vettori: appunti fisica generale, Appunti di Fisica

Scarica vettori: appunti fisica generale e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! CHE COSA SONO | VETTORI? Il concetto di vettore, in fisica, nasce per descrivere grandezze che NON riusciamo ad esprimere solo con un numero assoluto, difatti per rappresentarli, possiamo ricorrere a due metodi: -la rappresentazone assoluta: non dipende da alcun sistema di riferimento matematico -la rappresentazone cartesiana: (dal punto di vista geometrico- analitico) presa una base, si può affermare che qualsiasi vettore dello spazio vettoriale preso in considerazione, si può esprimere come una combinazione lineare di vettori della base ; quandi si introduce una terna di versori che rappresentano la base dello spazio vettoriale, stiamo svolgento una rappresentazione cartesiana, perchè i vettori di base sono, di fatto, i versori degli assi, a meno che non abbiano un modulo diverso da loro, in quanto le basi vengono normalizzate affinche il modulo dei vettori sia uno. PER RAPPRESENTARE IN MODO ASSOLUTO UN VETTORE per rappresentare un vettore univocamentee, ho bisogno di 3 caratteristiche: «modulo: intensità del vettore «direzione: determinata dal versore, rappresenta la retta su cui giace il vettore (il versore che identifica la retta: il versore è un vettore di modulo unitario che individua una direzione) verso: determinato dal segno, mi dice se il vettore ha la stessa direzione del versore oppure la direzione opposta. LT SF 7 (09, molto 27 —>_,î na LT Q=+toa su —-diazionu n | WES CHE COS'È IL PUNTO DI APPLICAZIONE? In fisica, così come nell'ingegneria, lavoriamo con vettori applicati, questo perchè: Due vettori che hanno lo stesso modulo, lo stesso verso e giacciono su due rette parallele, sono vettori IDENTICI, per questo si parla di equipollenza di vettori. Nel nostro caso, per esempio, una forza applicata lungo una direzione perpendicolare al piano, non genera lo stesso vettore se applico la stessa forza in un altro punto. Per questo conta il punto di applicazione!!! PER RAPPRESENTARE IN MODO CARTESIANO UN VETTORE: Se considero lo spazio r2, scelgo una base, è una coppia di versori i e j, identifico un sistema di riferimento x,y. in questo sistema di riferimento posso proiettare sugli assi (con le regole della proiezione ortogonale) il vettore e ottengo le componenti: ax (componente del vettore a sull'asse x) e ay (componente del vettore a sull'asse y) 3 componenti = scalati 4 d-(ax,0y) questa è la rappresentazione cartesiana del vettore a, che è-descrivibile, come vediamo, da-una-coppia-di-scalari (che sono le componenti stesse) Z Z A un altro metodo, è quello che utilizza i versori degli assi (i,j,k) _—>® = DX Lt la ) se moltiplico ax peri (versore asse delle x) ottengo un vettore il cui modulo è ax.la direzione è quella dell'assexe.ilverso è positivo. stesso ragionamento è applicato ad ay, per j (versore asse delle y) ottengo un vettore il cui modulo è ay, la direzione è quella dell'asse y e il verso è positivi IL (vettore) COMPONENTE x è la componente moltiplicata per il versore—-> axi IL (vettore) COMPONENTE y è la componente moltiplicata per il versore ---> axj LA componente x è la componente del vettore sull'asse x-—> ax LA componente y è la componente del vettore sull'asse y-—>ay SE CAMBIO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO, LA RAPPRESENTAZIONE CAMBIA? nel caso della rappresentazione cartesiana: se cambio il sistema di riferimento cartesiano, cambia anche la rappresentazione cartesiana del vettore che sto considerando nel caso della rappresentazione assoluta: Il modulo è sempre lo stesso comunque considero il sistema di riferimento la direzione è sempre la stessa la rappresentazione assoluta, è ontologicamente più vera, perchè prescinde da colui che misura il vettore PROIEZIONE DEL VETTORE LUNGO LO SPAZIO TRIDIMENZIONALE: Nel piano, se consideriamo gli angoli, abbiamo sempre a ch efare con l'angolo &AZIMUTALE (tra la proiezione orizzontake dell'asse di collimazione e l'asse secondario) f ZENITALE (formato tra asse primario e asse di collimazione ) IN CHE MODO POSSO CALCOLARE LE COMPONENTI CARTESIANE NOTE LE CARATTERISTICHE ASSOLUTE DEI VETTORI? ax= 0 sen fc Qy= Qsentsene o-= Ue! gli angoli rappresentano le direzioni rispetto agli assi. SCHEMA DEI PRODOTTI (coinvolgono almeno un vettore ) 1) PRODOTTO ALGEBRICO : questo prodotto avviene tra uno scalare e un vettore, e mi dà come risultato ancora un vettore che ha: stessa dsezione