Przekształcanie wyrażeń algebraicznych, Streszczenia z Algebra

Pobierz Przekształcanie wyrażeń algebraicznych i więcej Streszczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity! Przekształcanie wyrażeń algebraicznych Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela Słowo algebra (z arabskiego al‐dżabr – przywrócenie ) pochodzi z książki Al‐Maqala fi Hisab‐al Jabr wa‐al‐Muqabilah (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu), napisanej w IX wieku przez słynnego perskiego matematyka Muhammada ibn Mūsā al‐Khwārizmīego. W XII wieku dzieło to zostało przywiezione do Europy i przetłumaczone na łacinę , ze zmienioną nazwą „Algebra”. Algebra to obecnie jeden z działów matematyki. Jedną z najważniejszych umiejętności algebraicznych, jest przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Twoje cele Sprowadzisz do najprostszej postaci wyrażenia algebraiczne, obliczysz ich wartości. Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych Dzieło, z którego pochodzi określenie „algebra” Źródło: domena publiczna. Otrzymujemy wynik: wartość wyrażenia jest równa . Przed wykonywaniem przekształceń wyrażeń algebraicznych, przypomnij sobie jeszcze prawa działań, z których będziesz korzystać. Ważne! Przykład 2 Obliczymy wartość wyrażenia . Obliczenia wykonamy zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Wykonujemy mnożenie, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej). Wykonujemy działania w nawiasie. Korzystamy ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz łączności i przemienności mnożenia. Odejmujemy. Otrzymujemy wynik. Wartość wyrażenia jest równa . Działania łączne na wyrażeniach algebraicznych Wykonując działania łączne na wyrażeniach algebraicznych, korzysta się z poznanych praw działań oraz reguł dotyczących dodawania i odejmowania sum algebraicznych: Prawa działań Przemienność dodawania Przemienność mnożenia Łączność dodawania Łączność mnożenia Rozdzielność mnożenia względem dodawania 560 a+ b = b+ a a ⋅ b = b ⋅ a (a+ b) + c = a+ (b+ c) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) a ⋅ (b+ c) = a ⋅ b+ a ⋅ c [ √ 6( √ 3 − √ 6)− √ 3( √ 3 − √ 6)] : 3 − √ 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 5 [ √ 6( √ 3 − √ 6)− √ 3( √ 3 − √ 6)] : 3 − √ 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 5 = ( √ 18 − 6 − 3 + √ 18) : 3 − √ 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 5 = (6 √ 2 − 9) : 3 − √ 2 ⋅ 4 ⋅ 0, 5 = 6 √ 2 : 3 − 9 : 3 − √ 2 ⋅ (4 ⋅ 0,5) = 2 √ 2 − 3 − 2 √ 2 = −3 (−3) Przykład 3 Zapiszemy wyrażenie w najprostszej postaci. wykonujemy mnożenie redukujemy w nawiasach wyrazy podobne opuszczamy nawiasy redukujemy wyrazy podobne Przykład 4 Obliczymy wartość liczbową wyrażenia , gdy , . Sprowadzimy najpierw podane wyrażenie do najprostszej postaci. Wykonujemy najpierw działania w nawiasie kwadratowym. W iloczynie najpierw wykonamy mnożenie sum algebraicznych i dopiero pomnożymy przez . Wyrażenie zapiszemy najpierw w postaci iloczynu. W nawiasie kwadratowym wykonujemy mnożenie. Redukujemy wyrazy podobne w nawiasie kwadratowym. Wykonujemy działania w nawiasie kwadratowym. Dzielimy przez . (a+ b) + (c− d) = a+ b+ c− d (a+ b) − (c− d) = a+ b− c+ d (x+ 2)(x+ 1) − (x− 1)(x+ 2) − 2x(x+ 1) {3a 2 − [2(a− b)(a− 1)+ (a+ b) 2 − b 2 ]} : 2 a = √ 5 b = √ 5 − 1 2(a− b)(a− 1) 2 (a+ b) 2 {3a 2 − [2(a− b)(a− 1)+ (a+ b) 2 − b 2 ]} : 2 = {3a 2 − [2(a 2 − a− ab+ b)+ (a+ b)(a+ b)− b 2 ]} : 2 = {3a 2 − [2a 2 − 2a− 2ab+ 2b+ a 2 + 2ab+ b 2 − b 2 ]} : 2 = [3a 2 − (3a 2 − 2a+ 2b)] : 2 = 2 Obliczamy teraz wartość liczbową otrzymanego wyrażenia – w miejsce liter podstawiając dane liczby. Wartość liczbowa  wyrażenia jest równa . Przykład 5 Wykażemy, że dla każdej liczby rzeczywistej  wyrażenie przyjmuje tę samą wartość liczbową. Wykonamy najpierw działania w nawiasie kwadratowym. Mnożymy pierwsze dwa czynniki w każdym z iloczynów – wykorzystując rozdzielność mnożenia względem dodawania. Zredukowaliśmy wyrazy podobne. Zamieniliśmy iloczyny na sumy algebraiczne – korzystając ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania. Opuszczamy nawiasy. Redukujemy wyrazy podobne. Po sprowadzaniu wyrażenia do najprostszej postaci otrzymujemy , zatem wyrażenie nie zawierające zmiennej . Czyli niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy do