Analise modal experimental, Notas de estudo de Fundamentos de Moda

Baixe Analise modal experimental e outras Notas de estudo em PDF para Fundamentos de Moda, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA GRUPO DE VIBRAÇÕES E ACÚSTICA Análise Modal Experimental Professor: Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. Belém – Pará Outubro/2001 Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 2 1. INTRODUÇÃO Em um sentido amplo, poderíamos dizer que a análise modal é um processo por meio do qual descrevemos uma estrutura em termos de suas características naturais, que são as freqüências naturais, os fatores de amoretecimento e as formas modais, ou seja, suas propriedades dinâmicas. Tal definição, entretanto, está baseada em termos técnicos usados na área das vibrações e, assim sendo, de compreensão difícil por parte daqueles que não têm um contato maior com esta área. Assim, visando melhor explicar o que estas propriedades dinâmicas significam, usaremos o exemplo da vibração de uma placa simples. Considere uma placa plana, com as bordas livres, sobre a qual foi aplicada, em um de seus cantos, uma força F, conforme ilustrado na Fig. 1. Normalmente, pensamos em uma força estática que causaria alguma deformação estática na placa. Entretanto, o que gostaríamos de fazer é aplicar uma força que varie com o tempo de um modo senoidal. Esta força apresentará um valor de pico constante, mas sua freqüência de oscilação pode variar, e a resposta da placa devido a esta força será medida com um acelerômetro fixado a um outro canto da placa. Figura 1 – Placa livre excitada por força variável. Figura 2 – Resposta da placa. Agora, se medirmos a resposta da placa, notaremos que a amplitude de vibração muda quando modificamos a freqüência de oscilação da força F aplicada, conforme pode ser visualizado na Fig. 2. Assim, variando a freqüência de oscilação da força, haverá aumentos, como também diminuições, na amplitude de vibração em pontos diferentes da escala de tempo. Isto parece muito estranho, mas é exatamente o que acontece. Lembre- se que apesar de estarmos aplicando o mesmo pico de força a sua freqüência de oscilação varia e, assim, a resposta amplia quando nós aplicamos a força com uma freqüência de oscilação o mais próximo da freqüência natural da placa (freqüência de ressonância) e alcança um máximo quando a freqüência de oscilação for igual à freqüência natural da placa. A Fig. 2, que apresenta dados no domínio do tempo, fornece informações muito úteis. Entretanto, se manusearmos os dados que estão no domínio do tempo e transforma-los para o domínio da freqüência, usando a transformada de Fourier, podemos obter a Função Resposta em Freqüência (FRF), apresentada na Fig. 3. Nesta figura, existem alguns itens interessantes para serem notados, por exemplo, notamos que existem picos nesta FRF que ocorrem nas freqüências naturais do sistema (placa), ou seja, estes picos ocorrem exatamente nas freqüências que correspondem a parte do diagrama temporal onde foi observado ter um máximo na resposta, devido a excitação de entrada representada pela força F. Assim, sobrepondo as respostas no domínio do tempo e da freqüência, conforme se visualiza na Fig. 4, observaremos que existe uma coincidência entre as posições em que os máximos valores dos dois diagramas ocorrem. Portanto, podemos usar tanto a resposta no domínio do tempo quanto a no domínio da Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 5 m. s2.x(s) + c.s.x(s) + k.x(s) = F(s) (4) onde F(s) é a Transformada de Laplace de F(t). A Função de Transferência, por definição, é a função que relaciona a resposta do sistema a uma excitação a ele aplicada. Neste caso, ela toma a seguinte forma: ( ) kcsms 1 F(s) x(s) H 2 ++ ==ω (5) que leva a obtenção de valores complexos, em função de s, e é representada como uma superfície no domínio de Laplace, conforme pode ser visualizado de formas diferentes nas figuras 7, 8, 9 e 10. O denominador da Eq. (5) é a equação característica que permite a determinação de duas raízes, as quais, para um sistema sub-amortecido, são dadas por: s1,2 = σ ± i.ωd (6) com σ = - ξ.ωn (7) e 2nd 1 ξ−ω=ω (8) onde ωn é a freqüência natural, ωd é a freqüência natural amortecida e ξ é o fator de amortecimento. Figura 7 – Parte real de H(s). Figura 8 – Parte Imaginária de H(s). Figura 9 – Magnitude de H(s). Figura 10 – Fase de H(s). A Eq. (5) pode, agora, ser reescrita como: Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 6 )s)(ssm(s 1 )H( 21 −− =ω (9) onde s 1 = σ + i.ωd e s2 = s*1 = σ - i.ωd , que são as duas raízes da equação característica dadas pela Eq. (6), são denominadas de pólos da Função de Transferência, os quais podem ser visualizados no plano s como mostrado na Fig. 11. Figura 11 – Representação do Pólo no plano de Laplace. Tomando a Eq. (9) e expandindo em frações parciais, a Função de Transferência pode ser reescrita como: ( ) )s(s A )s(s A )s)(ssm(s 1 H * 1 * 121 − + − = −− =ω (10) onde os conjugados complexos A e A* são definidos como sendo os resíduos da Função de Transferência e diretamente relacionados à amplitude da Função Resposta Implusiva, que será apresentada posteriormente. Os valores dos resíduos podem ser facilmente obtidos e são dados por: dmi A ω = 2 1 (11) Embora para um sistema com um grau de liberdade o resíduo A seja um número imaginário puro, para sistemas com múltiplos graus de liberdade os resíduos são, em geral, números complexos completos, isto é, com parte real e imaginária. 2.2 – Função Resposta em Freqüência (FRF) Com base no que foi apresentado anteriormente, podemos dizer que o domínio de Laplace descreve o sistema sob análise em termos de pólos e resíduos. Agora, avaliando a Função de Transferência somente no domínio da freqüência nós obtemos: nd * nd * * is )(i A )(i A si A si A )s(H)(H ξω+ω+ω + ξω+ω−ω = −ω + −ω ==ω ω= 11 (12) A Eq. (12) representa a expansão em frações parciais da FRF de um sistema de um grau de liberdade. Entretanto, a forma mais comum de se apresentar a FRF é como segue: Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 7 ci)mk( )(H ω+ω− =ω 2 1 (13) Assim, a FRF nada mais é do que um caso particular da Função de Transferência. Aplicando-se as definições da freqüência natural e do fator de amortecimento, ou seja, ωn = mk e ξ = c/(2.m.ωn), a Eq. (13) pode ser reescrita como: nn i m/ )(H ξωω+ω−ω =ω 2 1 22 (14) A FRF fornece valores complexos de acordo com os valores de ω e, para a relação ω/ωn, ela tem algumas propriedades interessantes. Assim, em freqüências abaixo da freqüência natural, ωn2 >> ω.ωn >> ω2, a FRF é dada por: k m k m m/ )(H n 111 2 =       = ω =ω (15) Visto que o valor da FRF em qualquer freqüência é um número complexo, podemos determinar o seu módulo (magnitude) e a sua fase como: o0 1 =ω=ω )(H.arge k )(H (16) Assim, o ganho em baixa freqüência é uma constante igual a (1/k), ou ao inverso da rigidez, e a fase assume o valor de 0°. Em freqüências acima da freqüência natural, ω2 >> ω.ωn >> ωn2, a FRF é dada por: 22 11 ω −= ω− =ω m m/ )(H (17) Podemos novamente determinar a sua magnitude e a sua fase: o180 1 2 −=ω ω =ω )(H.arge m )(H (18) Assim, em altas freqüências o ganho é dado por 1/ (m. ω2) e a fase é de - 180°. Na ressonância, ω = ωn, a FRF é dada por: k j m m k j mjj m/ )(H n ξ −=      ξ = ξω = ξωω =ω 2 2 1 2 1 2 1 2 (19) e determinando o ganho e a fase na ressonância, temos: o90 2 1 −=ω ξ =ω )(H.arge k )(H (20) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 10 onde c é a constante de amortecimento viscoso, ω a freqüência da vibração e X a amplitude de movimento. Figura 15 – Curva carga / deflexão dinâmica típica para amortecimento viscoso. Pela Eq. (24), a energia de dissipação é proporcional à freqüência e ao quadrado da amplitude. Entretanto, quando uma estrutura real, ou parte dela, é posta em movimento harmônico verifica-se que não existe esta proporcionalidade entre energia dissipada por ciclo e freqüência. É bem verdade que esta energia depende, de alguma forma, da freqüência, mas nunca de maneira proporcional. Para estruturas, ou peças metálicas, a energia dissipada por ciclo depende apenas discretamente da freqüência. Sendo os mecanismos de extração e dissipação de energia de uma estrutura real complexos, qualquer tentativa de se levar em conta estes vários mecanismos, individualmente, em uma análise matemática do movimento do sistema é impraticável. Assim, o que de melhor se pode fazer é modificar o modelo de amortecimento viscoso, gerando outro modelo de simples manipulação matemática, o modelo de amortecimento histerético. Supõe-se, inicialmente, que o modelo viscoso sobreviva, porém com a constante de amortecimento dependente da freqüência (o termo “constante” aqui se refere apenas ao tempo). Em seguida, supõe-se que esta constante de amortecimento viscoso seja da forma: c(ω) = d(ω) / ω (25) que é equivalente a usar um amortecedor viscoso mas fazendo-o variar inversamente com a freqüência. Este elemento é conhecido como um amortecedor histerético, sólido ou estrutural e o parâmetro d é denominado de coeficiente de amortecimento histerético. Esta denominação resulta do fato