del vettore di partenza il verso dipende dal segno di c (costante) il modulo è pari a quello di a moltiplicato per c: in questo senso è un prodotto algebrico perchè prendiamo un numero che identifica il vettore a, e lo moltiplichiamo per un numero LA RAPPRESENTAZIONE ASSOLUTA DEL PRODOTTO ALGEBRICO A CI'- C4 A VIRSORT MoguLo LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEL PRODOTTO ALGEBRICO n _ A A CÎ = Pax, 094) = CAL + coyi Se mettiamo in evodenza la c si vede immediatamente come si ritrona alla forma assoluta INTERPRETAZIONE GEOMETRICA > & ea INTERPRETAZIONE FISICA > prodotto algembrico di uno scalare per un vettore — F= ma” direzione è quella di a il modulo è m volte quello di a potrebbe più esplicito quanto appena detto, se consideriamo la formula inversa che ci permette di ricavare l'accelerazione: O Lum F l'accelerazione che deriva dall'applicazione di quelle forze, ha: “la direzione di F_ (perchè abbiamo una costante che moltiplica un vettore), il che è abbastanza intuitivo, perchè immagino che se applico una forza la direzione dell'accelerazione sia la stessa; di certo se sposto un'oggetto a sinistra, non posso immaginare che questo lieviti verso l'alto. quindi la direzione è la stessa della risultante delle forze «il modulo dell'accelerazione, sarà dato proprio dalla risultate delle forze diviso m (costante di inversa proporzionalità: a parità di forze, maggiore sarà la massa, minore sarà l'accelerazione) 2) PRODOTTO SCALARE si attua tra due vettori e si indica con il puntino il risultato del prodotto scalare, è proprio uno scalare = DD O * b = scHARI LA RAPPRESENTAZIONE ASSOLUTA DEL PRODOTTO SCALARE 3°_.T> 0° eb= alb così il protto scalare è una legge di composizione esterna (il prodotto vettoriale è una legge di composizione interna: dipende se il risultato è ancora all'interno dello spazio ambiente considerato in partenza) LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEL PRODOTTO SCALARE: la somma dei prodotti delle componeti di ugual posto Leb axbrt 04/64 +azba INTERPRETAZIONE GEOMETRICA : è legata alla proiezione di un vettore sull'altro Los PD Leb - ob cost ao b INTERPRETAZIONE FISICA per eccellenza è il lavoro infinitesimo: prodotto scalare della forza per lo spostamento. (siamo abituati asentire che il lavoro è dato da forza per spostamento, ma questo èè solo uno dei casi: quando la forza NON dipenda dal percorso e quando essa è parallela a??? ) EN n T-de | se guardo alla rappresentazione assoluta, è facile intuire i valori massimali: il prodotto scalare è zero se i vettori sono perpendicolari il prodotto scalare è massimo quando i vettori sono paralleli il prodotto scalare è minimo quando il coseno vale -1 quindi quando a è anti patallelo a b 3) PRODOTTO VETTORIALE si indica 3° A E°. il risultato vettoriale è un vettore che è perpendicolare ai vettori di partenza > ®xÈ LA RAPPRESENTAZIONE ASSOLUTA DEL PRODOTTO VETTORIALE TP ALE Enb= alesen tà (te) Î ELL versore, il verso è dato dalla regola della mano destra: si avvolge il primo vettore sul secondo si mette il taglio della mano destra sul primo vettore e tentare l'avvolgimento del vettore, se quest'operazione ci risulta impossibile da verificare, significa che il verso non è uscente, ma entrante se avvolgere a su b, comporta una MINIMA rotazione in senso orario, il verso è entrante (4) se avvolgere a su b, comporta una MINIMA rotazione in senso anti-orario, il verso è uscente @® IL PRODOTTO VETTORIALE NON è COMUTATIVO è un prodotto anti simmetrico &aAb =-bad INTERPRETAZIONE FISICA DEL PRODOTTO VETTORIALE MOMENTO DI UNA FORZA: è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione di una forza la forza stessa rispetto ad un polo. >, —> tHAF PAK non è il momento della forza, ma meno il momento ed è sbagliato LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEL PRODOTTO VETTORIALE: del prodotto vettoriale è lo sviluppo del determinante di una matrice 3x3 in cui la prima riga è data dai versori degli assi (ij k) la seconda riga è data dalle componenti del primo vettore e la terza riga è costituita dalle componenti del secondo vettore LAB = È 3 R 5) +% lagba — az by) =} (orbe - azbi) +È (axby - ay bs) Qx 04 at un metodo alternativo, che non vede l'utulizzo della matrice ma ci fa ottenere lo stesso risutato, è il metodo 123 metodo 123 + laybe - nz by) -](w be - az ba) +È (axby -2Y bx) INTERPRETAZIONE GEOMETRICA |gAE | - abzeu? E Prati 7 area del parallelogramma che ha lati ab 2 a vettor b è uscente il cui modulo è l'area