Vettori e Operazioni su di essi, Dispense di Analisi Matematica I

Scarica Vettori e Operazioni su di essi e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! MATEMATICA PER FISICA SPERIMENTALE A 1. SCALARI E VETTORI 2. VETTORI 2.1. Definizione e tipi 2.2. Prodotto di uno scalare per un vettore 2.3. Versori 2.4. Somma e differenza di vettori 2.5. Scomposizione di vettori 2.6. Componenti cartesiane 2.7. Prodotto scalare 2.8. Prodotto vettoriale 3. DERIVATE 3.1. Rapporto incrementale 3.2. Derivata di una funzione in un punto 3.3. Funzione derivata 3.4. Derivate di vettori 4. INTEGRALE 4.1. Primitiva 4.2. Integrale definiti 1. SCALARI E VETTORI Grandezze scalari: quantità descrivibile unicamente da un numero. Grandezze vettoriali: quantità che necessita per la sua descrizione di un modulo, di una direzione e di un verso. - Si rappresenta con una freccia la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore. - La punta della freccia rappresenta il verso del vettore. Esercizio 1: Quale delle seguente grandezze sono vettoriali: massa, spostamento, forza, tempo, temperatura, volume, pressione, densità? 2. VETTORI 2.1 - Definizione Un vettore, è un segmento orientato da un punto A a un punto B. Si rappresenta con una freccia e si indica con un simbolo sormontato da una freccia, è . È caratterizzato da: - Normao modulo, |v| : è l'ampiezza del segmento |v] = | AB] - Direzione: retta su cui giace il vettore - Verso: orientamento lungo la retta, indicato dalla punta della freccia Si dice che due vettori sono equipollenti se hanno modulo, direzione e verso uguali. Si dice che due vettori sono opposti se hanno modulo e direzione uguali, però verso opposto. 2.2 — Prodotto di uno scalare per un vettore Dato un vettore d ed un numero reale 4, si definisce il prodotto fra i due A. come un vettore con: - Modulo:|7G| = [Alla] - Direzione: coincidente con quella di @ - Verso: uguale a quello di d se X>0 e opposto se X<0 - Origine coincidente con quella di d Per qualsiasi vettori ab e numeri reali a, x si verificano le seguenti proprietà: i) Aud) = (24) = (2)d i) (+wa=24+pd iii) A(a+b)=23+25 iv) Xa=0=>A=0oppured=0 Metodo grafico Spostiamo il vettore su se stesso n volte. Es.: 40 Operazioni in componenti cartesiane a) Modulo: b) Sommae differenza: dd 4 = (0,,0,,0,) + (besbyn bg) (Ct) = (x dev + by Edo) c) Prodotto di uno scalare e un vettore é=2Xd= 2(0,,a,,,) Cx,Cy,Cz) = (40,,4a,,4a. 24 z Pi 7 d) Equazioni vettoriali Esercizio 4: Determina 0). ._ a, b. a-b>{_y dy Py ITA a, + b. c. a+b=e (1 b=é ay + by = cy re il versore diretto come il vettore P-O dove P=(1, -2, 2) e 0=(0,0, Esercizio 5: Siano dati tre vettori = U,, b=247+ 5u, e È = —3U; — 4y. Calcolare per via grafica e analitica il vettore risultante dall'operazione 20 + b — è. 2.7 — Prodotto scalare Si definisce prodotto scalare (o prodotto interno) di due vettori @ b la grandezza scala moduli dei due vettori e il coseno dell'angolo compreso: a-b = |al|b|cosd 0 re che si ottiene moltiplicando fra loro i Du = In componenti cartesiane l’espressione del prodotto scalare è: a-b= ayxb+ayby + a;b, 0 Valgono, per il prodotto scalare, le seguenti proprietà: i) -ab<a-b<ab ii) Commutativa (simmetrica): iii) Distributiva (bilineare): iv) d-(a5)= 24.BvAeR v) Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz: (a ba b)< (7-26 -5) vi) Sed e È sono due vettori non nulli, si verifica vii) Angolo individuato tra due vettori: viii) Norma o modulo di un vettore: d - d = |d]|d]coso = [dl > Il significato geometrico del prodotto scalare è strettamente collegato con l'operazione di proiezione (ortogonale) di un vettore su una retta orientata di versore &. Il prodotto scalare fra due vettori, 4-5, può essere interpretato come prodotto del modulo di uno qualsiasi di essi per la proiezione ortogonale dell’altro sul primo. a-u= |d|cos Esercizio 6: Dimostrare l’espressione del prodotto scalare in componenti cartesiana partendo dell'espressione di un vettore come multiplo di versori. Esercizio 7: Trovare il modulo e la direzione del vettore d — b, sapendo che formano un angolo Sfra loro. 2.8 — Prodotto vettoriale Dati i due vettori d e D che formano un angolo 0, si definisce prodotto vettoriale (0 prodotto esterno) il vettore #=4x5 con le seguente caratteristiche: I a) Modulo pari al prodotto dei moduli dei due vettori, moltiplicato per dl|b|Isino] a b) Direzione perpendicolare al piano individuato da d e 5 c) Verso secondo la regola della mano destra: si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice. Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo 0 sia minore di 180°. il modulo del seno dell’angolo tra loro 0: [Cl In componenti cartesiane ortogonali il prodotto vettoriale si scrive come il seguente determinante: a,b. — ab), - (ab. -ab, li, + (ab, - abbi. © AS SS È e AeR valgono, per il prodotto vettoriale, le seguenti proprietà: i) Anticommutativa: xb=-bxé ii) Distributiva: gx (+ c)= ii) 4x(2)= (1x5) vAeR xb+@axG i) Sede 5 sono vettori linearmente dipendenti (cioè, nella stessa direzione), si verifica che: dxb=0 Il significato geometrico del prodotto vettoriale è collegato al calcolo dell’area del parallelogrammo individuato fra i vettori. Siccome l’area viene data dal prodotto della base (nella figura, il modulo del vettore 5) per l'altezza, h, il modulo del prodotto vettoriale è l’area del parallelogrammo: b| DN bn = [B|làl sin(a) x Esercizio 8: Dati ivettorià = —3ux +, + 5u,e b = Zu; — u7, calcolare: a) l'angolo individuato fra loro; b) il prodotto vettoriale. Esercizio 9: Siano dati i vettori d = 2ux + uy — 3uz e b=u- 2uy + uz . Determinare È tale che sia perpedincolare ad q'e b, ed abbia modulo 5. 3. DERIVATE 3.1- Rapporto incrementale Sia una funzione reale y=f(x)definita in un intervallo non vuoto E © IR. Consideriamo due punti vicini sull'asse delle ascisse, x° EE e (xo +h)E E. Si definisce rapporto incrementale della funzione attorno a xoe rispetto all'incremento A, il rapporto dell’incremento della funzione rispetto all’incremento della variabile indipendente: Af_fGo+h) — f(x) Ax h Rr(xo, h) = Intuitivamente misura “quanto velocemente” la funzione cresce o decresce al variare della coordinata y indipendente attorno a un dato punto. Infatti, geometricamente il rapporto incrementale equivale al coefficiente angolare della retta secante che interseca la f(%0 + h) |------------ secante funzione f(x) nei punti xo e (xo + h): 1) _ F(x0 + h) — f(x0) _ tan(B) = Gia Re(xo, h) 3.2 — Derivata di una funzione in un punto Sia E C Run intervallo non vuoto e f:E — R una funzione reale nella variabile reale x. La derivata della funzione f(x) nel punto x = xo è il limite, se esiste, di un rapporto incrementale quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero: F(x0 + h) — f(x0) h (xo) = lim Interpretazione geometrica Consideriamo nuovamente il grafico della sezione precedente. Se fa — 0, vediamo che Q—P e la retta secante si avvicina alla retta tangente. Cioè, f — a. Per tanto, la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente in fo) quel punto: f(x0 + h) fee tangente ana 4. INTEGRALE 4.1 - Primitiva Data una funzione f:I — R, definita su un intervalo / C R, si definisce primitiva o antiderivata una funzione F:1 — Rtale che Se F è una primitiva di f, tutte e sole le primitive di f sono nella forma F(x)+C, dove C è una costante arbitraria reale. L’integrale indefinito di f è l’insieme di tutte le sue primitive e si denota con il simbolo Sfax: f f(a)dx = FG) +C L’integrale indefinito soddisfa la proprietà distributiva. fora#-1 fhae= tale] + 0,270 feswze:o Tr 4 . 1 î finto) da = — coste) +C Jeot tan(e) +0, 2 75+kr f costare = sin(e) +C 135 de = — cot(x) +0, c 7 kr sin?(7) finta) da = cosh(x) +0 / —L de= tane) +0 cosh?() 1 f cosa) da = sinh(e) +C / ra de = —coth(0) +0, 240 sn 1 , J Fg do = aretan(e) + O / Esercizio 13: Calcolare la primitiva di y = x? + 2x che passa per il punto (1, 3). da = aresin(a) +C, ® € (-1,1) 4.2 — Integrali definiti Regola di Barrow Se f(x) è una funzione f:I — R, definita su un intervalo / © R, e F:1— R la sua primitiva, si definisce l'integrale definito su un intervallo [a,b] CI: f (de = Fb) — F(a) Esercizio 14: Calcolare l'integrale della funzione 3 sin(5x) + 1 nel intervallo [-2, 4]. 10 Proprietà Siano f(x) e g(x) due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano @,f € R. Sia c € [a,b]. i) Linearità: Saf) + Bg@)]dx = a Ta f(x)dx + B Si gA)dx ii) = Additività: JP f@)dr= [fax + fl fax ii) Monotonia: se f(x) < g(x)in[a, b], Si f@)dx </ gMdx i) Valore assoluto: | {@ax] < SIF@dx v) Teorema della media: se f: [a,b] + IR è continua allora esiste c € (a, b) tale che SE f@Mdx = f(O(b- a) f(0) fx) ac b Significato geometrico Secondo la proprietà di additività, possiamo dividere l'intervallo [a,b] in N intervalli piccolissimi e della stessa lunghezza Ax, e scrivere l'integrale come: b f'icose -("* ya + [rod ++ J f@)dx +Ax a+(N-1)Ax Il teorema della media ci dice che esiste un punto dell'intervallo in cui il valore della funzione moltiplicato per la lunghezza dell'intervallo (cioè, l’area di un rettangolo di altezza f(c) e lunghezza (b-a)) è uguale all’integrale definito in quel intervallo. Se applichiamo il teorema della media ad ogni una degli integrali precedenti, avremo: b J F@)dx = Axf(c1) + Axf(c2) + + Axf(cy_1) dove c, € [a,a + Ax],c, E [a + Ax,a + 2Ax],... fx) Cioè, l'integrale definito può essere espresso come la somma delle aree dei rettangoli. Se Ax > 0, questo è infatti l’area sotto la funzione f(x) nel intervallo [a, b]: 11 b J f@)dx = dim (F(c)Ax) = area] a Esercizio 15: Calcolare l’area definita sotto la curva della funzione 2exp(5x)+ 1 nell’intervallo [3, 8]. 12