de que este mecanismo de dissipação descreve aproximadamente o comportamento do laço de histerese de muitos materiais. Desta maneira a Eq. (24) pode ser reescrita como: Ed = π.d(ω).X2 (26) A dependência de d com a freqüência é, em geral, estabelecida experimentalmente. Entretanto, como para estruturas metálicas, ou peças, a dependência de d da freqüência é discreta, costuma-se, nesses casos, torná-lo constante, de sorte que aproximadamente, temos: Ed = π.d.X2 (27) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 11 Para uma estrutura completa (múltiplos graus de liberdade) supõe-se, em analogia com o caso viscoso, que inúmeros mecanismos histeréticos estejam distribuídos, de sorte que, para uma estrutura excitada em movimento harmônico, de freqüência ω, a matriz de amortecimento fica: [C] = (1/ω) [D] (28) onde [D] é a matriz de amortecimento histerético. Note que como [C] é simétrica, também [H] o é. A equação de movimento para um sistema com um grau de liberdade, com amortecedor histerético, excitado harmonicamente, pode ser escrita como: (-ω2m + k + id). X . eiωt = F.e iωt (29) que permite seja obtida a seguinte expressão para a FRF do sistema, com amortecedor do tipo histerético: 2222 11 nn i m/ id)mk(F X )(H ηω+ω−ω = +ω− ==ω (30) onde η = d / k é conhecido como o fator de perda. Comparando as Eq.’s (14) e (30) e fazendo ω = ωn, pode-se concluir que os modelos viscoso e histerético são aproximadamente equivalentes na ressonância com η = 2ξ. 4 – REPRESENTAÇÃO E PROPRIEDADES DE UMA FRF 4.1 – Receptância A Função Resposta em Freqüência definida e discutida anteriormente é somente uma das possíveis formas de uma FRF e é denominada de Receptância, sendo geralmente denotada por α(ω) ou α(iω). Esta quantidade complexa descreve completamente a relação entre a resposta em termos de deslocamento e a força de excitação aplicada a um sistema, caracterizando completamente as suas propriedades dinâmicas. Sendo a FRF uma função complexa da freqüência, existem três quantidades a serem levadas em conta, ou seja, parte real, parte imaginária e freqüência, quando se vai traçar um gráfico da FRF. Assim, uma representação completa de uma FRF em um único gráfico somente pode ser feita usando um sistema de referência tridimensional, como ilustrado na Fig. 16. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 12 Figura 16 – Representação tridimensional da Receptância. É obvio que esta não é a forma mais conveniente de se representar a FRF. Assim, como uma alternativa, podemos mostrar a FRF em dois gráficos separados, ou seja, parte real x freqüência e parte imaginária x freqüência, como mostrado nas figuras 17 e 18 respectivamente. Nestes gráficos, ωn = 10 rd/s e cada um deles corresponde a uma projeção, da curva mostrada na Fig. 16, nos planos Parte Real/freqüência e Parte Imaginária/freqüência, respectivamente. É interessante notar que a parte real da Receptância α(ω) cruza o eixo das freqüências na ressonância enquanto, na mesma região, a parte imaginária apresenta um mínimo. Figura 17 – Parte real da Receptância (m = 1 kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m). Figura 18 – Parte imaginária da Receptância (m = 1 kg, K = 100 N/m e c = 0.6 Ns/m). Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 15 Portanto, )()(Y ωαω=ω e 2 π +ωα=ω )](.[arg)](Y.[arg (38) Para a Acelerância, de forma similar, temos: )( Fe eX )t(F )t(x )(A ti ti ωαω−=ω−==ω ω ω 22&& (39) levando a: )()(A ωαω=ω 2 e π+ωα=ω )](.[arg)](A.[arg (40) e, ainda, )(Y)(A ωω=ω e 2 π +ω=ω )](Y.[arg)](A.[arg (41) As curvas mostradas nas figuras 22, 23 e 24 representam, para valores de m = 1 kg, k = 100 N/m e c = 0.6 N.s/m, respectivamente, em escala log-log, a Receptância, a Mobilidade e a Acelerância. Destas figuras é possível perceber que existem algumas diferenças, pois as linhas retas de rigidez e massa para a Mobilidade e Acelerância apresentam inclinações diferentes daquelas do gráfico da Receptância, isto é, para a Mobilidade a inclinação da linha de rigidez é 1 e da linha de massa –1 e para a Acelerância estas inclinações são, respectivamente, 2 e 0. Figura 22 – Magnitude da Receptância em escala log-log. Figura 23 – Magnitude da Mobilidade em escala log-log. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 16 Figura 24 – Magnitude da Acelerância em escala log-log. Não podemos esquecer que a curva de magnitude da FRF não contém todas as informações necessárias e, portanto, existe a necessidade de se considerar a fase ou argumento da FRF complexa, como mostrado na Fig. 25. A curva da fase pode usar escala logarítmica somente para o eixo da freqüência. Na Fig. 25 é possível verificar que em todas as FRF’s a mudança de fase na ressonância é de 180°. Figura 25 – Fase da Receptância, Mobilidade e Acelerância. Embora não sejam largamente usados, é interessante comparar os gráficos das partes real e imaginária versus freqüência para as três formas distintas de FRF. Assim, a Fig. 26 apresenta todas as três formas de FRF, permitindo visualizar que a mudança de fase na região de ressonância corresponde a uma mudança de sinal em uma das partes do valor complexo da FRF, enquanto que a outra parte apresenta um ponto extremo, ou seja, um ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da FRF considerada. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 17 Figura 26 – Partes Real e Imaginária da Receptância, Mobilidade e Acelerância. Finalmente, a Fig. 27 mostra os Diagramas de Nyquist para as FRF’s mostradas na Fig. 26, que dizem respeito a um sistema de um grau de liberdade, com mecanismo de amortecimento viscoso. Fica claro que, embora cada ponto nestes diagramas corresponda a um valor de freqüência igualmente espaçado, somente aqueles pontos que estão próximos da freqüência de ressonância podem ser distintamente identificados, uma vez que os pontos fora da região de ressonância estão tão próximos que não podem ser claramente identificados. Esta particularidade do Diagrama de Nyquist torna-o muito conveniente para várias aplicações de teste modal. Figura 27 – Diagrama de Nyquist para a Receptância, Mobilidade e Acelerância. Porém, se lembrarmos que o laço circular descrito corresponde a mudança de fase sofrida pela resposta relativa à força de excitação e que esta mudança de fase tende a acontecer dentro de uma faixa mais larga de freqüência a medida que diminui o Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 20 22 21 21 max , max , )( )( E E ωα =ωα∴= (47) Figura 30 – Definição dos pontos da banda de meia potência. Estes pontos determinam uma faixa de freqüência conhecida como banda de meia potência, embora devêssemos falar de energia e não de potência. Assim, com base na Eq. (47) e da Eq. (30), podemos facilmente escrever: 2 2 1 2 2 2 nω ω−ω =η (48) A Eq. (48) é exata e permite que o valor de η seja calculado baseado somente nos valores de freqüência. Se o amortecimento for baixo, 2 ωn = ω2 + ω1 podemos reescrever a Eq. (48) como: nn ))(( ω ω−ω =η∴ ω ω+ωω−ω =η 12 2 1212 2 (49) e, lembrando que para baixo amortecimento η = 2 ξ, podemos escrever para o modelo de amortecimento viscoso: nω ω−ω =ξ 2 12 (50) 5.3 – Método do Círculo de Nyquist Agora, será desenvolvida uma investigação da forma da curva do Diagrama de Nyquist para a Receptância. Para tal, reescreva a Eq. (30) como: [ ] [ ])(Imi)(Re d)mk( d i d)mk( mk )(H)( ωα+ωα= +ω− − +ω− ω− =ω=ωα 222222 2 (51) Sabendo que: Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 21 [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } 02222 =ωα+ωα−ωα+ωα )(Im)(Re)(Im)(Re (52) se obtém [ ] [ ]{ } 01 222 22 = +ω− −ωα+ωα d)mk( )(Im)(Re (53) que leva a seguinte equação: [ ] [ ] 22 2 2 1 2 1      =       +ωα+ωα dd )(Im)(Re (54) A Eq. (54) representa a equação de uma circunferência de raio igual a 1/ 2d, cujo centro está posicionado no par ordenado (0 , -1/ 2d) do plano de Argand. Assim, a curva da Receptância, para o sistema de um grau de liberdade com modelo de amortecimento histerético, é um círculo perfeito conforme mostra a Fig. 31. Na Fig. 31, é possível observar que, devido às propriedades geométricas do diagrama, os pontos relativos às freqüências ω1 e ω2, que definem a banda de meia potência, são facilmente identificados, uma vez que eles correspondem aos pontos onde o círculo é interceptado por uma reta que coincide com o diâmetro paralelo ao eixo real. É oportuno destacar que as curvas referentes a Mobilidade e Acelerância, para o modelo de amortecimento histerético, não apresentam um círculo exato no plano de Argand. O mesmo acontece em relação a Receptância e Acelerância para o modelo de amortecimento viscoso. Contudo, para sistemas de um grau de liberdade com este modelo de amortecimento, é a Mobilidade que fornece um círculo no plano de Argand. De fato, para tal situação, a mobilidade é dada por: [ ] [ ])(Imi)(Re)(Y )c()mk( )mk(i )c()mk( c)(Y ci)mk( i )(Y ωα+ωα=ω ω+ω− ω−ω+ ω+ω− ω=ω ω+ω− ω =ω 222 2 222 2 2 (55) e, após algumas manipulações matemáticas similares a que foram feitas para o modelo de amortecimento histerético, pode se obter a seguinte equação: [ ] [ ] 22 2 2 1 2 1      =       −ω+ω cc )(YRe)(YIm (56) Assim, pela Eq. (56), fica claro que a Mobilidade traça um círculo perfeito no plano de Argand, conforme mostrado na Fig. 32. O círculo tem raio igual a 1/ 2c e seu centro está sobre o eixo real, no par ordenado (1/ 2c , 0) e a freqüência natural é obtida do ponto onde o círculo cruza o eixo real. