Análise teórica e experimental de vigas compostas de madeira, Notas de estudo de Cálculo

Baixe Análise teórica e experimental de vigas compostas de madeira e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. Vigas de madeira compostas As vigas compostas são elementos estruturais sujeitos basicamente a solicitação de flexão, formados pela união de duas ou mais peças justapostas. As peças compostas apresentam várias características, que fazem com que sejam largamente empregados nos mais variados tipos de construções. Entre as mais importantes é possível citar: e Possibilidade de alcance de grandes vãos com o emprego de peças com dimensões reduzidas. * Maior aproveitamento da tora. * Melhor adaptação às condições de variação climática, com menos problemas de secagem quando comparadas às peças maciças. e Redução da possibilidade de presença de defeitos. * Adequação para utilização em estruturas de cobertura e outros tipos de estruturas onde o menor peso e a mais fácil montagem do sistema sejam aspectos de interesse prioritário. As seções transversais podem ser compostas por peças de madeira serrada ou de outros materiais, como os derivados de madeira (compensado, OSB — Oriented Strand Board, LVL — Laminated Veneer Lumber) ou até mesmo o concreto (utilização comum em tabuleiro de pontes). Da mesma forma, existem vários tipos de ligação que podem ser empregados para a união das peças. Pode-se dividi-las em dois grandes grupos: uniões mecânicas e uniões adesivas. As uniões adesivas são consideradas na bibliografia como “uniões rígidas”, ou seja, não proporcionam deslizamentos significantes entre as partes unidas. Já as uniões mecânicas são naturalmente deformáveis, e suas deformações devem ser computadas no cálculo estrutural. Assim, ficam evidentes os inúmeros tipos de seções transversais que podem ser construídos. As vigas compostas podem ser classificadas pela forma da composição como indicado na figura 1. (aj (b) (1) tm Figura 1 — Tipos de vigas compostas. (a) viga composta de madeira maciça; (b) viga laminada colada; (c) viga com alma esbelta; (d) viga em treliça. Fonte: GEHRI (1988) O primeiro tipo de viga composta, apresentado na figura 1, é justamente o estudado neste trabalho. Essas vigas podem ter várias formas como por exemplo as seções T, I, Caixão, ou retangular solidarizadas continuamente, (vide figura 2). As três primeiras formas de seção transversal são usualmente unidas por pinos metálicos, em especial os pregos. Já as peças de seção retangular utilizam os mais variados tipos de conectores, dentre eles os mais utilizados são os anéis metálicos, os tarugos metálicos e os tarugos de madeira. ESSI RS É dd, H É NR NyA Z RSS FRÉ Figura 2 — Exemplos de configuração de seções transversais compostas solidarizadas continuamente. Essa forma de composição não possibilita emendas longitudinais, tornando seu comprimento restrito ao tamanho usual das peças de madeira. A facilidade e o baixo custo de produção, independentes, produzindo uma interação entre eles. A distribuição das deformações nessa viga, ainda apresenta as descontinuidades nas interfaces; entretanto, são inferiores às verificadas na peça de elementos independentes, figura 3-(c). Diante do exposto, fica evidenciada a principal característica das vigas compostas: o comportamento mecânico interposto ao das vigas maciças e ao das peças de elementos independentes. O comportamento intermediário é influenciado diretamente pela rigidez dos elementos de ligação utilizados para a sua solidarização. Considerando o emprego de uma ligação “perfeitamente rígida”, não surgem deslocamentos relativos entre os pontos da borda que delimitam a zona de contato entre as peças. Na teoria, tais peças podem ser consideradas como de seção homogênea, supondo uma seção transversal equivalente à soma de todas as outras seções transversais individuais, aplicando- se a teoria clássica da flexão para vigas. Contudo, os dispositivos de união usados nos casos correntes de projeto são deformávei Com isto, tem-se uma “ligação elástica” onde, após a deformação da peça por flexão, ocorrem escorregamentos das porções interligadas, ocasionados pela deformabilidade dos conectores. O aparecimento de tais deslocamentos relativos produzem uma distribuição de esforços internos que difere consideravelmente daqueles correspondentes às ligações rígidas. Portanto, o momento de inércia e o módulo de resistência das peças compostas, unidas por conectores deformáveis, passam a ser uma fração daqueles das peças consideradas maciças. A magnitude dessa fração dependerá de parâmetros geométricos da viga, bem como de uma série de fatores que caracterizam a rigidez da ligação. O efeito da composição dessas peças é garantido pela transmissão dos esforços cortantes por meio da ligação. Os conectores devem suportar as tensões de cisalhamento distribuídas na região de contato entre as peças, figura 3-(d). Desse modo, é estabelecido um certo grau de monolitismo entre as peças justapostas. Então, fica evidente a necessidade de utilização de critérios especiais para o correto dimensionamento dos elementos estruturais formados de peças compostas. Atualmente são utilizados basicamente dois métodos