GOSPODARKA NARODOWA, Egzaminy z Gospodarka

Pobierz GOSPODARKA NARODOWA i więcej Egzaminy w PDF z Gospodarka tylko na Docsity! Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 23 Gospodarka narodowa 6 (286) Rok LXXXVI/XXVII listopad–grudzień 2016 s.  23–42 Tomasz TOKARSKI* Anna ZACHOROWSKA-MAZURKIEWICZ** Kłopoty z marginalną teorią podziału Clarka Streszczenie: Artykuł ma na celu wykazanie fałszywości współcześnie wykorzystywanej postaci marginalnej teorii podziału. Teoria ta pierwotnie opracowana została przez Johna Batesa Clarka, pierwszego wybitnego ekonomistę amerykańskiego. Jednak jej współczesna postać – wykorzystywana między innymi w modelach makroekonomicznych, w tym mode- lach DSGE – odbiega od swojego pierwowzoru. W pierwszej części artykułu skupiono się więc na prześledzeniu historii teorii podziału od czasu jej sformułowania przez Clarka, do czasów współczesnych. Następnie, w części drugiej, przedstawiono dowód na fałszywość współcześnie wykorzystywanej postaci teorii podziału, ilustrując go przykładami z wyko- rzystaniem danych z Włoch i Polski. Słowa kluczowe: marginalna teoria podziału, John Bates Clark, modele ekonomiczne Kody JEL: B 13, B23, B41 Artykuł nadesłany 15 marca 2016 r., zaakceptowany 30  listopada 2016 r. Wprowadzenie1 Marginalna teoria podziału Johna Batesa Clarka (która powstała w końcu XIX wieku) do dziś jest wykorzystywana w modelowaniu makroekonomicznym, * Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomii Matematycznej; e-mail: tomtok67@tlen.pl ** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomii i Innowacji; e-mail: anna.zachorowska@uj.edu.pl 1 Autorzy dziękują prof. Armenowi Edigarianowi z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagielloń- skiego oraz prof. Michałowi Majsterkowi z Katedry Modeli i Prognoz Ekonometrycznych Uni- wersytetu Łódzkiego za uwagi do prezentowanego w artykule dowodu. Wyrazy podziękowania należą się również prof. Janinie Godłów-Lęgiędź z Instytutu Ekonomii Uniwersytetu Łódzkiego, pracownikom kierowanej przez prof. Emila Panka Katedry Ekonomii Matematycznej Uniwer- sytetu Ekonomicznego w Poznaniu oraz dr. Maciejowi Grodzickiemu i dr. Pawłowi Dykasowi 24 GOSPODARKA NARODOWA nr 6/2016 w szczególności w modelach opartych na tzw. podstawach mikroekonomicz- nych. Wykorzystuje się ją także do oszacowania udziałów nakładów poszczegól- nych czynników produkcji w wielkości wytworzonego w gospodarce produktu (nawiązując do powstałej w końcu lat 50. XX wieku dekompozycji Solowa). W prezentowanym artykule krótko scharakteryzowano istotę marginalnej teorii podziału Clarka oraz ewolucję, jaką przeszła ona w XX wieku. Ewolucja ta doprowadziła do takiej formy teorii podziału, która znalazła zastosowanie we współczesnych modelach makroekonomicznych. W dalszej części artykułu autorzy dowodzą fałszywości współcześnie wykorzystywanej postaci margi- nalnej teorii podziału, na gruncie prostego rozumowania z wykorzystaniem elementarnych narzędzi analizy matematycznej. Artykuł kończy podsumowa- nie prezentowanego rozważania. Istota i  zastosowania marginalnej teorii podziału Clark był wybitnym przedstawicielem marginalizmu amerykańskiego, za- łożycielem American Economic Association. Wkład Clarka do analizy margi- nalnej, a zwłaszcza do teorii produkcyjności krańcowej, przyniósł mu świa- towe uznanie. Według Landreth, Colandera [2005, s. 270] był on pierwszym Amerykaninem, który dokonał poważnego wkładu do teorii ekonomii. Zdaniem Clarka problemy ekonomiczne można badać, wykorzystując 3 