Ciążenie powszechne (grawitacja) - Notatki - Fizyka, Notatki z Fizyka

Pobierz Ciążenie powszechne (grawitacja) - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity! Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Wykład 6 6. Ciążenie powszechne (grawitacja) 6.1 Prawo powszechnego ciążenia Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m1 i m2. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m1 i m2 oddzielnie czyli: F ∼ m1m2 Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości ta- kiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy Ziemią i każdym ciałem. Przykład 1 Obliczmy jakie jest przyspieszenie Księżyca i jaki jest stosunek przyspieszenia Księżyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi? Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po okręgu). Wówczas: 2 2 2 2 4 T RR R a KK K π ω === v gdzie RK jest odległością od Ziemi do Księżyca. Ta odległość wynosi 3.86·105 km, a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc a = 2.73·10-3 m/s2 W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. Stąd stosunek przyspie- szeń wynosi: a/g = 1/3590 ≅ (1/60)2 W granicach błędu a/g = . 22 / KZ RR Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi (odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia 2 21~ r mmF Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc 6-1 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki 2 21 r mmGF = (6.1) Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi ρ = 5·103 kg/m3 (porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. ρSi = 2.8·103 kg/m3, ρFe = 7.9·103 kg/m3). Punktem wyjścia jest równanie: 2 21 r mmGF = Jeżeli weźmiemy r = RZ to otrzymamy: 2 21 ZR mmGF = Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma, gdzie a = g. Stąd mg R mmG Z =2 21 więc Z Z M gRG 2 = Wiemy, że MZ = ρVZ więc Z Z Z R g R gRG πρπρ 4 3 3 4 3 2 == Uwzględniając RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2. Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi, Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat później (wtedy też sformułował rachunek całkowy). Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to sa- mo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spada- nie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu. Przykład 2 Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo? F = ma 6-2 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki R M m Wtedy F = GMm/R2 Ponieważ przyspieszenie a = 4π2R/T to z równania F = ma otrzymujemy       = 2 2 2 4 T Rm R MmG π czyli 2 324 GT RM π= Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne obliczenia można przeprowadzić dla innych planet. 6.3 Prawa Keplera ruchu planet Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni- ły hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem odwagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni- ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został zmuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, że papież był jego przyjacie- lem. Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowa- nych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości. Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić że Mars i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładno- ścią. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę. 6-5 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki • Pierwsze prawo Keplera Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy. • Drugie prawo Keplera (prawo równych pól) Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. • Trzecie prawo Keplera Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadra- ty ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy). Dla orbit kołowych 2 2 2 1 3 2 3 1 T T R R = Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk oraz, że 2 2 2 1 3 2 3 1 T T R R = . Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dy- namiki. Przykładowo wyprowadźmy III prawo Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych. Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej planety: 2 1 3 1 24 GT R M π = a dla drugiej 2 2 3 2 24 GT RM π= Porównując otrzymamy 2 2 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 2 1 3 1 czyli T T R R T R T R == Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć). 6.4 Ciężar Ciężar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciążenia działającą na ciało. W pobliżu po- wierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księżycu ciężar jest mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy. 165.02 2 2 2 === KZ ZK Z Z K K Z K RM RM R mMG R mMG F F Definicja ciężaru może być myląca. Np. astronauta pomimo, że działa na niego jeszcze siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości. Fizjologiczne odczucie ciężaru czyli ile siły trzeba włożyć np. do podniesienia ręki. 6-6 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki 6.4.1 Ciężar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna Ważną konsekwencją tego, że siła grawitacyjna działająca na ciało jest proporcjo- nalna do jego masy, jest możliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawita- cyjnej. Można to zrobić używając wagi sprężynowej albo porównując siły grawitacyjne działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną innymi słowy ważąc ciało na wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą właściwość. Np. gdy spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej powierzchni to wymaga to pewnego wysiłku, a przecież ciążenie nie pojawia się tu w ogóle. Konieczność przyło- żenia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma. Nazywamy ją masą bezwładną m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Ale musimy używać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siła jest tu dana wzorem 2 ' Z Z R MmGF = gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe? Masa bezwładna m spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi ma przyspiesze- nie a1, przy czym 1 2 1 11 ' Z Z R Mm Gam = jeżeli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to 2 2 22 ' Z Z R MmGam = Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy ' ' 2 1 22 11 m m am am = Widzimy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Jeżeli dla jednej substancji ustalimy, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a1 = a2 z dokładnością 10-10. Te wyniki sugerują, że masa bezwładna jest równa masie grawita- cyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności. Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu (labora- torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teo- rii względności Einsteina. 6-7 docsity.com