Scarica Vettori e grandezze vettoriali e più Slide in PDF di Fisica solo su Docsity! I vettori Grandezze scalari: vengono definite dal loro valore numerico esempi: lunghezza di un segmento, area di una figura piana, temperatura di un corpo, ecc. Grandezze vettoriali vengono definite, oltre che dal loro valore numerico, da una direzione e da un verso esempi: velocità di un corpo, forza agente su un corpo, ecc. Vettori nel piano O x y A B v r A’ B’ A’’ B’’ φ modulo di = lunghezza del segmento AB v r la direzione di è definita dall’angolo φ v r componente vx = lunghezza di A’B’ componente vy = lunghezza di A’’B’’ x y 2 y 2 x yx v v arctan vvv )v,(vv = += = ϕ r r Somma di due vettori x y 0 a b c Il vettore somma c=a+b è la diagonale del parallelogramma avente per lati i vettori a e b cx cy yyy xxx bac bac += += cos θba2bac 22 rrrrr ++= θ ax bx ay by Differenza di due vettori La differenza a - b si calcola sommando al vettore a il vettore -b, opposto del vettore b x y 0 a b -b c = a - b Somma di N vettori Dati i vettori a1, a2, ... , aN il vettore somma b = a1+a2+ ... +aN si calcola nel modo seguente: •si costuisce la spezzata formata dai vettori a1, a2, ..., aN •si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata x y 0 a1 a2 a3 a4 b Ny2y1yy Nx2x1xx a ...aab a ...aab +++= +++= Vettori nello spazio z x y v vxî vzk ^ vy ĵ kvjvivv zyx ˆˆˆ ++= r 2 z 2 y 2 x vvvv ++= r La direzione di v risulta definita dagli angoli θ e φ θ φ x y z v v arctan v v arccosθ = = ϕ r Prodotto scalare Dati due vettori a e b, il prodotto scalare tra a e b è una grandezza scalare definita nel modo seguente: cosα ba ba =⋅ rr a b α Il prodotto scalare tra a e b è un numero che è pari al prodotto del modulo di a per la componente di b lungo la direzione di a (a volte bcosα) bcosα Ovviamente il prodotto scalare a · b è anche pari al prodotto del modulo di b per la componente di a lungo la direzione di b (b volte acosα) ac os α Prodotto scalare in componenti cartesiane Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, si ha che: 1kk0jk0ik 0kj1jj0ij 0ki0ji1ii =⋅=⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅ ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha: kbjbibb kajaiaa zyx zyx ˆˆˆ ˆˆˆ ++= ++= r r zzyyxx babababa ++=⋅ rr Caso particolare: b = a 22z 2 y 2 x aaaaaa rrr =++=⋅ Proprietà del prodotto vettoriale Il modulo del prodotto vettoriale è pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0) Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa: a b θ baab rrrr ×−=× Prodotto vettoriale in componenti cartesiane Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni: 0kkijkjik ikj0jjkij jkikji0ii =×−=×=× =×=×−=× −=×=×=× ˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆ Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che: )bab(ak)bab(aj)bab(aiba xyyxzxxzyzzy −+−+−=× ˆˆˆ rr zyx zyx bbb aaa kji ba ˆˆˆ =× rr Posizione di un punto nello spazio Una volta fissato un sistema di riferimento nello spazio, la posizione di un qualsiasi punto P dello spazio è individuata tramite il vettore posizione, ossia il vettore r che congiunge l’origine con il punto P xO y P r xî yĵ In coordinate cartesiane, se P(x,y) il vettore posizione è dato da: jyixr ˆˆ +=r