wyrażenia w miejsce zmiennej , wartość  liczbowa wyrażenia jest równa . Słownik (2a− 2b) : 2 = a− b √ 5 − ( √ 5 − 1) = 1 1 a [(a+ 1)(a− 2)(1 − a) + a(a− 1)(a− 1)] − 2a [(a+ 1)(a− 2)(1 − a) + a(a− 1)(a− 1)] − 2a = [(a 2 − 2a+ a− 2)(1 − a) + (a 2 − a)(a− 1)]− 2a = [(a 2 − a− 2)(1 − a)+ (a 3 − a 2 − a 2 + a)]− 2a = [(a 2 − a 3 − a+ a 2 − 2 + 2a)+ (a 3 − 2a 2 + a)]− 2a = (2a 2 − a 3 + a− 2 + a 3 − 2a 2 + a)− 2a = 2a− 2 − 2a = −2 (−2) a a (−2) Sprawdź się Pokaż ćwiczenia: 輸醙難 Ćwiczenie 1 Marta rozwiązała zadań. Agata rozwiązała razy więcej zadań. Liczba zadań rozwiązanych przez Izę jest równa trzeciej części liczby zadań rozwiązanych przez Martę i Agatę łącznie. Ile zadań rozwiązały łącznie dziewczęta? x 4 4x+16 3 20x 5 3 x 20 3 x Ćwiczenie 2 Dopasuj działanie do wyniku. 3[x− 2(1 − x)] − 9x −6 [10 − 2(3 − x)] − 2(x− 1) −x (x− 1)(x− 1)(x− 1)+ −x[x 2 + 3(1 − x)] 6 x(x 2 − 1)− x 2 (x+ 1) + x 2 −1     輸 輸 Ćwiczenie 3 Zaznacz poprawne zdania. Iloczyn jest równy iloczynowi . Jeśli to suma ilorazu i ilorazu jest liczbą dodatnią. Różnica iloczynu i iloczynu jest równa . Różnica kwadratów liczb i jest równa różnicy wyrażeń i . (5 − a)(a− 6) (a− 5)(a− 6) a ≠ 0 (4a− a 3 ) : a (a 4 − 2a 2 ) : a 2 (a+ b) ⋅ a (a− b) ⋅ b a 2 + b 2 a b a(a+ b) b(a+ b) Ćwiczenie 4 Na rysunku wpisane są pola poszczególnych prostokątów. Umieść w odpowiednich okienkach długości boków tych prostokątów.      a b a− b a− b a+ b     醙 醙 Ćwiczenie 5 W odpowiednie miejsca przeciągnij odpowiednie liczby. Liczbę trójkątną o numerze można wyznaczyć ze wzoru , liczba trójkątna o wartości ma numer ? Korzystając ze wzoru wyznacz dziesiątą liczbę pięciokątną, liczba ta wynosi . n T n = n(n+1) 2 78 P n = 3n(n−1) 2 + n 14 140 150 12 10 145 Ćwiczenie 6 Wiadomo, że i . Liczba wymierna toA = 3 − √ 2 B = 1 + √ 2 A ⋅B A+B A−B Ćwiczenie 7 W odpowiednie miejsca przeciągnij odpowiednie liczby lub litery. (a− b+ 1)(a− b) + (a+ b)(a+ b− 1) = = ⋅[a 2 + (b− )] b 1 3 0 2 a    醙 醙 難 praca indywidualna praca w grupach praca w parach praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne: komputery z dostępem do internetu w takiej liczbie, żeby każda grupa uczniów miała do dyspozycji komputer kartony, mazaki Przebieg zajęć Faza wstępna: Uczniowie pracują w 4 grupach metodą wędrujących plakatów. Celem jest przypomnienie praw działań na liczbach rzeczywistych. Rozpoczyna grupa wybrana losowo – zapisuje na kartonie jedno z praw działań i podaje karton następnej grupie, która dopisuje nazwę prawa. Kolejna grupa podaje przykład liczbowy zastosowania tego prawa. Plakat wędruje do następnej grupy, która dopisuje prawo działań i procedura się powtarza. W podobny sposób grupy przypominają, w jaki sposób dodajemy, odejmujemy, mnożymy wyrażenia algebraiczne. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu. Faza realizacyjna: Uczniowie pracują teraz w małych grupach metodą okienka informacyjnego. Najpierw zapoznają się z infografiką pokazującą sposób przekształcania wyrażeń algebraicznych. Następnie w podobny sposób przekształcają wyrażenia: Poprawność wyników sprawdzają w okienkach informacyjnych, w których mogą znaleźć też podpowiedzi ułatwiające rozwiązania. Faza podsumowująca: Uczniowie pracują w parach, rozwiązują na przemian przykłady z zadań interaktywnych. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji. W ramach sprawdzenia ukształtowanych umiejętności, nauczyciel prosi 2‐4 uczniów o zapisanie na tablicy wymyślonego przez siebie przykładu na (2 + a)(a− 3) − (1 − a)(a+ 4) − 2a(a− 1) [(ab− b 2 ) : b− (ab+ a 2 ) : a] : 2 (a− 1)(a− 1)(a+ 1) − (a+ 1)(a+ 1)(a− 1) 2ab 2 (ab− b) + a 2 b(−2b 2 + 1)− 2 przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Wskazani przez nauczyciela uczniowie, rozwiązują je na tablicy. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej. Praca domowa: Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji. Prosi też uczniów o przygotowanie przykładów geometrycznego przedstawiania zagadnień arytmetycznych. Materiały pomocnicze: Działania na wyrażeniach algebraicznych Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania multimedium: Uczniowie najpierw próbują sprowadzić do najprostszej postaci zapisane przez nauczyciela wyrażenia algebraiczne, a następnie sprawdzają poprawność ich wykonania, korzystając z infografiki.