Vettori in spazio euclideo: definizioni e proprietà, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Vettori in spazio euclideo: definizioni e proprietà e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! L.1 Vettori di ℝ n Definizioni e prime proprietà Definizione Sia n un intero positivo, l'insieme delle n-ple ordinate di numeri reali è indicato con ℝ n. Una n-pla ordinata di numeri reali può essere scritta sia come una riga (x 1,...,x n) di numeri reali sia come una colonna x 1 . . x n di numeri reali. Nel primo caso parlemo di un vettore riga con n componenti mentre nel secondo di un vetttore colonna con n-componenti. Per ragini tipografiche adotteremo anche la notazione T(x 1,...,x n) per denotare un vettore colonna con componenti x 1,...,x n. E’ chiaro che tutto quello che verrà detto a riguardo dei vettori riga può essere riparafrasato nel caso dei vetttori colonna. In queste prime lezioni previlegeremo la rappresentazione medi- ante righe. - gli elementi di ℝ nsono detti vettori dello spazio Euclideo ℝ n(riga o colonna a seconda della rappresentazione prescelta) e verranno di norma denotati da lettere latine minuscole. - Se il vettore v è rappresentato dalla n-pla ordinata (v 1,...,v n), i numeri v 1,...,v n sono detti componenti del vettore v. - Il vettore con componenti tutte nulle viene detto vettore nullo di ℝ n ed è indicato con 0. Somma di vettori, opposto di un vettore e prodotto di un vettore per uno scalare - Se v e w sono vettori di ℝ n con componenti (v 1,...,v n) e (w 1,...,w n), la loro somma è il vettore v + w con componenti v 1+w 1,...v n+w n. - L' opposto del vettore v è il vettore -v con componenti -v 1,..., -v n. - La somma di v con l'opposto di w è denotata con v - w e viene detta la differenza dei due vettori. Le componenti di v - w sono v 1-w 1,...,v n-w n - Se α è un numero reale, il vettore con componenti α v 1,....,α v n è denotato con αv e viene detto il prodotto di v per lo scalre α. Proprietà Le operazioni di somma tra vettori e di prodotto di vettori per numeri reali verificano le ovvie proprietà algebriche (A1) v + w = w + v (proprietà commutativa); (A2) (v + w) + u = v + (w + u) (proprietà associativa); (A3) v + 0 = v; (A4) v - v = 0; (A5) λ(μv) = (λμ) v; (A6) λ(v + w) = λv + λw (prima proprietà distributiva) (A7) (λ+μ)v = λv + μv (seconda proprietà distributiva) (A8) 1v = v per ogni u, v, w ∈ ℝ n e per ogni λ, μ ∈ ℝ. Esempi Siano dati i vettori v(1,-2), w(1,3) di ℝ 2 e il numero reale π, allora v + w = (2,1), v -w = (0,-5), πv = (π,-2π). L’operazione di somma di due vettori può essere visualizata mediante la cosidetta “legge del parallelogramma” V W -W V -W V +W ■ La base canonica di ℝ n 2 ��� L1-Vettori di R^n copia 2.nb Esempio Se v = (1,-1,3), w = (3,-3,9) e b = (-3,3,-9), allora 3v = w e -3v = b. Quindi v ha la stessa direzione di w e direzione opposta di b. Poichè v = 11 , il versore parallelo a v è dato da u v = 1 vv = 1 11 (1,-1,3). La disuguaglianza triangolare Lemma Siano v e w due vettori di ℝ n, allora v+w 2 = v 2 + 2(v·w) + w 2, v-w 2 = v 2 - 2(v·w) + w 2. Dimostrazione Usando le proprietà (PS1) e (PS2) del prodotto scalare si ha v+w 2 = (v+w)·(v+w) = v·(v+w) + w·(v+w) = v·v + v·w + w·v + w·w = = v 2 + 2(v·w) + w 2. Analogamente v-w 2 = (v-w)·(v-w) = v·(v-w) + w·(v-w) = v·v - v·w - w·v + w·w = v 2 - 2(v·w) + w 2. ■ Proposizione Sia w un vettore non nullo di ℝ n. Allora, ogni vettore v di ℝ n è somma di un vettore v' perpendicolare a w con un vettore v'' parallelo a w, i due vettori v' e v'' sono unici. Diremo che v'' è la proiezione ortogonale di v su w. Invece v’ si dice la componente di v normale a w. L1-Vettori di R^n copia 2.nb ���5 θ w v v′′ v′ ■ Dimostrazione Sia γ il numero reale γ = v·w w2 , Definiamo v' e v'' ponendo v' = v - γ w, v'' = γ w. Allora, v'' è parallelo a w mentre v'·w = (v - γ w)·w = v·w - γ w·w = v·w - v·w w2 w 2 = v·w - v·w = 0. Quindi v' è perpendicolare a w. Inoltre, per costruzione si ha v = v' + v''. Dimostriamo l’unicità. Se u' è perpendicolare a w e u'' è parallelo a w e se v = u' + u'', allora dall'uguaglianza v' + v'' = u' + u'' si ricava (*) v' - u' = u'' - v''. Il vettore u'' - v'' è parallelo a w, quindi u'' - v'' = αw, per qualche α ∈ ℝ. D’altro canto, v’ - u’ e’ perpendicolare a w. Allora la (*) implica che u'' - v'' è perpendicolare a w. Quindi 0 = (u’’ - v’’)·w = αw·w = αw 2 6 ��� L1-Vettori di R^n copia 2.nb Poichè w ≠ 0, l'uguaglianza αw 2 = 0 implica α = 0. Pertanto u'' = v''; sostituendo u’’ = v’’ in (*) otteniamo v' = u'. Con questo abbiamo dimostrato l'unicità di v' e v''. ■ Proposizione(disuguaglianza di Schwarz) Siano v e w due vettori di ℝ n, allora (v ·w) 2 ⩽ v 2 w 2. Dimostrazione Se w = 0, allora non c'è nulla da dimostrare. Supponiamo w ≠ 0. Andiamo a considerare la componente di v normale a w : v' = v - v·w w2 w. Allora 0 ⩽ v’ 2 = v’·v’ = v’·(v - v·w w2 w) = v’·v - v·w w2 v’·w = v’·v = = (v - v·w w2 w)·v = v·v - v·w w2 w·v = v’ 2 - (v·w) 2 w2 Moltiplicando entrambi i membri della disugualianza 0 ⩽ v’ 2 - (v·w) 2 w2 per w 2 > 0 otteniamo 0 ⩽ v 2 w 2- (v·w) 2. Da cio’ segue che (v ·w) 2 ⩽ v 2 w 2. ■ Teorema (disuguaglianza triangolare) Siano v e w due vettori di ℝ n, allora L1-Vettori di R^n copia 2.nb ���7