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 22 Figura 31 – Diagrama de Nyquist para Receptância: amortecimento histerético. Figura 32 - Diagrama de Nyquist para Mobilidade: amortecimento viscoso. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 24 6.3 – Resposta em Freqüência Seja a seguinte transformação: )}(p]{[)}(q{ ωφ=ω (50) que levada à Eq. (41) e, após, a pré-multiplicação por [φ]T, permite escrever: [ ] )}(N{)}(p{]s[]I[ \j \ \ \2 ω=ω+ω− (51) onde )}(F{][)}(N{ T ωφ=ω (52) Para a j-ésima componente )(Nj ω , vale a seguinte expressão: ∑ = ωφ=ω N 1r rrjj )(F)(N (53) A Eq. (51) representa um sistema de equações desacopladas do tipo )(N)(p)s( jjj 2 ω=ω+ω− (54) de onde se tira a solução: 2 j j j s )(N )(p ω− ω =ω (55) Note que a Eq. (50) pode ser reescrita na forma expandida abaixo: ∑ = ωφ=ω N 1j jj )(p}{)}(q{ (56) obtendo-se pela substituição de )(pj ω e )(Nj ω a seguinte equação: ∑ ∑ = = ω ω− φ φ=ω N 1j N 1r r2 j rj j )(Fs }{)}(q{ (57) A Eq. (57) oferece a resposta do sistema, no domínio da freqüência, a um vetor de forças. Suponha agora que todas as forças deste vetor sejam nulas, exceto uma: )(Fs ω . Então, a Eq. (57) pode ser reescrita como segue: )(F s }{)}(q{ s2 j sj N 1j j ωω− φ φ=ω ∑ = (58) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 25 que é a resposta, no domínio da freqüência, à uma força associada à s-ésima coordenada generalizada. A resposta na k-ésima coordenada pode ser facilmente escrita a partir da Eq. (58), como: )(F s )(q s N 1j 2 j sjkj k ω        ω− φφ =ω ∑ = (59) onde o produto no denominador da Eq. (59) é denominado de Constante Modal, normalmente expressa como: sjkjks j A φφ= (60) Por outro lado, o termo entre parênteses na Eq. (59) nada mais é do que a Receptância do sistema, aqui reescrita por conveniência: ∑ = ω− φφ =ωα N 1j 2 j sjkj ks s )( (61) A Receptância pode ser reescrita em uma forma mais elaborada. Para tal, lembre que jj ks = , ou seja: j T jj T jj }]{D[}{i}]{K[}{s φφ+φφ= (62) Assim, como os valores de sj são complexos é conveniente representá-lo por suas partes reais e imaginária, como segue: j 2 jj ihs +ω= (63) ou, mais freqüentemente, da seguinte forma: )i1(s j 2 jj η+ω= (63) onde ηj é o fator perda modal, dj é o coeficiente de amortecimento modal histerético e ωj a freqüência natural, relativos ao j-ésimo modo de vibração. Portanto, com esta nova notação, a Receptância é reescrita como: ∑ = ωη+ω−ω =ωα N 1j 2 jj 22 j ks j ks i A )( (64) 6.4 – Amortecimento Histerético Proporcional Uma hipótese muito importante é a de que a matriz de histerese é proporcional à matriz de rigidez, caso em que a matriz de perda é dada por: ]I[][ \ \υ=η (65) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 26 Este caso ocorre em sistemas de isolamento de máquinas com isoladores elastoméricos e estruturas compostas metal-elastômero. Assumindo a expressão de proporcionalidade mais geral, de modo similar ao modelo de amortecimento viscoso, podemos escrever: ]M[]K[]D[ γ+υ= (66) e o problema de autovalores da Eq. ( 42) fica assim estabelecido: [ ] }]{M[s}{]K[])M[]K[(i φ=φ+γ+υ (67) As matrizes que aparecem na Eq. (67) são todas diagonalizáveis pela matriz modal do problema abaixo muito conhecido: }]{M[}]{K[ φλ=φ (68) o que permite dizer que os autovetores do problema expresso pela Eq. (68) também o são do problema expresso pela Eq. (67), embora os autovalores sejam distintos. Reescrevendo a Eq. (67) para um certo j e pré-multiplicando por Tj){φ , obtem-se: )(is 2j 2 jj γ+υω+ω= (69) Note que, na Eq. (69), 2jω é real e que ωj representa a j-ésima freqüência natural não amortecida. A Eq. (69) pode ser posta sob a forma: )1(s j 2 jj η+ω= (70) onde 2 j j ω γ +υ=η (71) A Eq. (70) é da mesma forma da Eq. (63). Entretanto, o fato de aqui o amortecimento ser proporcional, torna este ω j diferente em valor daquele da Eq. (63) e as constantes modais, presentes na expressão da receptância, são todas reais. 6.5 – Representação Gráfica de FRF MDOF Nos itens anteriores, foi mostrado que o modelo de resposta, de um Sistema com Múltiplos Graus de Liberdade (MDOF), consiste num conjunto de FRF’s diferentes e que um sistema com N Graus de Liberdade é descrito por um modelo modal com N freqüências naturais e N formas modais. Também, foi mostrado que cada FRF pode ser escrita sob a forma de uma série de termos, cada um dos quais diz respeito à contribuição de cada modo de vibração à resposta total, como estabelecido pela Eq. (64). Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 29 sob consideração é fixada. Esta propriedade é útil em alguns casos experimentais, tais como quando se usa uma mesa sísmica para testar a estrutura, onde a excitação e a resposta são medidas na mesa sísmica. Neste caso, as freqüências anti-ressonantes do sistema global (mesa mais estrutura) são as freqüências ressonantes da estrutura sob análise, desde que a mesa se comporte como um corpo rígido, o que normalmente é verdadeiro, para os valores baixos da faixa de freqüência de interesse em tais casos. Figura 43 – Exemplo de uma Receptância de Transferência. Neste ponto, é interessante fazer uma comparação entre as diferentes formas de FRF quando mostradas em um diagrama de Bode em escala log-log, conforme mostrado na Fig. 44. Nesta figura, apresenta-se uma FRF pontual, que corresponde à extremidade livre de uma viga em balanço, o que permite verificar que a Receptância e a Acelerância fazem um uso pobre do espaço vertical disponível no quadro gráfico porque elas são, geralmente, mostradas como curvas que decaem (Receptância) ou crescem (Acelerância). Isto é verdade para estruturas com placas ou vigas para as quais a mobilidade, sobre uma larga faixa de freqüência, produz um gráfico aproximadamente nivelado. Como uma conseqüência deste comportamento das FRF’s, o Diagrama de Bode geralmente é produzido para FRF do tipo mobilidade. Na realidade, cada uma das três alternativas de FRF (Receptância, Mobilidade ou Acelerância) descreve as mesmas propriedades e cada uma tem a sua própria vantagem. Em geral, a Receptância é adequada para trabalhos analíticos enquanto que a Acelerância é usada para plotagem direta de dados medidos, devido ao fato de ser comum a medição da aceleração e da força. Figura 44 – FRF’s pontuais para a extremidade de uma viga em balanço. Agora, tendo como base os sistemas amortecidos, as curvas das FRF’s num digrama de Bode são muito similares àquelas dos sistemas não amortecidos. A diferença reside no fato de que na ressonância e na anti-ressonância os picos são menos afilados e Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 30 os ângulos de fase não são mais exatamente 0° ou -180°. Isto é mostrado na Fig. 45 onde a Receptância para um sistema amortecido de quatro graus de liberdade é apresentada. Na Fig. 45 é possível observar que altos valores de amortecimento podem esconder a existência de uma anti-ressonância, fazendo com que uma FRF pontual se pareça com uma FRF de transferência. Figura 45 – Diagrama de Bode da Receptância com amortecimento histerético. Exatamente da mesma forma que para os sistemas com um grau de liberdade, é possível o traçado das curvas correspondentes às partes real e imaginária de uma FRF para sistema com múltiplos graus de liberdade. A Fig. 46 ilustra este tipo de apresentação, usando o mesmo exemplo da Fig. 45. O que fica imediatamente transparente na Fig. 46 é que devido ao uso da escala linear e ao fato de que, em geral, a amplitude da Receptância decai com o aumento da freqüência, os modos de freqüências mais altas tendem a não ser mostrados na curva. Figura 46 – Partes real e imaginária da Receptância da Fig. 45. De modo a evitar este problema, podemos traçar várias curvas onde cada uma cobrirá uma faixa de freqüência, tal que a escala de amplitude em cada curva seja diferente. Uma outra alternativa é trocar o gráfico da Receptância pelo gráfico da Acelerância, como mostrado na Fig. 47. Agora, todos os modos são visíveis e está claro que as partes real e imaginária não exibem o mesmo comportamento daquele registrado na Fig. 26. A razão para este comportamento é que, para o exemplo de sistema com Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 31 quatro graus de liberdades usado, os dois últimos modos de vibração têm amortecimentos altamente não-proporcionais. Figura 47 – Partes real e imaginária da Acelerância do sistema da Fig. 45. Agora, vamos voltar nossas atenções ao Diagrama de Nyquist. O problema de escala que encontramos quando traçamos as partes real e imaginária da Receptância em função da freqüência também estará presente, o que dificultará a leitura do Diagrama de Nyquist em toda a faixa de freqüência de interesse. A solução é usar diagramas de Nyquist separados, ou seja, um para cada região de freqüência natural. Assim, com o propósito de identificarmos as propriedades modais do sistema, este