VETTORI E LE LORO OPERAZIONI., Dispense di Fisica

Scarica VETTORI E LE LORO OPERAZIONI. e più Dispense in PDF di Fisica solo su Docsity! Grandezze scalari e vettoriali *Unagrandezza scalare viene (numerico, che i grandezze scalari: massa, tempo, energia. e Una grandezza vettoriale presenta caratteristiche geometriche, è univocamente definita tramite tre numeri, il cui valore dipende dal SR. Esempi di grandezze vettoriali: posizione, velocità, accelerazione, forza, campo elettrico, campo magnetico. ivocamente SR) scelto. Esempi di Per introdurre le grandezze vettoriali e l’algebra dei vettori, inizieremo dal vete. tra due punti A(x4; ya) e B(Xxg; Ya). La distanza tra i due punti si ottiene dalla seguente formula: EEE xo ) Il solo valore numerico della distanza (ad esempio 5 metri) non fornisce tutte le informazioni necessarie: il punto B potrebbe infatti trovarsi in un qualsiasi punto di una sfera di raggio 5 metri e centro in A! Occorrono quindi altre informazioni, di tipo geometrico Prof. Bartolotta — Prof. Marrale Il vettore spostamento S Rer fornire tutte le informazioni su uno spostamento occorre quindi fornire i 4 seguenti dati, che definiscono univocamente il vettore spostamento S : » Punto di partenza, ad esempio A (punto di applicazione del vettore) » Distanza percorsa AB (modulo del vettore) >» Retta lungo la quale avviene lo spostamento (direzione del vettore) » Il verso dello spostamento lungo la retta, partendo da A (verso del vettore) Nota: indicata ad esempio in verde. , come quella Prof. Bartolotta — Prof. Marrale Algebra vettoriale 1 (prodotto tra uno scalare e un vettore) I Dl Il N >Il Dl Il I >Il >| >| \ Prof. Bartolotta — Prof. Marrale Algebra vettoriale 2 (somma di due vettori) Gonsideriamo due spostamenti successivi, il primo dal punto A al punto B: S, il secondo dal punto B al punto C: S, . Lo spostamento totale Stot è quello dalla posizione iniziale a quella finale C, cioè la somma dei due spostamenti: B 4 SI Il vettore somma è lafdiagonalerdelnparalielogramma i cui lati sono i vettori da sommare Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 7 Algebra vettoriale 2 (somma di due vettori) le procedura descritta in precedenza per due spostamenti successivi può essere generalizzata per sommare due vettori con lo stesso punto di nea Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma i cui lati sono i vettori da sommare. E’ evidente che il modulo C del vettore somma NON coincide con la somma dei moduli dei due vettori A + B Prof. Bartolotta — Prof. Marrale Algebra vettoriale 3 (differenza fra due vettori) Ivettorermdifferenza D =B- A tra due vettori è quel vettore che sommato al vettore A _ fornisce il vettore B . Quindi, tenendo presente la regola della somma di due vettori, il vettore D si ottiene come rappresentato in figura Bro de Infatti, B èla diagonale del parallelogramma i cui lati sono AeD: D+A =B Prof. Bartolotta — Prof. Marrale ul Misura degli angoli in radianti Nella circonferenza difil@giioi® indichiamo con Mi lunghezza dell QI) corrispondente all (O a ita ; può quindi essere utilizzato come misura dell’angolo Definizione di (radiato (UNMS) : lo che i ; fi str ji 27 Angolo giro (360°) a = 2 (rad) angolo piatto= x angolo retto = 1/2 o 12 Funzione seno e funzione coseno dell'angolo A ogni angolo X corrisponde un punto sulla circonferenza, intersezione tra la semiretta mobile e la circonferenza P estremo libero dell’arco (dell’angolo) IZAG P, sono l’ascissa e l’ordinata del punto P Per ogni valore di x (angolo) si ha uno e un solo valore di P, e di P, IZAG P, sono funzioni dell'angolo x Vania ce 10.9) Le = sen(x) Per ambedue le funzione il dominio è tutto l’insieme