perspektywy badawcze: 1) uniwersalnych praw rządzących tworzeniem i podziałam bogactwa, 2) statyki i stanu bogactwa w warunkach stabilności form organizacji i braku zmian w sposobach działania podmiotów gospodarczych, 3) dynamiki układu społeczno-gospodarczego, w której występują przekształ- cenia procesu tworzenia i podziału bogactwa [Stankiewicz, 2007, s. 201]. Clark (podobnie jak czynił to Marshall) uważał, że statyka ekonomiczna stanowi swego rodzaju preludium do dynamiki [Backhouse, 2002, s. 189], jednak w swojej twórczości nie poruszał tematów związanych z dynamiką ekonomiczną. Carver [1901, s. 584] wskazuje, że Clark rozróżniał dwa kryteria podziału warunków, w jakich dochodzi do aktywności gospodarczych. Pierwszy z nich to podział na warunki indywidualne (wyizolowane) i społeczne, natomiast drugi – na warunki statyczne i dynamiczne. W wyniku takiego podziału mamy do czynienia z: wyizolowaną statyką, wyizolowaną dynamiką, społeczną sta- tyką i społeczną dynamiką. Najbardziej znana teoria Clarka (teoria podziału) należy w takim ujęciu do społecznej statyki. Jak pisał sam Clark [1898, s. 9] ta część ekonomii, która prezentuje naturalne prawa tworzenia wartości i wynagrodzeń czynników produkcji, powinna świadomie przyjąć kształt z Katedry Ekonomii Matematycznej Uniwersytetu Jagiellońskiego za uwagi do wstępnej wersji prezentowanego artykułu. Rzecz jasna, całkowitą odpowiedzialność za ostateczną wersję arty- kułu ponoszą wyłącznie jego autorzy. Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 27 dopóty, dopóki wartość krańcowego produktu pracy nie zrówna się z płacą [Hunt, 2002, s. 303]3. Wykres 1. Ilustracja teorii podziału Clarka Produkt krańcowy Płaca (procent) Zatrudnienie czynnika produkcji 0 Płaca (procent) Źródło: Stankiewicz [2007, s.  201]. Udział bogactwa przypadający na każdą jednostkę czynnika produkcji równy jest produktowi, jaki dany czynnik wytworzył. Innymi słowy, wynagro- dzenie czynnika produkcji równe jest wartości produktu, która może być mu bezpośrednio przypisana [Clark, 1898, s. 4]. Przychód ten jest miarą wkładu danego czynnika zarówno do konkretnego produktu wytworzonego w pro- cesie produkcji, jak i do produktu wytworzonego przez całe społeczeństwo [Landreth, Colander, 2005, s. 270]. Produkcja jest bowiem sama w sobie syn- tezą, w której niezliczone czynniki tworzą poprzez swój udział całość świa- towego dochodu. W takim przypadku cała teoria podziału jest niczym więcej niż badaniem produkcji. Model podziału oparty na krańcowej produktywności wymaga, aby każdy z czynników produkcji był homogeniczny, tak by poszczególne jednostki mogły być agregowane. Nakład jest homogeniczny wówczas, gdy każda jed- nostka nakładu posiada takie same skutki techniczne, jak wszystkie pozostałe, a wszystkie jednostki wymieniane są za jednolitą cenę. Aby w ten sposób przedstawić swoją teorię, Clark potrzebował wyodrębnić czynnik produkcji 3 Tezę tę można w prosty sposób uzasadnić na gruncie jednoczynnikowej funkcji produkcji f(x) f : [0;+∞) → [0;+∞) charakteryzującej się tym, że: jest różniczkowalna w zbiorze [0;+∞), f(0) =0, f '(x) > 0, f "(x) < 0, lim f '(x) = +∞ oraz lim x→+∞ f '(x) = 0 oraz funkcji kosztów c(x) = wx, gdzie w > 0 jest realną ceną czynnika produkcji. Wówczas bowiem warunek f '(x) = w gwarantuje maksyma- lizację funkcji zysku f(x) – c(x). Warto jednak zauważyć, że tylko malejące produkcyjności krań- cowe (czyli spełnienie związków f '(x) > 0 i f "(x) < 0) są za słabe do tego, by warunek f '(x) = w maksymalizował zysk. Wynika