procedimento deverá ser feito para tirar proveito das características particulares do Diagrama de Nyquist. Agora, entretanto, será interessante ter uma representação completa da FRF em um único diagrama. Para tal, iremos fazer uso de um exemplo em que as constantes modais têm valores tais que todos os modos serão visíveis, como mostrado na Fig. 48 onde é apresentada a Receptância para um sistema de três graus de liberdade com amortecimento proporcional. Figura 48 – Diagrama de Nyquist para Receptância (3 GL). Como esperado, as regiões correspondentes às freqüências naturais dão origem a um círculo. Contudo, pode ser visto que os círculos não são exatamente centrados com respeito ao eixo imaginário como no caso de um sistema de um grau de liberdade. Esse fato pode ser facilmente explicado se reescrevermos a Eq. (64) para um Receptância pontual de um sistema com três graus de liberdade: Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 34 isto é, em princípio, é possível obter um modelo espacial de um modelo modal conhecido. Essa pode ser uma conclusão importante se pensarmos que, experimentalmente, é o modelo modal que inicialmente é determinado a partir das FRF medidas. Ademais, o modelo modal permite a determinação do modelo de resposta, conforme abaixo: [ ]{ } { }FX]D[i]M[]K[ =+ω− 2 (78) ou seja: [ ] { } { }FX)( =ωα −1 (79) Assim, pode ser facilmente concluído que [ ] [ ][ ][ ]T\rr\ )i()( φω−η+ωφ=ωα 22 1 (80) Portanto, partindo de um modelo espacial chegamos em um modelo de resposta após uma parada intermediária no modelo modal. Esta seqüência é normalmente desenvolvida quando o ponto de partida é uma análise teórica. Contudo, se um sistema é muito complexo ele não pode ser modelado analiticamente e recorremos a uma análise experimental, onde o ponto de partida é a medição das FRF’s do sistema, isto é, o sistema é inicialmente descrito por um modelo de resposta [α(ω)]. Será visto mais a frente que existem numerosas técnicas que permitem a determinação das características de um sistema dado a partir do modelo de resposta obtido experimentalmente. O procedimento é denominado de Identificação Modal ou Identificação de Sistema. A partir do modelo modal, assim determinado, podemos obter um modelo espacial. A Fig. 51 resume a inter-relação dos modelos discutidas acima, baseada no caso não amortecido. Figura 51 – Inter-relação dos modelos dinâmicos (caso não amortecido). Até o momento assumimos que os nossos sistemas são descritos por modelos completos, isto é, suas propriedades de massa, rigidez e amortecimento são todas conhecidas, ou que todos os autovalores e todos os elementos dos autovetores são conhecidos, ou que todos os elementos na matriz de FRF são conhecidos. Embora isso seja uma hipótese válida do ponto de vista teórico, na prática, isso corresponde a uma impossibilidade, uma vez que qualquer sistema real tem um número infinito de graus de liberdade, o que já permite entender essa impossibilidade. Contudo, quando referimo-nos a modelos incompletos estamos o fazemos segundo outras Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 35 características que tornam o modelo incompleto. Na realidade, mesmo quando reduzimos um sistema real a um modelo com N graus de liberdade teremos ainda um modelo completo, mas na prática e do ponto de vista experimental, não é possível, geralmente, medir as respostas em todas as coordenadas, ou aplicar todas as excitações, ou mesmo cobrir e analisar todos os modos. Considere um modelo de resposta com N graus de liberdade e assuma que, se completamente conhecido, ele nos dá a descrição comportamento dinâmico de nosso sistema. Por exemplo, considere a viga da Fig. 52 discretizada para se obter um modelo de 6 graus de liberdade descrito por: { } [ ]{ }                                         α αα ααα αααα ααααα αααααα =α=                     θ θ θ = θ θ θ 3 3 2 2 1 1 66 4645 464544 36353433 2625242322 161514131211 3 3 2 2 1 1 f f f f f f f y y y q y y y (81) A matriz de receptância do modelo completo é, portanto, de ordem 6 x 6 e contém as coordenadas de translação e rotação. Entretanto, a medição de respostas rotacionais é uma tarefa muito difícil de se realizar. Ademais, a excitação de torque é quase impossível com as possibilidades experimentais hoje existentes. Assim, teremos que optar por limitar o nosso modelo de modo que ele inclua apenas coordenadas de translação. Figura 52 – Viga discretizada para 6 graus de liberdade. O modelo de FRF reduzido será de ordem 3 x 3 e é obtido simplesmente extraindo-se da Eq. (81) os elementos relevantes da atriz: { } [ ]           α=           = 3 2 1 3 2 1 y y y RR f f f y y y q (82) O importante a ser observado, é que embora tenhamos limitado a descrição de nosso sistema a um número reduzido de coordenadas não alteramos o sistema original, que continua sendo um sistema com 6 graus de liberdade. Simplesmente, deixamos de ser capazes de descrever todos os graus de liberdade originais, uma vez que reduzindo as coordenadas de interesse de N para p significa apenas realizar uma operação simples de eliminarmos, da matriz resposta em freqüência, N-p linhas e colunas, o que é verdade quando estamos usando as FRF´s que relacionam movimento/força. Outra redução importante que ocorre em situações práticas é relativa ao número de modos de vibração que podem ser incluídos na análise, devido à faixa de freqüência Simétrica Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 36 na análise experimental ser limitada e, desta forma, pelo menos os modos de freqüências mais altas serão omitidos. Assim, embora se mantenha o número N de graus de liberdade do modelo, teremos de considerar um número menor de modos (m < N), isto é, a equação da receptância será da forma: ∑ ≤ = ωη+ω−ω =ωα Nm r rrr ks r ks i A )i( 1 222 (83) e, fazendo uso das propriedades de ortogonalidade dos autovetores, a correspondente matriz de receptância, contendo uma informação modal reduzida, pode ser escrita como: [ ] [ ] [ ] [ ]TmxNmxm\r\NxmNxN )( φω−λφ=α 22 (84) Está claro que cada uma das equações anteriores omite informações que podem ser extremamente importantes. Observe que o fato de m < N, na Eq. (84), levará a uma matriz [α] de ordem N x N que não pode ser invertida, devido ao fato de que suas linhas não são linearmente independentes, isto é, a ordem da matriz é N, mas o “rank” é m. Finalmente, a conseqüência de se considerar somente um número limitado de modos é que terminaremos com uma matriz quadrada de autovalores de ordem m x m e uma matriz de autovetores retangular de ordem N x m. Agora, pense em termos do modelo de resposta e considere um sistema que será modelado com um número N finito de graus de liberdade. Esses graus de liberdade corresponderão às coordenadas de interesse para a análise. Assuma, também, que o nosso modelo modal será obtido através da técnica de identificação baseada em dados experimentais. Como discutido anteriormente, a análise terá de ser realizada para uma faixa de freqüência necessariamente limitada e, portanto, baseada em um número limitado m de modos. Assim, o modelo de resposta medido consistirá de uma matriz N x N de elementos αks expressos em termos de dados experimentais. Para trocar esses dados por um modelo matemático dado pela Eq. (83), com m ≠ N, é necessário aplicar procedimentos de identificação, tais como os que serão descritos mais adiante, e determinar os valores dos parâmetros modais ωr, ηr e ks r A para todos os r modos medidos. Contudo, o nosso modelo de resposta, agora descrito por uma matriz [α] de ordem N x N, conterá erros devido à omissão de todos os modos fora da faixa de freqüência considerada. Esses erros são, geralmente, visíveis quando comparamos os dados da FRF medida com os dados correspondentes da FRF identificada, se esta é representada somente pela Eq. (83). Uma forma de minimizar as conseqüências de se usar tal modelo é introduzir alguma correção sobre as FRF’s identificadas, tal que elas se aproximem aos dados obtidos por medição, na faixa de freqüência de interesse, incluindo um termo extra na equação de resposta, conforme a equação abaixo: )i(R i A )i( ks m r rrr ks r ks ω+ωη+ω−ω =ωα ∑ =1 222 (85) onde )i(Rks ω é um termo complexo denominado de resíduo, o qual leva em conta a contribuição dos modos fora da faixa considerada. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 39 8.1.1 – Métodos SISO 8.1.1.1 - Método da Amplitude de Pico Este é o método mais simples conhecido para identificar os parâmetros modais de uma estrutura. As freqüências são tomadas simplesmente da observação dos picos da curva de magnitude da resposta. As razões de amortecimento são calculadas da agudeza dos picos e as formas modais são calculadas das razões das amplitudes dos picos em vários pontos sobre a estrutura. De modo a levar em conta a amplitude da força de excitação, o uso da Receptância representa um melhoramento do método. Esse método assume que os modos são reais e, embora seja bastante simplório, ele pode fornecer resultados razoáveis se os modos são bem separados e se o amortecimento não é muito alto. 8.1.1.2 – Métodos da Resposta de Quadratura e do Componente Máximo de Quadratura Este método difere do método da amplitude de pico pela forma de determinar a posição das freqüências naturais da estrutura. O método da resposta de quadratura localiza as freqüências naturais nos pontos onde a componente em fase da resposta (a parte real) é nula. Isto corresponde a uma diferença de fase de 90 graus entre a função força e a resposta. O método do componente máximo de quadratura considera que as freqüências naturais ocorrem nos pontos onde a componente de quadratura da resposta (parte imaginária) tem um máximo (ou mínimo). Essa componente está 90 graus fora de fase com a excitação. 