distintos, adotados pelos principais documentos normativos do mundo, para o dimensionamento de peças compostas: o método dos coeficientes de minoração e o método analítico. O primeiro é adotado por alguns documentos normativos, como por exemplo, a norma suíça SIA 164 (1981) e a recente norma brasileira NBR 7190 (1997). Esse método consiste no emprego de coeficientes de minoração os quais são aplicados ao módulo de resistência e ao momento de inércia da área transversal total da viga composta. Os coeficientes de minoração, também chamados de coeficientes de eficiência, podem ser determinados em função dos resultados de experimentação de pares de vigas semelhantes, uma composta e outra maciça. A outra forma de se projetar vigas compostas é sobre a ótica do desenvolvimento analítico do problema, em que as deformações dos conectores são consideradas com algumas hipóteses simplificadoras. As normas EUROCODE 5 (1993) e DIN 1052 (1988) apresentam critérios de dimensionamento fundamentados neste método. A seguir são apresentados os dois métodos e os principais trabalhos de autores nacionais e internacionais sobre o tema, desenvolvidos no decorrer de todo o século XX. 2.2.2. Método dos Coeficientes de Minoração Esse método consiste na aplicação de coeficientes redutores sobre as propriedades geométricas das peças compostas. Os coeficientes de minoração ou de eficiência têm a função de estabelecer a correspondência entre peças compostas e maciças. Para isso, são necessários dados experimentais adequados para estabelecer essa correspondência. o o o 7 SS f 4 À AA mA M M O = O = C=5Am Wo (B)Wo 2W; Wo - 2lo Wo = (9 lo Wi = 2 h h4 há (a) (b) (c) Figura 4 — Comportamento interposto das peças compostas. (a) seção maciça equivalente; (b) seção composta interligada por união deformável; (c) seção com dois elementos sobrepostos. Fonte: GEHRI (1988) A figura 4 ilustra o comportamento interposto das peças compostas e o uso dos coeficientes de minoração. Esse processo ganhou aceitação no meio técnico após a publicação do trabalho de KIDWELL (1897). O autor estudou alguns tipos de vigas compostas utilizadas no final do século XIX, realizando vários ensaios de flexão com carregamento concentrado no centro do vão. O coeficiente de redução do módulo de resistência (B) foi estimado pela relação entre os valores das cargas de ruptura da viga composta e da viga maciça, adicionados os respectivos pesos próprios de cada viga (vide eg. 1). P tg P+gs 1 Onde: P. = carga de ruptura da viga composta; P, = carga de ruptura da viga maciça; &. = peso próprio da viga composta; £g. = peso próprio da viga maciça. O coeficiente de redução do momento de inércia (ot) foi estimado pelo quociente das flechas centrais, verificadas na viga maciça e na viga composta, quando estas são solicitadas por um mesmo carregamento (vide equação 2). (2) Onde: f, = flecha verificada na seção central da peça maciça; f. = flecha verificada na seção central da peça composta. Na determinação dos valores dos coeficientes, a influência do espaçamento dos conectores, suas dimensões, a relação vão/altura da viga composta foram consideradas de maneira global através de média aritmética dos resultados obtidos nos diversos ensaios realizados. KIDWELL destaca que os valores de eficiência revelam-se como sendo um parâmetro altamente variável, principalmente quando não é feita nenhuma particularização envolvendo qualquer um dos parâmetros relacionados acima. Apesar da grande variabilidade, foram 2.2.3. Método Analítico de Cálculo Foi NEWMARK, em 1943, o primeiro autor a apresentar uma formulação analítica e geral para as vigas compostas, envolvendo o grau de interação dos elementos proporcionado pelos conectores empregados na composição. No trabalho publicado por NEWMARK et al. (1951), além do método experimental mais conveniente para a caracterização dos conectores, são apresentadas observações experimentais em vigas compostas de aço e concreto, comprovando o tratamento analítico de sua autoria. A teoria de sua análise é baseada nas equações de equilíbrio e na compatibilidade de deslocamentos, fundamentada nas hipóteses da Resistência dos Materiais. Cabe ainda ressaltar o fato dos estudos posteriores, desenvolvidos por outros autores, seguirem os princípios estabelecidos por NEWMARK. Na mesma época, GRANHOLM (1949), apud GOODMAM (1968), relatou na Suíça, suas investigações sobre vigas e colunas compostas de madeira, baseadas nos princípios de NEWMARK. Em seguida, PLESKOV (1952), apud SMITH (1980), publicou na União Soviética um estudo teórico-experimental sobre o comportamento de pilares de madeira construídos de elementos interligados deformáveis. O autor deduziu as equações diferenciais de comportamento e apresentou as soluções em séries trigonométricas. MÓHLER (1956) desenvolveu o método de análise baseado nas equações de equilíbrio, e seu trabalho serviu de base para a norma alemã DIN 1052, no que se refere ao cálculo de vigas compostas. As vigas compostas de três elementos foram estudadas por GOODMAN & POPOV (1968), tendo sido desenvolvido um equacionamento fundamentado nas hipóteses de NEWMARK. Novas contribuições ao estudo das vigas compostas foram apresentadas com análise teórica e