to stąd, że jeśli weźmiemy np. funkcję f (x) = ax + x (przy a>w), to warunki są f '(x) > 0 i f "(x) < 0) zachodzą, ale nie istnieje żaden nieujemny nakład x, przy któ- rym spełniony jest warunek f '(x) = w. 28 GOSPODARKA NARODOWA nr 6/2016 (kapitał), który byłby homogeniczny zarówno w przekroju międzybranżowym, jak i w przekroju różnych okresów. Z tego powodu wyróżniał kapitał, który jest czymś odmiennym od dóbr kapitałowych. Dobra kapitałowe różnią się od siebie w zależności od branży i okresu, kapitał – z kolei – jest zakumu- lowanym funduszem w danym momencie. W takim sensie kapitał staje się podobny do drugiego czynnika produkcji – pracy, która jest homogeniczna a jej podaż jest stała, pomimo że poszczególni pracownicy tworzący siłę ro- boczą zmieniają się, gdyż jedni opuszczają rynek pracy, a inni na niego wcho- dzą [Tobin, 1985, s. 31]. Intencją Clarka nie było jednak zaprojektowanie prostego świata, w którym istnieje jedynie jeden rodzaj dóbr kapitałowych i  jeden rodzaj pracy. Jednak, aby zinterpretować zasadę produktywności krańcowej w kontekście dwuczynnikowej teorii podziału, Clark musiał wy- kazać, że wszystkie jednostki kapitału są w procesie produkcji doskonałymi substytutami. Osiągnął to poprzez zdefiniowanie kapitału jako zagregowanej wartości aktywów materialnych, będących w posiadaniu inwestorów, a nie jako zróżnicowanych instrumentów wykorzystywanych w procesie produkcji [Feder, 2003, s. 362]. Clark [1907, s. 352] w związku z tym twierdził, że istnieje pewna katego- ria, którą można nazwać kapitałem. Jednak uważał również, że istnieje inna kategoria, względem której można używać sformułowanie – dobra kapitałowe. Są to dwie kategorie, które pozornie wydają się być identyczne, lecz w rze- czywistości są odmienne. W jednym okresie nie ma różnicy między kapitałem i dobrami kapitałowymi. Jednak w innym okresie niektóre dobra kapitałowe zużyją się, inne zaś zajmą ich miejsce. Pod koniec roku znaczna część dóbr kapitałowych zużyje się, a po 5 latach zużyje się większość z nich. Jednak po- ziom kapitału pozostanie bez zmian (gdyż nowe dobra zastąpią dobra zużyte). Czyli po 5 latach poziom kapitału będzie identyczny, jednak składać się będą na niego w znacznej mierze inne dobra kapitałowe, niż na początku [Clark, 1907, s. 354]. Oznacza to, że w ujęciu statycznym kapitał stanowi pewien trwały fundusz, na który składają się dobra kapitałowe. Dobra kapitałowe ulegają deprecjacji, ale w ich miejsce pojawiają się nowe, jednak poziom funduszu (a więc kapitał) pozostaje stały. Stopa procentowa jest krańcowym produktem tak rozumianego funduszu kapitału – dodatkowym przychodem, który można uzyskać, jeśli wzrośnie zużycie kapitału o jednostkę [Backhouse, 2002, s. 188–189]. Tak więc na kapitał składają się dobra kapitałowe, ale jednak posiada on pewne cechy, które różnią go od nich [Hunt, 2002, s. 309]. Jedną z najważniej- szych cech kapitału jest jego trwałość, podczas gdy dobra kapitałowe zużywają się. Ponadto kapitał jest doskonale mobilny, podczas gdy dobra materialne nie. Dobra kapitałowe (włączając w nie ziemię) są materialnymi, trwałymi przedmiotami, które można wymieniać i uzyskiwać dzięki nim dochód. Kapitał jest funduszem zainwestowanym w dobra kapitałowe i w ziemię [Feder, 2003, s. 362]. Jak twierdził Clark [1965, s. 119], kapitał jest „abstrakcyjną cząstką majątku produkcyjnego, trwałym funduszem. (…) Myślimy o kapitale jako Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 29 o sumie majątku produkcyjnego, zainwestowaną w dobra