8.1.1.3 - Método de Ajuste do Circulo Como foi visto anteriormente, a Receptância de um sistema de N graus de liberdade, com amortecimento histerético, é dada pela seguinte expressão: ∑ = ωη+ω−ω =ωα N 1r 2 rr 22 r ks r ks i A )( (86) onde ηr e rAks são, respectivamente, o fator de perda e a constante modal complexa ri rks r eAA φ= associados com r-ésimo modo. Na prática, existe uma faixa limitada de freqüência para a qual os dados experimentais são coletados. A contribuição à resposta total dos termos situados fora da faixa experimental de freqüência pode ser levada em conta por meio de resíduos, como já discutido no item referente aos modelos incompletos. O método de ajustamento de círculo assume como hipótese que a contribuição dos modos fora da faixa àquele particular sob estudo é uma constante. Assim a Eq. (86) é aproximada por: ks r 2 rr 22 r ks r ks Bi A )( + ωη+ω−ω =ωα (87) onde ks r B é uma constante complexa associada com o modo r. Por outro lado, como já discutido, o diagrama de Nyquist de )i(1 2rr 22 r ωη+ω−ω é um círculo. Olhando a Eq. (87), Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 40 observamos que a multiplicação pela constante complexa ks r A significa uma ampliação ou redução do raio do círculo, tanto quanto uma certa rotação, e que a adição de ks r B corresponde a uma simples translação. Como de fato representamos no diagrama de Nyquist a Eq. (87), a curva completa não será exatamente um círculo, mas apresentará seções de arco de círculo ao redor da freqüência natural, como ilustrado na Fig. 55. Figura 55 – Diagrama de Nyquist para a Receptância mostrando o ajuste do círculo. A determinação dos parâmetros modais associados com o r-ésimo modo reside no ajustamento de um círculo à curva de resposta em freqüência próximo a freqüência natural ωr. Esse primeiro objetivo é geralmente atingido através do uso da técnica dos mínimos quadrados. Assuma que os dados da FRF são pontos no plano de Argand representados pelas coordenadas xj e yj. O problema que se tem é o de se obter uma circunferência que melhor se ajuste a estes pontos, onde o critério de melhor ajuste é o do mínimo erro quadrático. A equação de uma circunferência é dada por: 0cbyaxyx 22 =++++ (88) Para pontos levemente afastados dessa circunferência, o segundo membro da Eq. (88) será diferente de zero e esta diferença caracteriza um erro. Assim, define-se a seguinte função erro: cbyaxyx)y,x(E 22 ++++= (89) que, para o ponto experimental (xk,yk), fornece o seguinte valor de erro: cbyaxyx)y,x(EE kk 2 k 2 kkkk ++++== (90) Portanto, a soma dos valores quadráticos desses erros será: Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 41 ∑∑ == ++++== m 1k 2 kk 2 k 2 k m 1k 2 k 2 T )cbyaxyx(EE (91) A circunferência que melhor se ajusta a esses m pontos é aquela que torna 2 TE mínimo. Assim, é possível escrever o seguinte conjunto de equações na forma de matriz, aplicando à Eq. (91) a derivada em relação aos coeficientes a, b e c:                   + + + =                             ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = == === === m 1k 2 k 2 k m 1k 3 k 2 kk m 1k 3 k 2 kk m 1k k m 1k k m 1k k m 1k 2 k m 1k kk m 1k k m 1k kk m 1k 2 k )xy( )yxy( )xyx( c b a myx yyyx xyxx (92) Resolvido o sistema de equações, representado pela Eq. (92), o centro e o raio da circunferência podem ser determinados por: c ba R )/b;/a()y,x( o oo −     +     = −−= 22 22 22 (93) Após o cálculo de a, b e c o erro médio quadrático é computado como abaixo: m )cbyaxyx( e m 1k 2 kk 2 k 2 k 2 m ∑ = ++++ = (94) o qual é uma medida da qualidade do ajuste. Por outro lado, os erros da ordem de 1 a 3% são normalmente aceitos como indicação de um bom ajuste. A localização e determinação da freqüência natural estão baseadas em uma técnica de espaçamento da freqüência. Para um dado modo, não considerando o efeito da constante modal complexa, o ângulo de fase θr é dado por:                     ω ω − η =θ 2 r r r 1 arctg (95) e é fácil mostrar que r 2 d)(d θω é mínimo quando ω = ωr, isto é: r r 2 0 d )(d d d ω=ω⇒=      θ ω ω (96) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 44               ω ω − η −= θ −=θ−θ=      γ∆ 2 r a ra ra a 1 1 )(tg 1 )(tg 2 tg (105) e, portanto )(tg)(tg 1 . ba 2 r 2 b 2 a r θ∆−θ∆ω ω−ω =η (106) De fato, a Eq.(106) é válida mesmo quando θr ≠ π/2, uma vez que estamos tratando com diferenças de ângulos, conforme mostra a Fig. 57. Figura 57 – Determinação do fator de amortecimento pelo uso de dois pontos. Como pode ser visto, a Eq. (106) dá uma relação para os pontos da banda de meia potência quando ∆γa = ∆γb = π/2. Para um dado conjunto de resultados, é possível determinar vários valores para ηr, dependendo do par de pontos que são usados na Eq. (106). Ewins (1982) mostrou que isto pode ser uma forma muito útil de determinar a existência de efeitos não lineares. Em princípio, para um sistema linear, os valores de ηr deveriam ser todos idênticos. Contudo, na prática este não é o caso. Os desvios nas estimativas de ηr são, portanto um meio útil de taxar a validade da análise. Se as variações são aleatórias, isto significa que o espalhamento é, provavelmente, devido a erros de medição, mas se eles são sistemáticos pode ser que tais erros sejam causados por não linearidades. Por outro lado, devemos ser cautelosos e não elaborarmos conclusões precipitadas uma vez que na estimativa de amortecimento sempre ocorrerá algum erro mesmo que o sistema seja linear ideal. A razão para isso é o procedimento de cálculo associado com a Eq. (106) e, principalmente, devido à natureza do denominador. O resultado final pode ser como o mostrado na Fig. 58, onde o plano ao invés de ser horizontal é meio inclinado. Os melhores resultados são obtidos quando os ângulos ∆γa e ∆γb não são muito pequenos e têm valores similares. Assim, é aconselhável usar a combinação de pontos que correspondam a diagonal da superfície de ηr representada na Fig. 58, e calcular o valor médio. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 45 Figura 58 – Determinação de ηr usando combinações de pontos. Uma vez conhecidos ωr e ηr, a determinação do módulo e da fase da constante modal é feita através das seguintes expressões:       − − =φ ηω = D0 D0 r r 2 r r yy xx arctge A diâmetro (107) onde (xD,yD) são as coordenadas da origem deslocada e seus valores são determinados tão logo seja determinada a posição da freqüência natural. Embora bem conhecido, o método de ajuste do círculo é freqüentemente desconsiderado devido ao fato de se dizer que ele somente trabalha bem quando os modos estão bem separados e para valores de amortecimento não tão altos. Provavelmente, isso se deve ao fato de que em alguns analisadores comerciais a versão do método disponível é muito básica. Entretanto, é nossa opinião e a de outros pesquisadores que o método de ajuste de círculo trabalha muito bem para a maioria dos casos mesmo quando se trata de estruturas altamente complexas. Um dos mais importantes melhoramentos associados com o método do ajuste de círculo é a possibilidade de subtrair o efeito dos modos já analisados antes de analisarmos aqueles que estamos interessados. A idéia é muito simples: após a primeira identificação de cada um dos modos individualmente, a análise é repetida para cada modo, desta vez subtraindo da FRF original a contribuição dos outros modos, que se distribuem ao lado daquele sob estudo, e que já tenham sido identificado. Matematicamente, isso pode ser escrito como: rspara N 1s sr ≠α−α=α ∑ = (108) onde α é a FRF inicialmente medida, rα é a FRF resultante para o modo sob consideração e sα é a contribuição da FRF regenerada a partir das informações obtidas da análise preliminar de cada modo. Esta técnica é muito conveniente para dois modos próximos e um procedimento interativo pode ser estabelecido entre os dois modos até que a convergência seja obtida. Em geral, este procedimento é convergente, embora possa ser lento o processo de convergência. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 46 8.1.1.4 - Método Inverso O método inverso foi apresentado por Dobson e baseia-se no fato de que as partes real e imaginária do inverso da receptância (Rigidez Dinâmica) são linhas retas quando observadas em relação ao quadrado da freqüência. Escrevendo a receptância para um sistema com um grau de liberdade, com amortecimento histerético, conforme abaixo: 2 rr 22 r i r r i eA r ωη+ω−ω =α φ (109) a inversa é ri r 2 rr 22 r r eA i1 φ ωη+ω−ω = α (110) Escrevendo a Eq. (110) como rr 2 rr 22 r r iDB i1 + ωη+ω−ω = α (111) onde )sen(ADe)cos(AB rrrrrr φ=φ= , segue que: 2 r 2 r 2 r 2 rrrr r DB B)DB(1 Re + ω−ωη+ =      α (112) 2 r 2 r 2 r 2 rrrr r DB D)DB(1 Im + ω+ω−η =      α (113) Ambas as equações (112) e (113) são linhas retas em ω2 da forma: 2RR r nm 1 Re ω+=      α (114) 2II r nm 1 Im ω+=      α (115) com 2 r 2 r r R2 r 2 r 2 rrrr R DB B n; DB )DB( m + −= + ωη+ = (116) 2 r 2 r r I2 r 2 r 2 rrrr I DB D n; DB )DB( m + = + ω−η = (117) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 49 2. Por outro lado, tR e tI são eles próprios retas em Ω2 . Assim, um segundo ajuste de retas permite calcular os valores do lado esquerdo das Eq.’s (132) e (133). Assim, como conseqüência, obtém-se os parâmetros modais. Figura 59 – Exemplo de análise pelo método de Dobson. Aparentemente, parece que os parâmetros modais determinados pelo método de Dobson deverão ser os mesmos daqueles determinados pelo método inverso. Contudo, quando comparamos os resultados de ambos os métodos, eles são levemente diferentes. Isso é devido duas razões: 1. O método inverso não leva em conta os efeitos dos outros modos, enquanto que o método de Dobson considera este efeito; 2. No método inverso os valores de Re[1/αr] e Im[1/αr] são usados diretamente, enquanto que no método de Dobson os parâmetros tR e tI já são resultados de um ajuste de retas. Finalmente, deve-se ressaltar que com dados teóricos, sem ruído e para 1 GL, o método de Dobson coincide com o método inverso. Por outro lado, para modos bem espaçados o efeito residual não é muito grande e os resultados de ambos os métodos são similares. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 50 8.1.1.6 – Método dos Mínimos Quadrados Seja a função Receptância para o mecanismo de amortecimento histerético, conforme abaixo: )1(sonde s A )i( j 2 jj j 2 j ks j ks η+ω=ω− =ωα ∑ (134) O somatório da Eq. (134) se estende pelo número de modos da banda de freqüência considerada. Por simplicidade, faremos ks j j AA = . O erro em cada valor experimental da freqüência será: ∑ ≠ ω− ω− + ω− = rj k2 j j 2 r r k )i(Hs A s A E (135) onde H(iωk) é o valor experimental da função resposta em freqüência do tipo Receptância e o somatório representa a contribuição dos modos afastados do r-ésimo modo. Fazendo por definição ∑ ≠ ω− ω− = rj k2 j j k )i(Hs A B (136) onde os parâmetros A j e sj são conhecidos previamente. Por exemplo, suponha que esses parâmetros tenham sido determinados por ajustamento do círculo de Nyquist ou pelo método inverso. Desta forma, os Bk podem ser calculados, com k = 1, 2, ... N, sendo N o número de pontos de freqüência em que H(iωk) foi medida. Portanto, podemos reescrever a Eq. (135) como segue: [ ])s(BA s 1 EouB s A E 2krkr2 kr kk2 kr r k ω−+ω− =+ ω− = (137) O objetivo aqui é o de atualizar os valores das constantes modais e autovalores pelo método do mínimo erro quadrático. Assim, definindo o fator de peso )s(1P 2krk ω−= , que é computado com o valor prévio de sr, pode-se escrever a seguinte expressão para o erro quadrático:     ω−+ω−+ω−+== 2 k 2 kr * kr 2 k * rk * r 2 kr 2 r 2 k * kk 2 k B)s(BA)s(BA)s(APEEErro (138) Então, somando-se os erros referentes a cada ponto k de freqüência, derivando em relação aos conjugados complexos das constantes modais e autovalores, e igualando a zero, obtém-se a seguinte equação matricial:           ω ω =                 ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ 2 k 2 k k 2 k 2 kk k 2 k r r 2 k k 2 k * k k 2 k k k 2 k k 2 k BP BP s A BPBP BPP (139) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 51 A solução da Eq. (139) fornece os valores atualizados de Ar e sr, computados em função dos valores previamente estabelecidos na banda de freqüência varrida por k. A cada iteração, o valor do erro é calculado pela Eq. (138) usando-se os valores atualizados. Então, um critério de convergência adequado deve ser usado, tal como o apresentado na equação abaixo, de modo a sinalizar a parada do processo iterativo: 010 2 22 , Erro ErroErro anterior anterioratual < − (140) O desenvolvimento matemático aqui apresentado permite que se estabeleça a seguinte metodologia: 1. Tomar como dados de entrada inicial um conjunto de valores de Aj e sj, correspondentes aos modos contidos na banda de freqüência de interesse, obtidos por qualquer um dos métodos já apresentados. 2. Montar a Eq. (139), resolve-la e determinar o novo conjunto de Aj e sj. Esse procedimento deve ser feito para a obtenção de valores atualizados de Aj e sj para cada um dos modos contidos na banda de freqüência de interesse. 3. Verificar o critério de convergência. Se este critério for obedecido parar o procedimento, caso contrário, repetir os passos anteriores até que a convergência seja obtida. É claro que a convergência será obtida com menor número de iterações se os valores iniciais de Aj e sj forem bem escolhidos. Uma boa recomendação é a de se obter os valores iniciais de A j e sj pelo ajustamento do círculo de Nyquist. 8.1.1.7 – Método dos Mínimos Quadrados Melhorado O método anteriormente apresentado comporta um melhoramento, uma vez que considera apenas os modos de uma banda de freqüência, ou seja, os modos de ordem k1 a k2, e o sistema possui modos inferiores a k1 e superiores a k2 que participam da resposta. Assim, uma representação mais adequada da função resposta em freqüência do tipo Receptância neste caso seria: ∑ = ω+ ω− +ω=ωα 2 1 2 k kj s j j mks )i(Rs A )i(R)i( (141) onde o termo central corresponde aos modos da banda medida, Rm(iω) representa o efeito dos modos inferiores da banda considerada e Rs(iω) corresponde ao efeito dos modos que estão acima da banda considerada. Os parâmetros Rm(iω) e Rs(iω) são denominados de resíduos e, através de um raciocínio simples, podem ser convenientemente expressos. Considere ω pertencente à banda medida. Para os modos representados por Rm(iω) esta freqüência é “alta”. Então, considere um termo particular de Rm(iω) expresso por: 2222 kkk k k k i A s A ωη+ω−ω = ω− (142) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 54 O vetor erro relativo ao ponto k, correspondente ao valor de freqüência igual a ωk, é dado por: { } { } { } { } { } { } 222 k m sk rj kj j kr r k R R)i(H s A s A E ω −+ω− ω− + ω− = ∑ ≠ (155) onde as parcelas do somatório dizem respeito as modos dentro da banda de freqüência delimitada pelos valores K1 e K2, mas que sejam diferentes do r-ésimo modo que será atualizado. Assim, definindo o vetor {B}k como { } { } { } { } { } 22 k m sk rj kj j k R R)i(H s A B ω −+ω− ω− = ∑ ≠ (156) a Eq.(155) pode ser reescrita conforme abaixo: { } { } { } { } { } { }[ ])s(BA s EouB s A E krkr kr kk kr r k 2 22 1 ω−+ ω− =+ ω− = (157) A partir deste ponto, o procedimento que se segue supõe que { } 2 1 kj kk s PeB ω− = podem ser computados com valores previamente disponíveis dos parâmetros modais. O erro total escalar, na freqüência ωk, será: { } { }[ ] { } { }[ ]kkrjT*kk*rT*jk k k T* k k k B)s(AB)s(APEEErroET 2222 ω−++ω−+=== ∑∑ (158) ou    ω−ω−+ +   ω−+ω−+= ∑ ∑∑ ∑∑ k * kk * jkj j * k k k * jk * jkjj * jk BB)s)(s( AB)s(BA)s(AAPET l l l l l ll l l l ll 22 222 (159) onde Blk e Alj são os l-ésimos componentes de {B}k e {A}j, l = 1,2, ... n, onde n representa o número de FRF’s disponíveis no vetor { })i( ωα . Aplicando a derivada em relação a *j * j Aes l na Eq. (159), tem-se: 0 222 =      ω−+= ∂ ∂ ∑ ∑∑ l l lll kkjj * k k k* j B)s(ABP s ET (160) [ ] 022 =ω−+= ∂ ∂ ∑ kkjj k k* j B)s(AP A ET ll l (161) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 55 Intercambiando os somatórios na Eq. (160), obtém-se: ∑ ∑∑ ∑ ∑∑       ω=      +      l l l l lll 2 22222 k k kkj k kkj k * kk BPsBPABP (162) a qual representa uma única equação tendo como incógnitas sj e Alj , com l = 1, 2, ...,n. A Eq. (162) pode ser reescrita como: ∑ =+ l ll EDsAC jj (163) onde ∑= k * kk BPC ll 2 , ∑∑∑∑ ω== l l l l k kkk k kk BPEeBPD 22222 , ou na forma expandida como: EDsACACAC jnjnjj =++++ L2211 (164) A Eq. (161) representa, na realidade, um conjunto de n equações que podem ser escritas como segue: lll JsGFA jj =+ (165) onde ∑∑ ∑ ωω=== k kkk k k kkk BJeBPG,PF 2222 llll . Finalmente, pode-se escrever o seguinte sistema de (n+1) equações, com (n+1) incógnitas:     ==+ =+∑ n,,eJsGFA EDsAC jj jj Lllll l ll 1 (166) A solução do sistema, representado pela Eq. (166), atualiza os valores de sj e o do j-ésimo vetor modal. A s-ésima componente deste vetor modal é 2sjφ , cuja raiz quadrada é sjφ . Dividindo, pois, todos os componentes de { }jA por sjφ , obtém-se o j-ésimo autovetor { }jφ . A atualização dos vetores residuais faz-se conforme a metodologia já descrita anteriormente, tendo por base o seguinte sistema de equações: n,,p C C R RN k kpk k pk ps pm k k k k k k L1 11 1 224 2 =         ω =                 ω−ω −ω ∑ ∑ ∑∑ ∑ (167) A Eq.(167) representa um conjunto de n sistemas de duas equações com duas incógnitas, Rpm e Rps com p = 1,...,n. Resolvido esses n sistemas, obtém-se os dois vetores residuais { }mR e { }sR . Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 56 8.2 – MÉTODOS NO DOMÍNIO DO TEMPO 8.2.1 – Método da Exponencial Complexa O método da exponencial complexa é um método simples de identificação modal, no domínio do tempo, que está na categoria dos métodos indiretos de múltiplos graus de liberdade e que é classificado na categoria SISO, ou seja, é projetado para analisar uma única função impulsiva de cada vez. No domínio da freqüência, a FRF do tipo receptância α jk (deslocamento medido no ponto j para uma força aplicada no ponto k), para um sistema linear, amortecido e N graus de liberdade, pode ser dada pela seguinte equação: ∑ = ω−ω+ξω =ωα N2 1r ' rrr jk r jk )(i A )i( (168) com *jk r jk Nr' r ' Nr 2 rr ' r AAe,1 =ω−=ωξ−ω=ω + + . O símbolo (*) usado denota o complexo conjugado. O método da exponencial complexa, ao contrário dos métodos de identificação modal no domínio da freqüência, trabalha com a função resposta impulsiva, obtida da Eq. (168) pela aplicação da Transformada Inversa de Fourier, conforme abaixo: ∑∑ == == N2 1r ts' r N2 1r ts jk r jk rr eA)t(houeA)t(h (169) onde 'rrrr is ω+ξω−= . A resposta temporal h(t), avaliada em uma série de intervalos igualmente espaçados ∆t, é: )tL(s N2 1r ' rL )t(s N2 1r ' r1 N2 1r ' r0 r r eA)tL(hh eA)t(hh A)0(hh ∆ = ∆ = = ∑ ∑ ∑ =∆= =∆= == MMM (170) ou, fazendo tSr reV = , simplesmente: L r N2 1r ' rL r N2 1r ' r1 N2 1r ' r0 VAh VAh Ah ∑ ∑ ∑ = = = = = = MM (171) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 59 { } [ ] { } { } 1Npx2'G1Nx2N2Npx2G p ' 2 ' 1 ' p 2 1 hhou }h{ }h{ }h{ ]h[ ]h[ ]h[ =β               =β               MM (178) A solução de mínimos quadrados pode ser encontrada através da técnica da pseudo-inversa (ver Anexo 1) como: { } [ ] [ ]( ) [ ] { }'GTG1GTG hhhh −=β (179) Uma solução deste tipo para a Eq. (176) já poderia ter sido aplicada no método da exponencial complexa, considerando-se que mais do que 2N conjuntos de pontos já seriam uma forma de melhorar os resultados, principalmente, devido ao fato de se poder varrer uma quantidade maior de pontos da Função Resposta Impulsiva e, assim, minimizar os efeitos dos ruídos de medição. Portanto, na Eq. (178), podemos ter mais do que 2N conjuntos de pontos de medição. Conhecidos os coeficientes do vetor {β}, obtém-se os valores de Vr resolvendo, como antes, a Eq. (172) e, então, para cada Função Resposta Impulsiva, os resíduos ' rA podem ser determinados usando-se novamente a Eq. (177). Alternativamente, um algoritmo no domínio da freqüência pode ser usado para determinação dos resíduos. Como no método da exponencial complexa, permanece, ainda, o problema da estimativa correta do número de modos. Entretanto, o cálculo do escalão da matriz [hG], na Eq. (178) pode ser usado como uma indicação desta quantidade. 8.2.3 – Método de Ibrahim Trata-se de um método global de ajustamento no domínio do tempo. Suponha-se o sistema excitado por uma força associada à s-ésima coordenada generalizada, qs. O vetor de resposta impulsiva será: { } { } { }∑ ∑ = = φφ== N2 1j N2 1j ts sjj ts s j s rj eeA)t(h (180) onde as constantes φsj são chamadas fatores de participação modal. Se a excitação fosse associada à coordenada qr, a Eq. (180) seria, obviamente, válida, com r escrito no lugar de s. Assim, a resposta às duas excitações aplicadas simultaneamente seria: { } { } { } { }∑ = φ+φφ=+= N2 1j ts rjsjjrs re)()t(h)t(h)t(h (181) A Eq. (181) é válida para um número qualquer de excitação e pode-se escrever: { } { }∑ = φ= N2 1j ts jj reC)t(h (182) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 60 onde Cj representa a soma dos j-ésimos fatores de participação modal. Essa constante, no método de Ibrahim, é incorporada ao vetor {φ}j, conforme mostra a seguinte equação: { } { }∑ = ϕ= N2 1j ts j re)t(h (183) Na Eq. (183), { } { }jjj C φ=ϕ é, ainda, um modo de vibrar, mas não mais ortonormal e uma conseqüência da utilização do método de Ibrahim é a impossibilidade das constantes Cj serem recuperadas. Com base na Eq. (183), a i-ésima resposta será escrita assim: ∑ = ϕ= N2 1j ts iji re)t(h , i = 1,...,q (184) Na Eq. (184), o número q representa o número de pontos de medição na estrutura ensaiada. A resposta no instante tk será escrita assim: ∑ = λϕ= N2 1j jkijikh (185) onde kjtsjkkiik ee)t(hh =λ≡ (186) Agrupando os termos para i = 1,...,q, j = 1,...,2N e k = 1,...,M, obtém-se:               λλλ λλλ λλλ               ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ =               qM2q1q M22221 M11211 N2,q2q1q N2,22221 N2,11211 qM2q1q M22221 M11211 hhh hhh hhh L MMMM L L L MMMM L L L MMMM L L (187) ou, simplesmente [ ] [ ] [ ] NxM2cN2qxqxMh ∧ϕ= (188) onde M ≥ q ≥ 2N, com q representando o número de Funções Resposta Impulsiva, que normalmente corresponde ao número de pontos de medição, N o número de modos de vibração e M o número total de valores da função impulsiva para os tempos distintos tk. Tomem-se, agora, as medições feitas nos instantes tk + ∆t, com k = 1,...,M. Por exemplo, para o i-ésimo ponto de medição: ∑∑ = ∆ = ∆+ ϕ=ϕ=∆+ N2 1j tsts ij N2 1j )tt(s ijki kjkrkr eee)tt(h (189) Definindo 1k,ikiikki ts ijij h)tt(hh)t(hee j + ∆ =∆+==ϕ=ϕ ))) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. 61 tem-se ∑ = λϕ= N2 1j jkijikh )) (190) A seguinte relação matricial é imediata: [ ] [ ] [ ] NxM2cN2qxqxMh ∧ϕ= ) ) (191) e, deve-se notar que [ ] [ ][ ] [ ] [ ]ts\\N2Nx2 jecom ∆=∧∧ϕ=ϕ) . Por outro lado, existe uma matriz quadrada [S] que relaciona h ) e h, da seguinte maneira: [ ] [ ] [ ]hSh =) (192) Esta matriz [S], que é uma matriz de transmissão, é característica do sistema estrutural, como se verá a seguir, e pode ser calculada por: [ ] [ ] [ ]+= hhS ) (193) onde a matriz [h]+ é a pseudo-inversa de [h]. Substituindo as Eq.’ s (188) e (191) na Eq. (192), chega-se a: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ϕ=ϕ∧ϕ=∧ϕ SouS cc )) (194) e como { } [ ]{ }ϕ=ϕϕ=ϕ ∆ See tsijij j )) , podemos escrever o seguinte problema padrão de autovalor: [ ]{ } { } ts jeS ∆ϕ=ϕ (195) Visto que [S] é de ordem q, existirão q autovalores e q autovetores. Entretanto, se q > 2N existirão modos computacionais. Determinados os autovalores tsje ∆ é fácil calcular as freqüências naturais e os fatores de amortecimento modais. Por outro lado, se os cálculos forem repetidos para mudanças diferentes de intervalo de tempo, é possível distinguir os modos genuínos dos modos computacionais, com base na relação { } { } tsjj je ∆ϕ=ϕ ) , bastando para isso que se compare os valores de { }jϕ ) para um intervalo de tempo com o valor calculado para o intervalo seguinte. Um modo genuíno fornecerá valores semelhantes enquanto que um modo computacional tenderá a apresentar valores distintos. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]IVVVVUUUU HHHH ==== (A.6) e [ ] [ ] [ ] [ ] 1H1H VVeUU −− == (A.7) Os valores singulares são a raiz quadrada dos autovalores da matriz [A]T[A], se [A] é real, e de [A]H[A], se [A] é complexa. Porque [A]T[A] é simétrica e [A]H[A] é Hermitiana, seus autovalores são sempre reais e, portanto, ambas as Eq. (A.1) e (A.5) fornecem valores singulares reais. A.3 – APLICAÇÕES DE SVD A.3.1 – Determinação do Escalão de uma Matriz O conceito de escalão de uma matriz está diretamente relacionado com a dependência linear de suas linhas (ou colunas). Por exemplo, uma matriz de ordem N x N cujas as linhas são linearmente independentes terá um escalão igual a N. Entretanto, se uma das linhas e linearmente dependente das demais o seu escalão será N – 1. Em outras palavras, o escalão de uma matriz é igual ao número de linhas linearmente independentes que possui. Uma matriz de ordem M x N, com M > N, é dita ter escalão completo (full rank) se seu escalão é igual a N, ou escalão deficiente (rank-deficient) se seu escalão é menor do que N. Quando uma matriz quadrada tem escalão deficiente ela é singular, isto é, seu determinante é nulo. O escalão de uma matriz é facilmente determinado através da técnica SVD, uma vez que o escalão da matriz é o número de valores singulares não nulos obtidos na decomposição da matriz. Para uma matriz de ordem 3 x 3, com uma linha linearmente dependente, σ3 seria igual a zero e somente os valores de σ1 e σ2 não serão nulos. A.3.2 – Determinação do Número de Condição Uma outra aplicação simples de SVD é o cálculo do número de condição de uma matriz. Este número pode ser determinado pela relação σmax / σmin, onde σmin é o menor valor singular não nulo. Este cálculo pode servir como um indicador de problemas potenciais, como a informação do mau condicionamento de uma matriz, que se caracteriza por um alto valor da relação. A.3.3 – Solução de Sistemas de Equação A SVD pode ser muito útil para resolver sistemas de equações sobredeterminados, da forma: [ ] { } { } 1Mx1NxMxN bXA = (A.8) onde M > N. Aplicando a SVD sobre [A], obtemos: [ ] [ ] [ ] { } { } 1Mx1NxTNxNMxNMxM bXVU =∑ (A.9) Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. ou [ ] [ ] { } [ ] { } 1MxTMxM1NxTNxNMxN bUXV =∑ (A.10) ou, ainda, [ ] { } { } 1Mx1NxMxN dZ =∑ (A.11) com { } [ ] { }XVZ T= (A.12) { } [ ] { }bUd T= (A.13) A Eq. (A.11) representa um conjunto de M equações desacopladas, com N incógnitas. Desta equação podemos escrever: 0eNjparadZ jjjj ≠σ≤=σ (A.14a) 0eNjparadZ.0 jjj =σ≤= (A.14b) Njparad0 j >= (A.14c) As equações (A.14b) e (A.14c) serão consistente somente se dj = 0 