experimentação da influência no comportamento dessas peças produzidas, quando a interligação das extremidades dos elementos das vigas é feita ou utilizando-se uniões rígidas (adesivo), ou utilizando-se uniões deformáveis. KUENZI & WILKINSON (1971) aplicaram a teoria de vigas sandwich, desenvolvida por NORRIS et al. (1952) para a análise de vigas simplesmente apoiadas com duas cargas concentradas simetricamente no meio do vão. Em seguida, os autores estenderam a teoria para vigas simplesmente apoiadas com carregamento uniformemente distribuído. Uma aplicação do método dos elementos finitos no estudo das vigas compostas, usadas em pisos residenciais, foi desenvolvida por THOMPSON et al. (1975). O funcional de energia potencial considera: força normal e momento fletor nos elementos, tensões cisalhantes nos conectores e as ações exteriores. Os deslocamentos verticais e horizontais da viga foram aproximados por funções cúbicas e por funções lineares, respectivamente, as quais são expressas por variável única, a do posicionamento dos pontos nodais dos elementos finitos. As variações de forma geométrica e de propriedades mecânicas dos componentes da viga composta e os diferentes valores do módulo de deslizamento das conexões, podem ser considerados no cálculo das flechas e dos deslocamentos horizontais. O grau de precisão dos deslocamentos, os quais foram calculados num programa de computador especialmente desenvolvido, foi avaliado pela comparação dos resultados calculados com os verificados em experimentação de dezesseis vigas. Tendo em vista a diferença observada, os autores concluíram pela validade do método de análise, viabilizando, então, o estudo de problemas mais complexos por simulação em computador evitando, com isso, alguns trabalhos experimentais dispendiosos. ITANI & BRITO (1978) estudaram as vigas compostas unidas com adesivos flexíveis, comprovando experimentalmente a validade dos modelos desenvolvidos pelos autores citados anteriormente, para este tipo de composição. SMITH (1980) apresentou um estudo geral das peças compostas de dois e três elementos, biapoiadas e submetidas a oito formas de carregamento. O autor empregou as Séries de Fourier para a solução das equações diferenciais e seus resultados teóricos foram comparados com os experimentais obtidos por KUENZI. A respeito da utilização das séries trigonométricas, não foi possível fixar o número de termos da série necessário para se obter a solução mais próxima da exata, pois é função da forma de carregamento. Nos trabalhos anteriores, a análise de vigas compostas utiliza o conceito de módulo de deslizamento constante. Com esse conceito, as equações diferenciais podem ser obtidas e resolvidas. Todavia, KAMIYA (1985) afirma que, como os deslocamentos verticais das vigas calculados por estas teorias são proporcionais ao carregamento externo aplicado, a teoria só é válida, quando o deslizamento nos conectores é muito pequeno. O comportamento não-linear das ligações por pregos pode ser admitido com a adoção do módulo de deslizamento variável, em função do nível de carregamento da ligação. GOODMAN (1969), apud KAMIYA (1985), considera esta não-linearidade variando o valor do coeficiente de deslizamento a cada novo incremento de carga, tomando por base a força máxima atuante no conector do extremo da viga. Outro efeito físico muito importante destacado por KAMIYA (1987) é que a força atuante nas ligações não varia somente com o nível de carregamento externo, mas também ao longo do comprimento da viga. Então, em uma análise mais rigorosa, o módulo de deslizamento do conector deve variar não somente com a força atuante sobre o mesmo, mas também de acordo com seu posicionamento ao longo da viga. BESSETTE & HOYLE (1985) apresentam um estudo experimental de vigas compostas unidas por adesivo flexível, fazendo comparação com programas computacionais e o método proposto por KUENZI, obtendo bons resultados. Vigas compostas de seção T e I com alma em madeira maciça e mesas em derivados de madeira, como o Compensado e OSB (analogia ao sistema de piso muito utilizado nos EUA) são investigadas por MCCUTCHEON (1986). O autor apresenta uma metodologia simplificada para o cálculo desse tipo de composição, baseada na teoria de KUENZI e adotando o método da seção transformada. BOHNHOFF (1992) apresenta uma nova análise não-linear pelo método dos elementos finitos, para as peças compostas com várias lâminas. O autor utiliza um novo modelo de abordagem para o efeito do deslizamento da ligação por pregos. Realiza vários ensaios em vigas compostas de peças maciças, com espaçamento entre pregos constante ou variável, obtendo resultados próximos dos calculados pelo seu programa. GIRHAMMAR & GOPU (1993) apresentaram a análise teórica exata de primeira e segunda ordem para vigas e colunas compostas com interação parcial. O método foi aplicado em exemplos numéricos para o caso de vigas simplesmente apoiadas de seção T com mesa em concreto. Foram desenvolvidas expressões explícitas para os deslocamentos e para as ações internas dessas vigas. Os resultados ilustram claramente a magnitude das ações e deformações devido ao efeito de segunda ordem. WHEAT e CALIXTO (1994) fazem outra abordagem para a análise de vigas compostas, baseada nos princípios da energia, com a utilização do cálculo variacional, incluindo a relação não-linear para a ligação. KREUZINGER (1995) apresenta uma solução analítica para vigas e colunas compostas com uniões deformáveis, baseado no emprego das equações diferenciais, desenvolvidas por com o método de carregamento incremental, obtém resultados satisfatórios, quando comparados com o modelo teórico proposto. A seguir são apresentados os desenvolvimentos teóricos do modelo analítico, baseado nas equações de equilíbrio, com a finalidade de proporcionar maior compreensão sobre essa teoria. 