materialne, które są w stałym ruchu, (…) choć fundusz trwa” [za Hunt 2002, s. 309]. W ten sposób sformułowana przez Clarka teoria podziału była krytykowana tak przez ekonomistów jemu współczesnych, jak i późniejszych4. Krytyka doty- czyła różnych kwestii: braku analizy podaży czynników produkcji ( Marshall), czy też kwestii sprawiedliwości zaproponowanego podziału (Böhm-Bawerk)5. Jednak z punktu widzenia prezentowanego w artykule dowodu warto odnieść się do krytyki zaprezentowanej przez Walkera [1891], który zwrócił uwagę na możliwość wystąpienia jednoczesnego wzrostu wykorzystywanych w pro- dukcji czynników wytwórczych, a więc zarówno pracy, jak i kapitału. Walker zwraca uwagę, że niemożliwym jest, aby dwa zasoby charakteryzujące się jed- nocześnie malejącymi przychodami krańcowymi doprowadziły do obserwo- walnego wzrostu produktu. Odpowiadając na krytykę Walkera, Clark [1891, s. 117] wskazuje, że w swoich pracach nigdy nie pisał o zjawisku jednoczesnych malejących produkcyjności krańcowych. Pisał jedynie o zmniejszających się przychodach krańcowych jednego zasobu (pracy lub kapitału), w sytuacji, gdy drugi zasób jest stały. Prawo malejących produkcyjności krańcowych działa, gdy względne wielkości dwu czynników produkcji zmieniają się. Proporcjo- nalna zmiana obu czynników produkcji anuluje według niego działanie tego prawa. Jeśli kapitał i praca wzrastają w takim samym stopniu, przyczyniają się do pojawienia się stałych przychodów. Jednak w 1907 roku w artykule Con- cerning the Nature of Capital: A Reply Clark stwierdza, że istnieje przypadek, w którym powstaje nowy kapitał. Czyli pojawiają się nowe jednostki, których celem nie jest zastąpienie zużytych dóbr kapitałowych, lecz mają być dodat- kowymi elementami kapitału. Jednak jest to zjawisko klasyfikowane przez niego jako dynamika ekonomiczna, a więc nie jest to problem ekonomicznej statyki, której ilustracją jest teoria podziału. Bardziej współcześnie Samuelson nazwał koncepcję kapitału zaprezentowaną przez Clarka neoklasyczną bajką (neoclassical fairy tale). Utrzymywał jednak, że chociaż neoklasyczne teorie produkcji i kapitału nie były prawdziwe w sensie naukowym, to stanowiły pewne alegorie, które taką prawdę ilustrują [Hunt, 2002, s. 433]. Spośród XIX wiecznych wielkich ekonomistów jedynie Clark i Böhn-Ba- werk posługiwali się uproszczoną teorią podziału opartą na produktywności krańcowej w zastosowaniu do całej gospodarki, pojmowanej tak, jakby była jednym gigantycznym przedsiębiorstwem [Blaug, 2000, s. 477]. Po II wojnie światowej taka neoklasyczna teoria produkcji i podziału opa- nowała wyobraźnię ekonomistów [Blaug, 1995, s. 256]. Ekonomiści zaczęli analizować gospodarki przy wykorzystaniu zagregowanej funkcji produkcji (z kapitałem i pracą, jako czynnikami produkcji) oraz zaczęli omawiać wynagrodzenie czynników produkcji przy wykorzystaniu ich produktywności 4 Dyskusja ta szeroko scharakteryzowana jest w pracy Harcourta [1975]. Por. też Ølgaard [1972] lub Hicks [1978]. 5 Więcej na ten temat można przeczytać w pracy Blauga [2000]. 32 GOSPODARKA NARODOWA nr 6/2016 2010, s. 58]. Statystyki pokazują, że gospodarka stale rośnie i obserwuje się stałe wzrosty produktywności pracy i kapitału oraz względnie stały udział płac i zysków w dochodzie, co dobrze pasuje do funkcji produkcji Cobba- -Douglasa. Shaikh pokazał w 1974 roku, że takie dobre dopasowanie funkcji Cobba-Douglasa gwarantuje, że może być ona algebraicznie wyprowadzona z tożsamości dochodu narodowego pomiędzy wartością dodaną a sumą płac i zysków [za Foley, Michl, 2010, s. 58]. Bardziej współcześnie zagregowana funkcja produkcji o stałych efektach skali i dwóch rodzajach nakładów czynników produkcji (pracy i kapitału) wykorzystywana jest przez szkołę realnego cyklu koniunkturalnego [Snow- don, Vane, 2005, s. 309; Romer, 2000, rozdz. 