dei reali seno dal latino sinus ("baia" o "insenatura "), errata traduzione (dall'arabo) della parola sanscrita jiva (corda) pe P, sono misurati usando come unità di misura il raggio della circonferenza Il loro valore è indipendente dal raggio della circonferenza scelta Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 13 (scomposizione di un vettore) Figura 1.13 (a) Un vettore A che giace nel piano xy si può rappresentare per mezzo dei suoi componenti A, e Ab (b) Il vettore componente x, può essere spostato verso destra per essere sommato ad A. Il vettore somma dei vettori componenti è A. Questi tre vettori formano un triangolo rettangolo. R.A. Serway, J. W. Jewett Jr a Principi di Fisica - V Ed. EdiSES Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 16 (scomposizione di un vettore) Figura 1.16 (a) I versori î, j, e K sono diretti lungo gli assi x, Re rispettivamente. (b) Un vettore A che giace nel piano xy ha componenti A,i e A,j, dove A, e A, sono le componenti di A. La | O R.A. Serway, J. W. Jewett Jr rincipi di Fisica - V Ed. 7 É TT / EdiSES Ax = Axî A = Ay] Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 17 Algebra vettoriale 4 (scomposizione di un vettore) Un vettore è quindi univocamente descritto in termini numerici dalle tre componenti A, A, A, oppure dal suo modulo A e da due angoli. In due dimensioni valgono le seguenti relazioni: Nota: i valori numerici delle componenti di un vettore dipendono dal sistema di riferimento scelto. Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 18 (esempio somma di due vettori) Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 21 Leggi fisiche vettoriali Una legge fisica che contiene grandezze fisiche vettoriali conserva la sua validità in tutti i sistemi di riferimento, anche se le componenti dei vettori dipendono dal sistema di riferimento scelto. Esempio, seconda legge della dinamica: Ftot,x may For =Ma > Ftoty 7 May ma, F tot,z Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 22 Prodotto scalare tra due vettori Il prodotto scalare tra due vettori A e B fornisce come risultato un numero (c) c= AB Se i due vettori corrispondono a due grandezze fisiche vettorial SIRENE i Nel SR scelto ciascuno dei due vettori è definito tramite le rispettive componenti A(AxAy;A,) B (B,;By;B,) Si Pe oneri omeeriederde tra due vettori la somma dei prodotti delle E’ possibile dimostrare che, scegliendo un diverso SR, le componenti dei due vettori cambiano, ma il risultato della precedente operazione non cambia. Modulo di un vettore: ACA=A+Af + A, = A? Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 3 Prodotto scalare tra due vettori \A|=(A-A)"° Prodotto scalare tra versori degli assi cartesiani nn j j A | proprietà distributiva: A *(B+C)= A eB+ AC Prof. Bartolotta — Prof. Marrale Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra due vettori fornisce come risultato un vettore 4 4 a direzione di Cè perpendicolare C= ANRB al piano formato da A e B, e la sua direzione è determinata dalla regola della mano destra. > Direzione di È “perpendicolare al piano formato dai due vettori A e B _ è bad . x î > Verso di C : in modo da vedere ruotare A_ su B in senso antiorario > Modulo di C :ESMAMBISSI(O) © angolo formato dai due vettori Arca Pedlelogzonia Il prodotto vettoriale di due vettori aventi la stessa direzione è Il prodotto vettoriale ONTANI ANA: RA. Se Principi di EdiSES ray, J. W. Jewett Jr Fisica - V Ed. rs Prof. Bartolotta — Prof. Marrale 2 Prodotto vettoriale | Proprietà anticommutativa: AxB=-BxA cAxB =c(AxB) AxcB =c(AxB) Prodotto per uno scalare: (A+B)xC= AxC+BxC | Proprietà distributiva: CD AX(B+C)= AxB+AXC Prof. Bartolotta — Prof. Marrale