2.3. Modelo Teórico Baseado nas Equações de Equilíbrio Todo o desenvolvimento dessa teoria é baseado em hipóteses, nas quais a linearidade entre causa e efeito é sempre observada. Admite-se a validade das seguintes hipóteses: * As ligações entre os elementos são contínuas, distribuídas uniformemente e apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todo o comprimento da viga. * O deslocamento relativo da região correspondente à superfície de contato dos elementos é diretamente proporcional ao esforço atuante na conexão. * Os deslocamentos verticais dos elementos da viga composta, tomadas em qualquer posição ao longo do comprimento, são sempre as mesmas para todos os elementos. e A distribuição das deformações ao longo da altura dos elementos da viga composta é linear. * Os elementos constituintes da viga composta seguem a lei de Hooke. * Os deslocamentos verticais. e São desprezadas as deformações produzidas pelo esforço cortante, no cálculo dos deslocamentos das seções transversais. A adoção da primeira hipótese significa o estudo de um caso particular de vigas compostas. O fato de se considerar a superfície fictícia de interligação com propriedades mecânicas invariantes, implica em se ter os conectores aplicados em arranjos regulares por todo o plano de separação dos elementos. Com a segunda hipótese fica assumido um comportamento linear para o conector isolado. Tal fato, entretanto, por vezes não é confirmado experimentalmente em ensaios dos conectores isolados, porém a determinação da característica de rigidez com base na inclinação de reta secante à curva experimental do conector isolado, e o seu posterior emprego nas expressões teóricas, conduzem a resultados coerentes com os de experimentação de vigas. A integridade da viga composta é admitida na terceira hipótese. As demais se enquadram no grupo de hipóteses da modelagem de Bernoulli-Navier para a flexão de vigas ordinárias. Sendo assim, inicia-se a apresentação do método com a subdivisão do modelo exato e do modelo aproximado. Para a análise do modelo exato optou-se por utilizar uma configuração de seção genérica com três elementos de propriedades e dimensões quaisquer, apresentada por CHUI & BARCLAY (1998). Já para o modelo aproximado é considerada uma seção tipo T apresentada por KREUZINGER (1995). O autor afirma que este desenvolvimento é o mesmo considerado pelo EUROCODE 5. 2.3.1. Modelo Exato (CHUI & BARCLAY - 1998) O princípio do estudo de vigas compostas, segundo este método, consiste na análise da viga como sendo formada por elementos em equilíbrio, solidarizados por uma equação de compatibilidade de deslocamentos. A figura 8 ilustra o típico sistema considerado com seção transversal genérica de três elementos. Tomando uma viga biapoiada composta solicitada por um carregamento transversal qualquer, surgem os esforços internos M(x) e V(x). Estes esforços internos podem ser decompostos para cada elemento componente da seção transversal, atuando sobre eles forças normais e cisalhantes, além dos momentos. Esses esforços são equilibrados pelo fluxo de cisalhamento atuante na interface entre as mesas e a alma. O equilíbrio de um elemento diferencial de comprimento dx é ilustrado na figura 8. A partir da distribuição de esforços descrita, é apresentada a configuração do diagrama de deformações normais, devido aos momentos e as forças normais. As deformações devido aos esforços cisalhantes não são consideradas. 20 na ) ps Ar lEr » Aco Es bz + es Es “To L CT AE a 4 bs ps na vos Da an 1 1 1 1 se Sn ' Ni lo I qm, dx ' ! a! = Mu ! M Vx 1 2 dv E VA 1 Vo Velox o ON; * dx Md Wi! Net dM ' Nz2 Mas Me ' Mi 1 JT 1 1 2 am 1 1 ms Eee Mar SM y 1 ? | I No + EN 1 Na o RCE: v. Va+ ê dx dx Figura 8 —Viga composta de três elementos com seção transversal genérica, distribuição de deformações e esforços internos para um elemento diferencial. Se o fluxo de cisalhamento ao longo do comprimento da viga entre as camadas | e 2é q e entre as camadas 2 e 3 é qp, fazendo o equilíbrio para o elemento 1, AN, — 3) para o elemento 2, (4) para o elemento 3, q2 (5) dx A deformação em cada camada é causada por uma combinação de momento fletor e força axial: M,h, N g-Mb, Ni 6 El 2 EjA 6 23 a» — Kyzizo —Kozoza K, a > Kjz, +Ko24 3 ZEI EsA4 A xEI az, =0 à32 Z2Z4 1 Z924 a33=K =-2 3 l ZEI o] “ge ho +h z, =21"3 Para a determinação das funções de forças axiais N, No, e N;, devem ser aplicadas as condições de contorno para do problema. A solução desse sistema de equações diferenciais de segunda ordem (20), recai em um problema de autovalores. No Anexo