4] oraz w modelach typu DSGE. W modelach tych często zakłada się, że proces produkcyjny opisuje funkcja produkcji Cobba-Douglasa postaci: Y = AKαL1−α i wówczas warunki konieczne maksymalizacji zysku sprowadzają się do związków: ∂Y ∂K = r oraz: ∂Y ∂L = w, gdzie pochodne cząstkowe ∂Y ∂K i  ∂Y ∂L są krańcowymi produktami czynników produkcji, zaś r, w > 0 – ich cenami8. Fałszywość takiego podejścia autorzy wykazują w dalszej części artykułu. Fałszywości marginalnej teorii podziału Z (mikro) ekonomicznego punktu widzenia rozważamy małe przedsiębiorstwo (producenta), które charakteryzuje się kilkoma następującymi właściwościami: I. Nie ma żadnego ograniczenia popytowego, a więc przedsiębiorstwo to sprzeda na rynku dowolną wielkość wytworzonego przez siebie produktu. II. Producent nie trafia na żadną barierę w dostępie do czynników produkcji (może ich nająć dowolną, skończoną lub nieskończoną, wielkość9). 8 Z twierdzenia 2.2 przedstawionego w pracy Panka [2003, s. 93] wynika, że warunki ∂Y / ∂K = r i ∂Y / ∂L = w gwarantują maksymalizację zysku przedsiębiorstwa, ale m.in. przy założeniu, że funkcja produkcji jest silnie wklęsła. Funkcja produkcji Y = AKαL1−α warunku tego jednak nie spełnia. Należy również zauważyć, że silnie wklęsła, potęgowa funkcja produkcji Y = AKαLβ (gdzie α ,β ∈(0;1) oraz α + β <1) nie spełnia warunku Eulera ∂Y ∂K K + ∂Y ∂L L = Y dla funkcji jedno- rodnej stopnia pierwszego, choć spełnia warunek Eulera ∂Y ∂K K + ∂Y ∂L L = (α + β )Y dla funkcji jednorodnej stopnia α + β <1 (por. np. Tokarski [2011, rozdz. 8]). Oznacza to tyle, że również na gruncie funkcji produkcji Y = AKαLβ parametrów α i β nie można utożsamiać z udziałami nakładów czynników produkcji w produkcie, gdyż wielkości te nie sumują się do 1. 9 Gdyby założenie to uchylić, to można rozważać model, w którym wydatki producenta na za- trudnienie czynników produkcji są ograniczone przez pewną skończoną wielkość m > 0 (zależną np. od dostępnych mu zasobów finansowych). Wówczas problem maksymalizacji zysku spro- wadza się do tego, że maksymalizuje się wartość funkcji produkcji f(x) przy ograniczeniach w 1 x 1 + w 2 x 2 ≤ m i x 1 ,x 2 ≥ 0. W tym przypadku warunki konieczne maksymalizacji funkcji zysku można sprowadzić do równań: ∂f / ∂x 1 ∂f / ∂x 2 = w 1 w 2 i w1 x 1 + w 2 x 2 = m. Podejścia tego nie krytykujemy Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 33 III. Przedsiębiorstwo nie ma żadnego wpływu ani na cenę produktu, ani na ceny czynników produkcji (wielkości te bierze z rynku). Posiada ono również doskonałą informację o tych cenach. IV. Producent szuka takiej kombinacji nakładów czynników produkcji, która maksymalizuje jego zysk. V. Funkcja produkcji rozważanego przedsiębiorstwa charakteryzuje się m.in. niezbędnością nakładów każdego z czynników produkcji i stałymi efektami skali (czyli jest jednorodna stopnia pierwszego)10. Przejdźmy teraz do strony matematycznej rozważanego problemu. Niech x = (x 1 ,x 2 ) oznacza dowolną kombinację nakładów czynników produkcji w zbio- rze [0;+∞)2, zaś funkcja produkcji f : [0;+∞)2 → [0;+∞) charakteryzuje się tym, że: (i) jest ciągła w zbiorze [0;+∞)2, (ii) f (0;0) =0, (iii) ∀(x ∈[0;+∞)2 ∧ζ > 0) f (ζ x) = ζ f (x). Oznaczmy też przez c(x) = w 