Vettori, prodotto vettoriale è scalare, identità vettoriale, Appunti di Fisica

Scarica Vettori, prodotto vettoriale è scalare, identità vettoriale e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! VETTORI Consideriamo un sistema di riferimento levogiro (per il quale l’asse x ruota in senso antiorario sull’asse y), nel quale si definisce uno spazio vettoriale V dato da un insieme di oggetti o vettori Che godono di 4 proprietà fondamentali: - OPERAZIONE SOMMA Esiste un’operazione somma, data per cui, la somma di due vettori è un vettore appartenente allo spazio vettoriale V - PRODOTTO VETTORIALE PER UN NUMERO SCALARE - ELEMENTO NEUTRO Un oggetto tale che sommato al vettore iniziale dà il vettore stesso Lambda - ELEMENTO OPPOSTO Per un vettore sommato ad Che chiameremo Dà un vettore somma nullo I vettori considerati, sono dei vettori freccia, ossia dei vettori generici che escono dalla stessa origine, in uno spazio tridimensionale euclideo Regola del parallelogramma Per definire la somma di due vettori, consideriamo la regola del parallelogramma. In un piano contenete i vettori si costruisce un parallelogramma prolungando le rette parallele ad . Il vettore somma è il vettore che occupa la diagonale principale tra i due vettori L’operazione somma, non dipende dalle coordinate o dall’orientazione di . Il vettore somma è sempre lo stesso Operazione di prodotto vettoriale per uno scalare Modulo, direzione e verso La lunghezza del vettore, matematicamente è definita modulo, e si indica generalmente con: La direzione è la retta per cui passa il vettore Il verso indica da che parte va il vettore, dove punta quest’ultimo Vettore nullo ed elemento opposto Il vettore nullo è una freccia di lunghezza nulla, che ha modulo 0 L’elemento opposto È la freccia che ha la stessa direzione di Ma verso opposto. La loro somma è 0 Consideriamo un numero reale Lambda ed un vettore appartenente ad uno spazio V Il prodotto È la freccia che ha la lunghezza di Moltiplicata per . Hanno la stessa direzioneSi può definire quest’ultimo anche come una freccia nello spazio che ha modulo, direzione e verso Il modulo del prodotto è dato da lambda volte il modulo di a Altre proprietà - proprietà distributiva - distribuzione rispetto al prodotto - Proprietà associativa che vale per le frecce - Proprietà commutativa DIFFERENZA DI VETTORI Cos’è un vettore Consideriamo le componenti: Radice quadrata della somma dei quadrati dei componenti PRODOTTO SCALARE Il prodotto scalare è un numero che appartiene ad R Il prodotto scalare è dato dal prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo che si forma tra a e b Se considero le proiezioni di a su b o viceversa, il prodotto sarà dato da: Con le dovute formule inverse, se conosco i moduli dei vettori si può trovare l’angolo tra essi racchiuso. Viceversa se ho l’angolo posso calcolare i moduli dei vettori. Esempio PRODOTTO SCALARE DI COMPONENTI Si considera prima il prodotto scalare dei versori degli assi Le componenti possono così essere calcolate tramite il prodotto scalare con le formule inverse I vettori ortogonali ( perpendicolari) hanno prodotto scalare nullo. Prodotto scalare con se stesso Prodotto scalare in componenti Il prodotto scalare in componenti è il prodotto delle componenti dello stesso ordine Esempio Esempio Unità di misura Da queste derivano tutte le altre unità di misura Regola della matrice Definizione di matrice ' Dati due numeri naturali m e n, si definisce matrice una tabella costituita da m n numeri reali o complessi (elementi), disposti su m righe e n colonne e racchiusi fra parentesi quadre o tonde come indicato nella formula. Gli elementi della matrice generalmente si indicano con una stessa lettera munita di due indici, il primo indica la riga e il secondo la colonna: Matrice a 3 incognite Diagonale principale Diagonale secondaria Mi aiutano ad individuare le sottomatrici Ricorda Cramer: Determinante base Regola anti simmetria: la variabile al centro moltiplica per il segno - Regola della matrice per i vettori Il prodotto vettoriale si può esprimere come determinante delle componenti dei vettori Regola di Sarrus Si può ricorrere anche all’utilizzo della regola di Sarrus Matrice 2 x 2 con la ripetizione di due colonne Diagonale principale Diagonale secondaria Esempio Identità vettoriale Regola BAC - CAB Viene ridotto a prodotto scalare Regola BAC - ABC Prodotto triplo Vettori in spazi affini I vettori affini sono dei vettori che non sono applicati nell’origine. Un esempio è la velocità, il quale non è un vettore applicato all’origine, bensì si muove insieme al punto materiale. Per sommarli si usa il trasporto parallelo. Si prende il vettore, conservandone direzione, modulo e verso, e lo si trasporta parallelamente all’origine Trasformazioni di coordinate Finora abbiamo considerato i vettori in un unico sistema di riferimento. Ma cosa succede se considero anche un altro sistema? I vettori per propria natura, sono degli oggetti intrinseci, ciò vuol dire che hanno un modulo, una direzione e un verso che non dipendono dal sistema di riferimento. Cambiano solo ed esclusivamente le proiezioni sugli assi. Considerando questi due sistemi, avrò due serie di vettori