A encontra-se a resolução do problema de uma viga simplesmente apoiada sob duas formas de carregamento comuns: carga uniformemente distribuída e carga concentrada. Uma vez conhecidas, as forças axiais são substituídas na (18) para calcular o deslocamento da viga. Nos cálculos de projeto de engenharia, o deslocamento no centro do vão é usualmente requerido. Então, para facilitar o uso deste método pelos projetistas, uma solução explícita para o deslocamento do centro do vão é apresentada em (21) e (22). - Carga uniformemente distribuída: p |5L L = >—| >—— (1+ +y,)-—| — Yin E vt) (21) - Carga concentrada: ? y - +y,)-—| +22 Yu» safa! y1+%5) (o E] (22) Yam EL, Yo am SEL 287º 2 26%) 2 Os símbolos exibidos nas equações (21) e (22) são definidos no Anexo A. Expressões para outras formas de carregamento podem ser obtidas de maneira similar. 24 2.3.2. Modelo Aproximado (KREUZINGER - 1995) Inicia-se a apresentação do modelo com referência à rigidez da união. Cada conector é solicitado por forças de cisalhamento, causando um deslocamento. A relação entre a força atuante e o deslocamento u entre os elementos individuais que compõem a seção transversal composta é definido pelo módulo de deslizamento K. A figura 9 ilustra a configuração padrão da união, apresentando o deslocamento u e o fluxo de cisalhamento v. Figura 9 Deslocamento e força cisalhante entre os elementos individuais. Fonte: KREUZINGER (1995) O efeito da distribuição contínua de ligações como apresentado na figura 9 pode ser expressa da seguinte forma: : £=C-u (23) onde: v = fluxo de cisalhamento atuante na superfície de contato entre os elementos (N/mm); F, = força atuante no conector (N); u = deslocamento da ligação (mm); s = espaçamento entre conectores (mm); K = módulo de deslizamento (N/mm); C= rigidez da ligação (N/mm?). 25 Considerando uma peça composta de seção transversal tipo T, são ilustradas na figura 10 o sistema de carregamento, a configuração da seção transversal, a deformação e o elemento dx com as respectivas forças de equilíbrio. dy Esse: EpAgely A a k Fo h| E + K . ha| + 2 o 2 pap Enodo ++ ú Vj+dV 1 My 3 NytdNy JS mi e ==: = jade, am mia MytdM, mi! [em NruN, V VatulVo + + Figura 10- Detalhes de uma viga composta e a configuração de equilíbrio de um elemento dx. Fonte: KREUZINGER (1995) O deslocamento relativo entre as partes unidas é demostrado na figura 11. eve Or 12) — a Figura 11 — Deformações. Fonte: KREUZINGER (1995) Onde, u, e u> são os deslocamentos longitudinais dos eixos 1 e 2 da seção transversal, w' é a rotação causada pelo momento fletor e u é o deslocamento relativo entre as partes individuais no local da ligação. Essa análise de deslocamento apresentada é válida somente quando as deformações devido ao cisalhamento são desprezadas. 28 ay EA ui = wo E Alninia do (sb) Ly EA +E, As wo =-wo Do An Er (8 0 TE, A +E> Ao 9 T Ej-Aj 1 “por AY k ——— ! 1+k1) (39ab) As tensões podem ser obtidas aplicando os princípios da elasticidade a estas deformações. Conforme figura 12, a tensão no eixo do elemento 1 da seção transversal é: , L x G=Ernk=D)=Ertoy (40) Usando os seguintes termos ! Wo=Po IT (41) n (ED. 1 Mo = Po = (42) (43) (44) a tensão é: Y Errar: Mo = o as 91 Er (45) Nota-se que a equação obtida é semelhante à equação de uma viga simples. No anexo B do EUROCODE 5 são apresentadas as equações de rigidez efetiva, tensões normais, tensão máxima cisalhante e carga atuante nos conectores para uma seção genérica composta com dois ou três elementos. 2.4. Rigidez das Ligações O fenômeno característico das ligações por conectores metálicos em vigas compostas é o deslizamento entre os elementos adjacentes. No instante em que a viga é solicitada, forças de 29 cisalhamento são induzidas e transferidas à interface dos elementos adjacentes, por meio de forças laterais desenvolvidas sobre os conectores. O comportamento entre o conector e a madeira da viga é similar ao que ocorre em uma ligação de madeira solicitada ao corte fabricada com madeira e conectores iguais aos dessas vigas. O comportamento da ligação (madeira e conector) pode ser descrito por um parâmetro de referência chamado Módulo de Deslizamento (Slip Modulus). Uma típica curva carga-deslocamento para ligações com pinos metálicos quando solicitadas ao corte é ilustrada na figura 13. A inclinação da reta tangente desenhada para qualquer ponto sobre a curva descreve o Módulo de Deslizamento para a ligação em um dado valor de carga. Tangente Inicial, K = tan O Tangente em um ponto qualquer, Deslocamento (8) o Figura 13 — Típica curva carga-deslocamento. Fonte: VAN DYER (1992) Como se pode observar, o conhecimento da rigidez das ligações é um dos aspectos de fundamental importância na investigação do comportamento das peças compostas. Sendo assim, é apresentado neste item um estudo sucinto sobre o comportamento das ligações por pinos metálicos, sendo pesquisados alguns modelos de comportamento, além de métodos de dimensionamento. O comportamento das ligações por pinos metálicos em madeira, já vem sendo estudado mundialmente desde meados do século XX. Durante esse período, muitos trabalhos foram desenvolvidos e vários modelos de comportamento foram propostos para as ligações. 