1 x 1 + w 2 x 2 funkcję kosztów całkowitych, w któ- rej w1, w2>0 są realnymi cenami czynników produkcji. Rzecz jasna, funkcja kosztów c : [0;+∞)2 → [0;+∞) spełnia również warunki (i–iii). Przy przyjętych założeniach funkcję zysku (w kategoriach realnych) mo- żemy zapisać wzorem: φ ϕ(x) = f (x)− c(x). (1) Funkcja φ ϕ : [0;+∞)2 → R także charakteryzuje się właściwościami (i–iii). Pokażemy, że funkcja zysku (1) nie ma żadnego ekstremum lokalnego w zbiorze (0;+∞)2. Dowód Załóżmy (wbrew tezie), że ekstremum takie istnieje w pewnym punkcie x* ∈(0;+∞)2. Wówczas istnieje pewne otoczenie u ⊆ (0;+∞)2 punktu x* takie, że: ∀(x ∈u∧ x ≠ x* ) ϕ(x) <ϕ(x* ) φ x) < φ (x*), w przypadku maksimum, lub: ∀(x ∈u∧ x ≠ x* ) ϕ(x) >ϕ(x* ) φ (x) > φ (x*), przy minimum. Weźmy też dowolny okrąg κ ⊆ u o środku w punk- cie x* oraz półprostą p wychodzącą z początku układu współrzędnych i prze- chodzącą przez punkt x*. Wówczas istnieją dokładnie dwa punkty q1 i q2, takie, że: q 1 ,q 2 ∈κ ∩ p. Oznacza to, że: φ (q1), φ (q1) < φ (x*), (2) w przypadku maksimum, lub: (jest ono prawdziwe), zauważamy jedynie, że warunki ∂f / ∂x 1 ∂f / ∂x 2 = w 1 w 2 i w1 x 1 + w 2 x 2 = m nie są w żaden sposób tożsame z warunkami ∂f ∂x i = w i (dla i=1, 2). 10 Pozostałe właściwości neoklasycznej funkcji produkcji nie są w tym rozumowaniu potrzebne. 34 GOSPODARKA NARODOWA nr 6/2016 φ (q1), φ (q1) > φ (x*), (3) przy minimum. Niech również punkt q1 leży bliżej początku układu współ- rzędnych, niż punkt q2. Zauważmy, że z jednorodności stopnia pierwszego funkcji zysku φ wynika, że na każdej półprostej x 1 = ζ x 2 (wychodzącej z początku układu współrzęd- nych o dodatnim nachyleniu ζ ) zachodzą zależności: ∀x 2 ≥ 0 ϕ(x 2 ) = x 2 φ(ζ ;1), (4) co powoduje, że jeśli φ(ζ ;1) > 0 (φ(ζ ;1) < 0), to na całej półprostej p wartości funkcji φ, czyli ϕ(x 2 ) , przy x2 rosnącym od 0 do +∞, rosną (spadają) od 0 do +∞ (–∞), zaś przy φ(ζ ;1) = 0 – równe są 0. W szczególności więc również: (a) jeśli φ(x* ) > 0, to φ(q 1 ) < φ(x* ) < φ(q 2 ) , (b) jeśli φ(x* ) = 0, to φ(q 1 ) = φ(x* ) = φ(q 2 ) lub: (c) jeśli φ(x* ) < 0, to φ(q 1 ) > φ(x* ) > φ(q 2 ) , co stoi w sprzeczności z nierównościami (2–3). Rozumowanie to można również łatwo uogólnić na n-czynnikową funkcję produkcji (dla dowolnego n=2, 3,...) Jeśli bowiem weźmiemy n-czynnikową funkcję produkcji f(z), gdzie z = (z 1 ,z 2 ,…,z n ) ∈[0;+∞)n, taką, że f : [0;+∞)n → [0;+∞) oraz charakteryzującą się właściwościami (i–iii) w zbiorze [0;+∞)n i funkcję kosz- tów c(z) = w i z i i ∑ (przy wi>0), to funkcja zysku φ(z) = f (z)− c(z) jest funkcją φ : [0;+∞)n → R spełniającą właściwości (i-iii) w zbiorze [0;+∞)n. Wówczas, bio- rąc punkty q = (ζ z n ;ζ z n ;…;z n ) ∈[0;+∞)n, dla dowolnego ζ > 0, mamy: ∀z n ≥ 0 ϕ(z n ) = φ(q) = φ(ζ ;ζ ;…;1)z n , a zatem na półprostej wychodzącej z początku n-wymiarowego układu współ- rzędnych i przechodzącej przez dowolny punkt q funkcja ϕ(z n ) zachowuje się tak samo, jak funkcja (4). Wówczas otoczenie u jest pewną n-wymiarową bryłą otwartą, zaś okrąg κ ⊂ u – okręgiem o środku w punkcie z* (będącym odpo- wiednikiem punktu x* na płaszczyźnie) zawartym w dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez z* i początek n-wymiarowego układu współrzędnych. Egzemplifikacja dowodu (przedsiębiorstwo z  funkcją produkcji Cobba-Douglasa): Weźmy szczególny przypadek funkcji produkcji f, tj.  funkcję produkcji Cobba-Douglasa daną wzorem: f (x) = ax 1 α x 2 1−α (przy a>0 oraz α ∈(0;1)). Wów- czas funkcję zysku (1) można zapisać równaniem: φ(x) = ax 1 α x 2 