para σj = 0 ou j > N. A existência de um vetor {b} para o qual [A] {X} = {b} tenha uma solução {X} implica em dj ter que ser zero para σj = 0, se j ≤ N ou para J > N. Se esta condição não acontece, a Eq. (A.8) não tem uma solução exata. Neste caso, Zj não pode ser determinado da Eq. (A.14b), entretanto, uma solução aproximada pode ser obtida fazendo Zj = 0 sempre que σj = 0. Isto corresponde à solução mais próxima em um sentido de mínimos quadrados (minimização de [ ]{ } { } 2bXA − ). Após o cálculo de {Z}, o vetor {X} pode ser determinado da Eq. (A.12) fazendo: { } [ ]{ }ZVX = (A.15) A.3.4 – Determinação da Pseudo-Inversa A matriz [A]+, de ordem N x M, é denominada de pseudo-inversa da matriz [A] se as seguintes condições são satisfeitas: 1. [A] [A]+ [A] = [A] 2. [A]+ [A] [A]+ = [A]+ (A.16) 3. [A] [A]+ é simétrica 4. [A]+ [A] é simétrica Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. A matriz [A]+ sempre existe e é única. Se [A] é quadrada e não singular, então [A]+ = [A]-1 e se [A] é retangular de escalão completo, então [A]+ = ([A]T [A])-1 [A]T. No último caso se [A] é complexa, então [A]+ = ([A]H [A])-1 [A]H. Entretanto, se [A] não tem escalão completo a melhor forma de calcular a pseudo-inversa é através da SVD. A pseudo-inversa está relacionada ao problema de mínimos quadrados, tal como o valor de {X} que minimiza [ ]{ } { } 2bXA − e que pode ser dado por {X} = [A]+ {b}. Considerando a Eq. (A.1) e calculando a pseudo-inversa, obtemos: [ ] [ ]( ) [ ] [ ]++++ ∑= MxMNxMTNxNNxM UVA (A.17) Como as matrizes [U] e [V] são ortogonais e de escalão completo, a pseudo- inversa coincide com a matriz inversa clássica e, portanto, podemos escrever: [ ] [ ] [ ] [ ]TMxMNxMNxNNxM UVA ++ ∑= (A.18) A matriz [∑]+ é uma matriz diagonal real de ordem N x M, constituída pelos valores inversos dos valores singulares σj não nulos. Cada elemento da matriz [A]+ pode ser mais eficientemente calculado por: ∑ ≠σ + σ = 0 k jkik ij k uv a (A.19) onde vjk e ujk são os elementos correspondentes de [V] e [U]T. A soma exclui os valores de σj que são nulos. Em termos práticos, somente são considerados os valores singulares que são maiores do que um valor crítico τ, ou seja: ∑ τ>σ + σ = k k jkik ij uv a (A.20) Esta condição prática de aceitação dos valores singulares σk implica em não atendimento da primeira condição da Eq. (A.16) e, neste caso, esta condição deve ser trocada por esta outra: [ ][ ] [ ] [ ] τ<−+ AAAA (A.21) Por outro lado, todas as demais condições impostas pela Eq. (A.16) continuam válidas. Entretanto, o fato do não atendimento de uma condição expressa pela Eq. (A.16) leva a constatação de que a pseudo-inversa passa a não ser única, mas entre as respostas possíveis, a condição expressa pela Eq. (A.21) é a que fornece o mínimo erro para o problema de mínimos quadrados. Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. Cn é definido para valores de n (freqüência) negativo e positivo e a relação entre Cn e as quantidades reais an e bn é dada pela seguinte equação: 2n 2 nnn baCC +== − (AII-7) Se x(t) não é uma função periódica mas um único impulso, é possível ainda utilizar o teorema de Fourier, embora em uma versão um pouco modificada. Substituindo a Eq. (AII-6) na Eq. (AII-5), obtemos: ∑ ∫ ∞ −∞= π − τπ−      ττ= n T/nt2i2/T 2/T T/n2i ede)(x T 1 )t(x (AII-8) Pode ser assumido que neste caso o impulso será repetido após um período infinito. Como ffnTnedffT1,T →∆=→∆=∞→ que é uma variável contínua. Conseqüentemente, a soma na Eq. (AII-8) transforma-se em uma integral: dfede)(x)t(x f t2if2i∫ ∫ ∞ ∞− π∞ ∞− τπ−      ττ= (AII-9) ou ∫ ∞ ∞− π= dfe).f(X)t(x f t2i (AII-10) onde ∫ ∞ ∞− π−= dte).t(x)f(X f t2i (AII-11) As equações (AII-10) e (AII-11) constituem o par de integrais de Fourier bem conhecido, definido na forma complexa de -∞ a +∞. Estas integrais são muito importantes porque elas permitem um sinal no domínio do tempo ser transformado para o domínio da freqüência e vice-versa. Até aqui discutimos apenas os sinais periódicos e um impulso único. Freqüentemente, nos testes modais, outros tipos de sinais podem ser encontrados. Os vários tipos de sinais podem ser categorizados como: (a) Harmônico, por exemplo, forças e sinais de resposta de uma estrutura excitada por uma força senoidal; (b) Periódico, por exemplo, vibração de uma máquina rotativa em velocidade constante; (c) Transiente, por exemplo, a resposta de uma estrutura excitada por uma força impulsiva; (d) Aleatório, por exemplo, a resposta de uma estrutura sob excitação de ruído branco. As categorias (a) e (b) são sinais periódicos. Conseqüentemente, uma análise de Fourier pode ser realizada, uma vez que o período T do sinal está bem definido. A categoria (c) é o resultado de um sinal impulso e pode ser analisado usando a integral de Fourier. Além disso, se o sinal transiente tende a se anular para um tempo maior do que o tempo de gravação (comprimento do registro de gravação) do sinal, ele pode ser convertido para um sinal periódico considerando que ele se repete para o tempo de gravação, duas vezes o tempo de gravação, três vezes o tempo de gravação, etc. Na Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. prática, para a categoria (d), somente é possível analisar um comprimento de gravação finito do sinal aleatório. Contanto que as propriedades estatísticas não variem durante a gravação dos dados ou entre gravações dos dados, isto é o sinal é estacionário e ergódico, o sinal é assumido ser periódico, sendo o período T igual ao comprimento de gravação dos dados, e a análise de Fourier é realizada. Contudo, como será visto mais tarde, é necessário algum tratamento adicional e cuidadoso, incluindo algum cálculo de média, o qual é sempre requerido. A série de Fourier dada pela Eq. (AII-1) ou Eq. (AII-5) mostra que x(t) é representado por uma série de harmônicos, de freqüências 1/T, 2/T, 3/T, ... Por isso, o espaçamento das componentes de freqüência, ou a resolução obtida, é de 1/T Hz. Isso não é problema se o sinal que está sendo analisado é verdadeiramente periódico no tempo T, uma vez que nenhuma componente do sinal pode estar entre as freqüências calculadas na análise de Fourier. Porém, é freqüentemente necessário analisar sinais que não são verdadeiramente periódicos no tempo T como, por exemplo, a vibração de uma máquina rotativa que tem um número não inteiro de revoluções durante o período de medição, ou a vibração de uma estrutura sob cargas ambientais aleatórias. O problema pode ser ilustrado comparando-se a série de Fourier de uma onda senoidal que tem um número n de períodos no tempo T e uma onda senoidal que tem (2n+1)/2 dentro do comprimento de gravação como mostrado na Fig. AII.1 (a) e (b). Como pode ser visto na Fig. AII.1 (b), que mostra a onda de período não inteiro, se o sinal dentro do tempo de gravação T é repetido além daquele período, ocorrerá uma descontinuidade. Os espectros resultantes são mostrados nas figuras AII.2 (a) e (b). A Fig. AII.2 (a) mostra a freqüência da primeira onda senoidal que foi corretamente gravada enquanto a Fig. AII.2 (b) mostra o espectro da segunda onda senoidal que apresenta banda relativamente larga e dois picos na vizinhança da freqüência correta. Além disso, no segundo caso, a presença de outras componentes senoidais pode causar o mascaramento da onda senoidal original pelos lóbulos laterais daquelas componentes. Isto tem implicações importantes para testes modais onde alguns modos podem ser menos fortemente excitados do que outros modos próximos em algumas posições particulares de medição, tais como pontos nodais. Figura AII.1 (a) Seno com n períodos. Figura AII.1 (b) Seno com (2n+1/2) períodos. O fenômeno do desdobramento das componentes do espectro verdadeiro em outras freqüências é denominado de “leakage” (vazamento). Tendo por base a Fig. AII.2 (a), a interpretação é que a energia associada com a linha espectral em fo migrou, ou vazou, para as freqüências vizinhas, como na Fig. AII.2 (b). Assim, a análise de uma gravação de tempo finito pode causar vazamento no espectro verdadeiro. Para corrigir, ou pelo menos minimizar, este problema, o sinal no domínio do tempo é geralmente multiplicado por uma função, conhecida como função janela ou simplesmente janela. O Grupo de Vibrações e Acústica – UFPA Análise Modal Experimental UFPA – DEM - Prof. Newton Sure Soeiro, Dr. Eng. objetivo é obter um decaimento suave do sinal para o valor nulo nos limites do período de tempo de gravação, tal que o sinal resultante se aproxime mais de um sinal de período exato. Da Fig. AII.1(b) para a Fig. AII.2(b), nenhuma janela foi aplicada ou, o que é equivalente, uma janela retangular foi usada. Figura AII.2 (a) Espectro de Potência obtido Figura AII.2 (b) Espectro de Potência obtido quando foT é inteiro. quando foT não é inteiro. A forma exata do espectro vazado depende da freqüência e da relação de fase entre x(t) e a função janela. De modo a minimizar o vazamento, um número significativo de janelas tem sido proposto. A tabela AII-1 resume algumas das mais importantes janelas normalmente incorporadas em analisadores FFT. Tabela AII-1 – Funções Janelas e suas Formas.