30 A seguir são apresentados os conceitos básicos do comportamento das ligações, bem como alguns dos modelos analíticos mais importantes. 2.4.1. Conceitos Básicos Quando duas peças de madeira solicitadas por uma força longitudinal, são ligadas uma à outra, ocorre uma transmissão de esforços entre elas, de forma que a ligação sofre um deslocamento devido à deformação do prego e da madeira na região em torno do furo. Considere-se a ligação tracionada mostrada na figura 14. Em cada peça a força de cisalhamento é transmitida à madeira gerando uma distribuição de tensões de compressão sobre a parede do furo. A mesma distribuição atua sobre o prego. Devido à transmissão da força de cisalhamento, a madeira sofre um esmagamento na parede do furo na região comprimida e o prego sofre uma deflexão. No estudo das ligações pregadas considera-se apenas um prego individualmente, admitindo que o comportamento seja o mesmo para todos os pregos. — A Do, E q Figura 14 — Esquema da distribuição de tensões sobre o prego ao longo de seu comprimento em uma ligação tracionada. Fonte: SANTANA (1997) Em geral, o desenvolvimento dos modelos é baseado nas seguintes hipóteses básicas: * O efeito do atrito entre as peças no comportamento da ligação pode ser desprezado. 33 O módulo de deslizamento instantâneo para os Estados Limites Ultimos — denotado K, — é assumido como o módulo secante da curva carga deslocamento a um nível de carga de aproximadamente 60 a 70% da carga máxima. Como uma razoável simplificação aplicável para os procedimentos de dimensionamento, K, pode ser dado por K, = 2/3 K.. Fmáx 0,7 F máx u 0,4F máx Deslocamento (ô) Figura 16 — Módulo de Deslizamento secante. EHLBECK & LARSEN (1991) também indicam que a fórmula para estimar o valor do Módulo de Deslizamento (K...) parte da equação de capacidade de carga de ligações pregadas que na maioria dos casos é governada pela seguinte equação (plastificação do pino e madeira): 2-B R= e PM, fed (46) Onde: R = capacidade máxima da ligação (N); = relação entre a resistência ao embutimento das peças 1 e 2 ligadas (p = f.1/f.>); d = diâmetro do pino (mm); 3 M, = momento de escoamento do pino (My =f y ) (Nmm). o Considerando peças com iguais características físicas (B = 1) e valores da tensão de embutimento dados por: fex =0,082-(1-0,01-d)-pk (47) 34 para ligações com pinos metálicos (pregos e parafusos) com pré-furação, e fcx=0,082-py d'O (48) para pregos sem pré-furação. A capacidade de carga para ligação pregada pode então ser calculada como: R =/o3 -(100-d)- Spy (49) Para ligações por pinos com pré-furação, e R=30:0.py (50) para ligações sem pré-furação. EHLBECK & ILARSEN (1991) indicam que o deslocamento instantâneo em aproximadamente 40% da capacidade de carga, estimada por muitos testes em vários laboratórios é: 0,8 40-d Uinst= (51) inst Pk Com pré-furação, e 0,8 60-d * Uinst= (52) Pk sem pré-furação. O Módulo de Deslizamento instantâneo para os Estados Limites de Utilização pode ser considerado como: 0,4-R Koerinst=—— (53) Uinst Para ligações pregadas com pré-furação, isso conduz a 055 Ksesinsi=S5o "OD =d «pyÉ a (54 E com o diâmetro do prego variando entre 2 e 8 mm isso pode ser simplificado para: sezinst 20 (55) 35 Para ligações pregadas sem pré-furação: 15.408 (15.408 Kid Kid p .£ ko ko oO (56) 21,4 25 Kserinst= Se as densidades características dos membros da ligação são diferentes, então a densidade para o cálculo do módulo pode ser dado por: Pr=yPri Pk? (57) 2.4.3. Modelos de Viga sob Fundação A outra forma de se abordar o problema das ligações é utilizando os modelos de viga sob fundação. Estes modelos possibilitam a determinação da resistência e rigidez das ligações. O comportamento dos materiais (madeira e pino) podem ser considerados elásticos, perfeitamente plásticos, ou elasto-plásticos. Um desses modelos, também conhecido como Modelo de KUENZI, faz analogia uma analogia do prego na ligação com uma viga em fundação elástica. Esse conceito foi inicialmente proposto por WINKLER (1867) apud KUENZI (1955). Na década de 40, HETENYI (1946), apud KUENZI (1955), formulou várias soluções para vigas de comprimento finito sob diferentes condições de carregamento. As considerações básicas assumidas por HETENYI foram: * Os materiais são elásticos e obedecem a Lei de Hooke. * A força de reação em um ponto qualquer da viga é proporcional a deflexão desta. * As forças de reação são verticais em todas as seções transversais. * Fundação não transmite esforços de cisalhamento. Essas considerações, levam a uma equação diferencial que permite determinar a curva de deflexão da viga de fundação elástica, dada por: EL ="k.y (58) 38 Os fatores L,, L,, J,, Jo, K e K, são combinações de funções hiperbólicas e trigonométricas e são dadas por: L= M sinhà 1a -coshya = sin ja cos Aa (62) k sinh “Aa -sin “Aya L do sinhAob- coshAzb-sinAb -cos A,b (63) ko sinh?A, b-sin “A,b X sinh 2a +sin ?Aja h=5|505 557 (64) kj | sinhºA a -sin“A,a 23 [sinh?A,b+ sin?A5b 2a LD E (65) k5 | sinh“Asb-sin“A5b Ms . inka- K = sinhA ja cosh? ja +sindia cosAja (66) k sinh“Aa —sin “Aa (67) K o sinhA2b-coshAob + sinA2b-cosÃab , ="2| to conto to Cm “dk sinh2A,b —sin 2A,b onde os subscritos referem-se aos elementos | e 2 que compõem a ligação e a e b são as profundidades de penetração dos pregos ou parafusos na ligação, figura 17. Por sua vez, o valor do parâmetro de caracterização À e À é dado em função das características individuais das peças interligadas, ou seja: (68) onde E, é o módulo de deformação do pino metálico (Nímm?), ki2 é o módulo elástico da a . 