1−α − w 1 x 1 − w 2 x 2. (5) Warunki konieczne maksymalizacji funkcji (5) określają związki: Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 37 mpk = ∂Y ∂K = αkα−1, (10) gdzie k=K/L oznacza techniczne uzbrojenie pracy. Rzecz jasna, jak pokazano wcześniej, przy danej kombinacji cen czynników produkcji (r,w) ∈(0;+∞)2 żadnej kombinacji nakładów czynników produkcji (K,L) ∈(0;+∞)2; ∞)2, która maksymalizuje zysk, wyznaczyć się nie da. Ale w tego typu modelach przyj- muje się, że przy danej kombinacji zasobów czynników produkcji (K,L) ∈(0;+∞)2 istnieje kombinacja cen czynników (r ,w) ∈(0;+∞)2, przy której tzw. zysk eko- nomiczny równy jest 0. Wówczas w szczególności z warunku ∂Y ∂K = r i równa- nia (10) wynika, że: r = α(k )α−1, (11) gdzie k = K / L. Podejście takie również nie wydaje się uzasadnione. Weźmy bowiem 2 mia- sta znajdujące się na terenie jednego kraju. Załóżmy również, że w miastach tych techniczne uzbrojenie pracy ma się jak 3:1 (tj.  k 1 / k 2 = 3). Wówczas (in- terpretując r jako cenę kapitału), zgodnie z równaniem (11), mamy: r 1 r 2 = k 2 k 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1−α = 1 31−α , zaś biorąc (podobnie jak w pracy Solowa [1957]) α = 1 3 dostajemy: r 1 r 2 = 1 93 ≈ 0,481. Z powyższych rozważań wynika, że w mieście 1, o 3 razy wyższym tech- nicznym uzbrojeniu pracy, przeciętne ceny kapitału (w tym również ceny nieruchomości) równe są ok. 48,1% przeciętnych cen kapitału w mieście 2. W gospodarkach zazwyczaj jest odwrotnie. Odwołajmy się jednak do konkre- tów. Z danych w Bazie Danych Lokalnych GUS (www.stat.gov.pl) wynika, że wartość brutto środków trwałych na mieszkańca w 2013 roku w Warszawie wynosiła 152,5 tys. zł, w Białymstoku zaś 39,5 tys. zł. Gdyby relacje kapitału rzeczowego na pracującego kształtowały się na podobnym poziomie (co jest zbliżone do rzeczywistości), to  k 1 / k 2 ≈ 3,860 i wówczas ceny kapitału rzeczo- wego w Warszawie powinny stanowić ok. 40,6% cen w Białymstoku. Gdyby zaś wziąć Warszawę i Przemyśl, to  k 1 / k 2 ≈ 6,375 zaś r 1 ≈ 0,291r 2 . Przyjmijmy jednak, że r nie jest ceną kapitału a przychodem od kapi- tału. Z danych Urzędu Statystycznego Włoch ISTAT (http://dati.istat.it/) wy- nika, że w 2013 roku PKB per capita regionów Północnych Włoch stanowił ok. 121,6% PKB na mieszkańca całego kraju, Środkowych Włoch – 110,1%, zaś Południowych Włoch – tylko 65,1% (relacje te podobnie kształtowały 38 GOSPODARKA NARODOWA nr 6/2016 się również w latach 2000–2013)12. Przyjmijmy też, że podobne były relacje wydajności pracy w tych grupach regionów. Biorąc wydajność pracy i tech- niczne uzbrojenie pracy Włoch za 1, oznaczając przez y N =1,216, y C =1,101 oraz y S = 0,651 wydajność pracy (odpowiednio) Północnych, Środkowych i Południowych Włoch i przyjmując α = 1 3 mamy: k N ≈1,798, k C ≈1,335 oraz k S ≈ 0,276. Ponieważ r = α(k )α−1, zatem przy przychodach od kapitału we Wło- szech równych 1 3 , przychody na Północy rN = α(k N )α−1 ≈ 0,225, w Środkowych Włoszech r C = α(k C )α−1 ≈ 0,275, zaś na Południu13 rS = α(k S )α−1 ≈ 0,787. Oznacza to, że gdyby prawdziwa była neoklasyczna teoria podziału, to przychody od kapitału na Południu Włoch stanowiłyby 236,0% przeciętnych przychodów w całej gospodarce włoskiej, na Północy zaś – jedynie 67,6% (w skrajnych przypadkach – w Bolano-Bozen tylko 44,4%, natomiast w Kalabrii aż 268,7%). To z kolei, przy braku praktycznie żadnych barier przepływów kapitałowych między włoskimi regionami, powinno prowadzić do bardzo dużych przepły- wów kapitałowych z Północy na Południe