblicato di da grado 3 . -R serpliciT -T 852 +165 +56 A B C D = + + + - (S ( 2) (5+3)(5 - 1) S+3 S - 1 (5+172 S+1 - PARTO Dat ZERI DEL DENOMINATORE: GRADO +Anto - 1 NOLTEPLICITE 2 -3 MOLTEPLICITE 1 1 NoLtEPLICITE 1 A = RIMOZIONE SINGOLARIEE-3 S+3) . 852+ ... = -(S+1)2(5+3)(5 -1) T 852 =: h(s) (S +1)2(s -1) A = (1° COEFF . = 852 + ..... = DI TAYLOR Di hin-3) (s+1(2(5-1) S= -3 = 8. 9 - 48 + 36 - (- 2)2( -4) = 72 - 48 + 35 = -5 4. (-4) B= RIMOZIONE SINGOLARIE 1 (5-1) . 854 +... = (s+ 1/2(5+3)(s -1) = 852 + .... =: en(s) PO SONOS ANCHE (s+ 1)2(s+ 3) Non esSera =DiINTE B = (cn) = h(1) = 8 + 16+ 3 = 5 4. 4 - · 852 + ....C , D =? RIMOZIONE SINGOLARICE-1 MOLE . 2 (S+2)2 = (s+1/2(s+3)(5-1)- = 852+ .... =: h(z) (s+3)(5- 1) C= 10COEFedi = h(- 1) = 8 - 16 + 56 = 8 = - 12 h IN -1 (2))-2) Faccio la derivata e poi lo calcolo in S= -1 Riassumendo abbiamo che: E per ciascuna di loro devo vedere se sono la trasformata di Laplace di qualcuno Essendo la soluzione di Cauchy unica, se tutt’e e tre funzionano ok D =(die)=a est +5 = (165 + 26)(s+3)(5-1) - (8s: +165 + 35) (25 L ( I(5+3)(s-1) ((s+3)(s- 1))2 s= - 1" 52 +25 -3 S=- 1 = O ( un caso Fortuito L[u](s) = (s) = - 5 + 5 + - 12 t O - - S +3 S-1 (5+1)2 S+1 I 1 . 1 ! O - - - -S +5 . = - 1(5+1)2 t S +3 S-1 S+1 - -5 . L[ezt] 5 .L[et] - 12 . L[te7 0 . L[e -+] Il Linearita -[ - 52 3+ + 5 + -12+e + + 0 . a -+](s) Ne segue L[u](s) = L [ - 52 3+ + 5 + -12+e + + 0 . e -+](s) Le iniettilo u(t) = -5e -3 + + Set - 12 te-= check ! Verifica 0 u(d) = - 5 . 1 +5. 1 -0 = 5 o ! ② v(t) = 15 + + Set -12 -+ +12+ e - = 8 = u(d = 15+ 5 -12=0 Ox ! ③u"(t) = - 45+ + 5et +12e -t - 12 te + e delo Verificare la Edo : 48 te + = u" +zu' -34 -3 t = - 45 + Set +12e -t - 12 te -+ + 3003+ +10e+ - 24e-t +24 te+ +