2 e Noam fundação de suporte dos pinos em cada uma das peças (N/mm ) e 1, é o momento de inércia do pino metálico, cujo valor é dado por: 4 I -Nºd (69) Po o Reorganizando os termos da expressão (61), obtém-se o módulo de deslizamento k, que é dado por: 39 (Ki +K2) Ay +Lo) (Ki + K9)-( 5 O» P kkuenzi= 3. A figura 19 ilustra uma curva típica de carga-deslocamento para uma ligação pregada. A inclinação da tangente inicial define o módulo de deslizamento, para este caso particular de ligação. by? Carga, P GD ce) Carga-deslocamento a Módulo de deslizamento, k=tanÊ Deslocamento, 8 (mm ) Figura 19 - Curva típica de carga-deslocamento de uma ligação pregada. Fonte: MALHORTA & VAN DYER (1977) apud ALVIM (2002). A expressão (60) tem a forma da reta tangente inicial, isto devido as considerações de comportamento elástico assumidas. my” uu Bl, é ! E =P/2 3 M M | Al b Wz ia as FTA a 2 + K PR tm po tp, Figura 20 — Ligação com duas peças. Fonte: KUENZI (1955) apud ALVIM (2002). Para as peças submetidas a corte duplo, considere-se a ligação com três elementos da figura 20. Nesses casos, segundo a teoria de KUENZI (1955), a expressão para a determinação do módulo de deslizamento da ligação passa a valer: P. 2(K,+K,) 8 AL +Lo) (K+K5)-(1 1,5)? Kkuenzi = (1) Os fatores L, Lo, J;, )b, K; e K, que comparecem na expressão (71), são também combinações de funções hiperbólicas e trigonométricas, mas com valor igual a: Ay [ coshA a + cosA,a 1 smhÃa Esmà a (2) 1 sinhÃça +sinÃ,a A» | sinhA,b-coshÃob —sinAob-cos Ab L,=22 2b cost tab snÃa 2 (3) ko sinh Ab -sin“A,b MM sinhAya — sinÃja 04 kj | sinhÃja +sinAja 2 : n2 5| sinhA,b+sin“A5b DD BS (15) 2 (sinh “Ab —sin“Asb xá coshAa — cosAja lr ad (76) ki [sinh?A,a +sin?A a 23 (sinhAob- coshAsb + sin Ab: cosAsb K, =22 po mo nha 2 (17) k> sinh “Ab —sin “Ab WILKINSON (1971) apud ALVIM (2002), baseou-se no trabalho de KUENZI para desenvolver relações aproximadas entre o carregamento aplicado e o deslizamento de uma ligação a corte simples. Para o caso das ligações onde os termos Aja ou À,b são ambos maiores que 2 (parafusos ou pregos muito longos) e as duas peças são de um mesmo tipo de madeira, então, é possível considerar: ki=k2=k (78) Mm=M,=à (19) Portanto, 43 o de de madeira e métodos normalizados utilizados em outros países. O objetivo dessa revis literatura é obter uma visão geral dos métodos para cálculo das tensões máximas atuantes e deslocamentos máximos. Não estão sendo considerados os métodos para cálculo das tensões e deslocamentos máximos permitidos, pois dependem dos critérios de segurança de cada norma. Além das normas citadas neste item também foram estudadas normas de outros países com grande tradição no setor de estruturas de madeira, como Estados Unidos, Canadá e Austrália. Nestes documentos normativos não foram encontradas indicações com respeito a metodologia de cálculo para este tipo específico de viga composta. 2.5.1. NBR 7190 (1997) A norma brasileira não faz menção específica ao detalhamento das ligações em estruturas compostas. No entanto, apresenta critério que considera a redução da inércia das peças compostas utilizando coeficientes em função do tipo de arranjo da seção transversal para considerar o efeito de composição parcial. No item 7.7.2 desta norma é recomendado que as peças compostas por peças serradas formando seção T, I ou Caixão, solidarizadas permanentemente por ligações rígidas por pregos podem ser dimensionadas como se a viga fosse de seção maciça, com área igual à soma das áreas das seções dos elementos componentes, admitindo um momento de inércia efetivo dado por: Leg =0r -Hn (88) Onde 1, é o momento de inércia da seção total da peça como se ela fosse maciça, sendo - para seções T: o, = 0,95 - para seções I ou Caixão: o, = 0,85 Como pode-se observar, essa consideração independe de fatores como o diâmetro e o espaçamento entre conectores. 2.5.2. DIN 1052 (1988) Esta norma estabelece o conceito de inércia efetiva para as seções compostas em função da rigidez da ligação. Cada tipo de união é caracterizada por um módulo de deslizamento, que expressa a carga necessária para produzir um deslocamento relativo entre as peças individuais da seção composta. No item 8.3.1, a norma alemã apresenta o valor do módulo de deslizamento tabelado em função do tipo de configuração da seção transversal (ver tabela 2). Tabela 2 - Módulo de deslizamento "K”" em N/mm, para as seções transversais de vigas. Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 A z Ay (para eixo y-y) A para go Yy) = tz, Z) Aa PA 7 Eixo Conector EN” NR PO EEN | NY Aí AS] Z1 Z| 2 z z As Ay (para eixo 2-2) | As (para eixo 2-2) Pregos (um 600 600 900 600 600 plano de corte) y=y Pregos (dois 700 por 700 por | 990 por ligação - 700 planos de corte)| ligação ligação Pregos (um . 