Włoch. Proces taki nie jest jednak od lat rejestrowany. Można też próbować (jak ma to miejsce w pracy Lucasa [1990]) uzasad- niać brak przepływów kapitałowych różnicami w kapitale ludzkim. Jednak jeśli założyć (podobnie jak ma to miejsce w pracy Mankiwa, Romera, Weila [1992]), że wydajność pracy y określa równanie14: y = kαhβ, gdzie h jest zasobem kapitału ludzkiego na pracującego, zaś α ,β ,(α + β ) ∈(0;1), to krańcowy produkt kapitału rzeczowego określa równanie: mpk = αkα−1hβ . (12) Z równania (12) wynika, że do tego, by krańcowe produkty kapitału (przy technicznych uzbrojeniach pracy k 1 i  k 2) między dwoma regionami wyrów- nały się (przy zasobach kapitału ludzkiego na pracującego równych h1 oraz h 2), musi zachodzić związek: h 1 h 2 = k 1 k 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1−α β . (13) 12 Relacje skrajne są jeszcze większe, bowiem w Prowincji Autonomicznej Bolano-Bozen PKB per capita w 2013 roku stanowił 150,1% wartości owej zmiennej makroekonomicznej we Włoszech, w Kalabrii zaś – jedynie 61,0%. 13 Wówczas w Prowincji Autonomicznej Bolano-Bozen przychody te winny być równe ok. 0,148, zaś w Kalabrii – 0,896. 14 Bierzemy tu wydajności pracy wynikającą z funkcji produkcji z artykułu Mankiwa, Romera, Weila [1992] (czyli Y = KαH βL1−α−β, gdzie H jest całkowitym zasobem kapitału ludzkiego w go- spodarce) a nie z pracy Lucasa [1990], gdyż trzymamy się założenia o stałych efektach skali (w przeciwnym przypadku wykorzystanie neoklasycznej teorii podziału jest nieuprawnione). Tomasz Tokarski, Anna Zachorowska-Mazurkiewicz, Kłopoty z marginalną teorią podziału... 39 Z założenia o tym, że α + β ∈(0;1) wynika, iż 1−α β >1, a stąd i z równania (13) wnioskujemy, że przy k 1 > k 2 zachodzi nierówność: h 1 h 2 > k 1 k 2 . (14) Ponieważ skalibrowana relacja k1 / k 2 (w prowadzonym tu rozumowaniu opartym na funkcji produkcji Cobba-Douglasa) w przypadku Północnych i Po- łudniowych Włoch wynosi ok. 6,52, zatem, by krańcowe produkty kapitału wyrównały się kapitał ludzki na pracującego w Bolano-Bozen, Trydencie, Mediolanie czy Turynie powinien być ponad 6,52 razy wyższy niż w Palermo, Messynie czy Catanzaro15. Można wątpić, by tak było w rzeczywistości. Podsumowanie Marginalna teoria podziału Clarka jest jego największym osiągnięciem i znalazła trwałe miejsce w historii myśli ekonomicznej. Lecz nie jest to teo- ria, która nie wzbudzała i nie wzbudza kontrowersji. W wersji Clarka dwa najistotniejsze założenia tej teorii, to (1) wykorzystanie jedynie dwóch czyn- ników produkcji oraz (2) posługiwanie się koncepcją kapitału, jako homo- genicznego nakładu czynnika produkcji. W XX wieku marginalna teoria po- działu Clarka rozpowszechniona została głównie za sprawą Solowa. Warto przy tym zaznaczyć, że uległa ona przy tym pewnym modyfikacjom. W pra- cach Solowa oba czynniki produkcji charakteryzują się bowiem malejącymi produkcyjnościami krańcowymi oraz występują stałe efekty skali. Wówczas, zgodnie z teorią podziału Clarka, mamy: ∂Y ∂K = r oraz ∂Y ∂L = w, zaś z twierdzenia Eulera o funkcji jednorodnej stopnia pierwszego wynika, że: ∂Y ∂K K + ∂Y ∂L L = Y , co powoduje, że: rK Y + wL Y =1. 15 By krańcowy produkt kapitału rzeczowego w Warszawie i Przemyślu wyrównał się kapitał ludzki na pracującego w Warszawie powinien być ponad 6,38 razy wyższy niż w Przemyślu. Ile więc razy musiałby być wyższy kapitał ludzki na pracującego w Warszawie, by na gruncie neoklasycznej teorii podziału uzasadnić znacznie wyższe ceny nieruchomości w Warszawie, niż w Przemyślu?