900 600 . . plano de corte) z-2 Pregos (dois 900 por anca - 700 por ligaçã - - planos de corte) ligação por igação A partir do módulo de deslizamento dado pela tabela 2 calcula-se a constante de deslizamento (C). Ejs Aja eia Kia 1? (89) onde: E, e E; são os módulos de elasticidade das partes 1 e 3 que formam a seção transversal; Ae A; são as áreas das partes 1 e 3 que formam a seção transversal; e,e e! são as distâncias médias entre os conectores (em relação a uma mesma linha (ver figura 22)); K, e K; são os módulos de deslizamento dos conectores obtidos da tabela 2; L é o vão efetivo da viga. A partir da constante de deslizamento é calculado o coeficiente de redução de inércia do conjunto (Y): Ns=D07 € nal (90) 45 | nes Ê Sti=mia 1 Figura 22 - Distância e; conforme arranjo dos conectores para mais de uma linha de pregação. A distância entre os centros de gravidade da seção até a linha neutra da peça (ver figura 5) é dado como segue: (91) (92) onde: a; é a distância do centróide da área de cada elemento que compõe a seção transversal até a linha neutra y-y, desde que a, não seja menor que zero e não maior que hy/2:; h; é a altura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal; b; é a largura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal; n; é a razão E/E,, onde E, é o módulo de elasticidade comparativo de qualquer uma das peças da seção. Assim é possível o cálculo da inércia efetiva levando em consideração a rigidez da ligação. 3 =D hsm en; Asa) (93) ia Onde: I; é o momento de inércia de cada elemento componente da seção transversal (I,= bih?/ 12). 48 O módulo de deslizamento é determinado em função da densidade da madeira e do diâmetro do pino utilizado. No caso de ligações com pré-furação os valores de K são dados por: 2 KR (100) 1,5 prod 101 K = (101) se onde: K=K, para os estados limites últimos (N/mm); K = Ks. para os estados limites de utilização (N/mm); d é o diâmetro do prego em mm; é . . 3 . . px é a densidade da madeira em kg/m”. Se as peças forem de madeiras diferentes deve-se utilizar uma densidade equivalente py = Jp Pk2 - A partir deste módulo de deslizamento, é definido o fator de redução da inércia do conjunto, levando em consideração além do tipo de união, a disposição e espaçamento dos elementos de ligação, o tipo de madeira, a forma de montagem e proporção das peças individuais e o vão entre apoios da viga composta. n=1 e q[145-EbAitS) mmicte3 (102) kl onde: E, = módulo de elasticidade de cada elemento da seção transversal; A; = área de cada parte da seção transversal; s; = espaçamento dos pregos na interface do elemento i com o elemento 2; K,; = módulo de deslizamento da ligação do elemento i com o elemento 2; L = vão efetivo da viga (L = vão, para vigas biapoiadas), (L = 0,8-vão, para vigas contínuas) e (L = 2:vão, para vigas em balanço). O espaçamento dos pregos pode ser uniforme ou variar conforme a força de cisalhamento, entre um valor mínimo Sin € Smax, Sendo S max < 4-Smin- Nesse último caso um valor efetivo de espaçamento pode ser usado, dado por: ser =0,75 -Smin + 0,25 Smax (103) 49 A distância entre os centros de gravidade da seção até a linha neutra da peça (ver figura 24) é dado por: a = A1:Bi-Av-(hy tha) oa Es Aa (ho ha) (104) 1º E; A; i=1 aj= hr+ho -2 e ay= ho + ha +az (105) 2 2 onde: a; = distância do centróide da área de cada elemento que compõe a seção transversal até a linha neutra y-y, desde que a, não seja menor que zero e não maior que h,/2; h, = altura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal com h; nulo para seção T; b, = largura de cada parte dos elementos componentes da seção transversal; Assim é possível o cálculo da rigidez efetiva levando em consideração a rigidez da ligação. 3 (ED. -$E tn EA; -a2) (106) ia onde: I, = momento de inércia de cada elemento componente da seção transversal (1; = buh?/ 12). Ki Fs Gas e: Z 7 0,5 bz a P o: n [7444] 2 A lo: 2, Ka, Fs a Sm o; o; — nd 7 ai õ a hd |O as| o H E º o gs o. be gn On Figura 24 — Seções transversais e distribuição de tensões do EUROCODE 5. 50 Da mesma forma, são equacionadas as tensões normais e cisalhantes atuantes nas peças, bem como a força aplicada nos elementos de ligação ocasionada pelo deslizamento entre as peças. Para vigas com geometria de seção transversal conforme as da figura 24, as tensões normais devem ser calculadas conforme mostrado a seguir: M G,=Y 'Ejca; EI (107) er M Omi =05:E; ch) (108) ker onde: M = momento fletor; G; = tensão normal no centróide do elemento “i” devido a força normal; Gm; = tensão normal na extremidade do elemento ““i” devido ao momento. A máxima tensão cisalhante ocorre onde a tensão normal é nula. A tensão máxima de cisalhamento na alma da viga pode ser obtida como: Tomax =lra “Es Ag cas +0,5-Eo bo -h? (109) onde: V = força máxima de cisalhamento. E por fim apresenta-se a equação para o cálculo da carga aplicada no conector. 1 EA; a; parai=le3 (0) (ED. 2.6. Conclusões da Revisão Bibliográfica Do estudo sobre peças compostas realizado na bibliografia, pode-se concluir que as vigas compostas de madeira serrada, ligadas por pregos, apresentam grande facilidade e baixo custo de produção, e podem ser largamente empregadas nas construções de madeira principalmente quando é requerido um acréscimo de inércia sem a disponibilidade de peças de seção maciça.