Baixe calculo1 listas - lista1-extra - pr?-c?lculo e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! - Cálculo 1: Lista de exerćıcios extra 1 - 1. Resolver as inequações: (a) x(x− 1) > 0 {x ∈ R/x < 0 ou x > 1}; (b) (x− 1)(x + 2) < 0 {x ∈ R/− 2 < x < 1}; (c) x2 − 2 ≥ x {x ∈ R/x ≤ −1 ou x ≥ 2}; (d) x2(x− 1) ≥ 0 {x ∈ R/x = 0 ou x ≥ 1}; (e) x2 + 2x + 4 > 0 R; (f) x4 < x2 {x ∈ R/− 1 < x < 1 e x 6= 0}; (g) x3 + 1 < x2 + x {x ∈ R/x < −1}. 2. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes são números reais: (a) √ 4− x2 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 2}; (b) √ x2 − 9 {x ∈ R/x ≤ −3 ou x ≥ 3}; (c) 1√ 4−3x {x ∈ R/x < 4/3}; (d) 1√ x2−x−12 {x ∈ R/x < −3 ou x > 4}. 3. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes é positiva: (a) x x2+4 R∗+; (b) x x2−4 {x ∈ R/− 2 < x < 0 ou x > 2}; (c) x+1 x−3 {x ∈ R/x < −1 ou x > 3}; (d) x 2−1 x2−3x {x ∈ R/x < −1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}. 4. Determine os valores de x que satisfazem: (a) |x| = 5 x = ±5; (b) |x + 4| = 3 x = −1 ou x = −7; (c) |x− 2| = 4 x = −2 ou x = 6; (d) |x + 1| = |x− 2| x = 1/2; (e) |x + 1| = |2x− 2| x = 3 ou x = 1/3; (f) |x− 3| ≤ 5 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 8}. (g) |x + 4| ≥ 1 {x ∈ R/x > −3 ou x < −5}. 1 5. Usando valor absoluto, escreva expressões para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distância a 1 é menor do que ou igual a 4 |x− 1| ≤ 4; (b) o conjunto dos pontos cuja distância a -5 é menor do que 2 |x + 5| < 2; (c) o conjunto dos pontos cuja distância a 6 é maior do que 3 |x− 6| > 3. 6. Mostre que os dois conjuntos abaixo são iguais e os escreva na forma de intervalos: A = {x : x < 4} e B = {x : |x− 2| < |x− 6|}. B = {x : x2 − 4x + 4 < x2 − 12x + 36} = {x : 8x < 32} = {x : x < 4} = A A = B = (−∞, 4) 7. Encontre o domı́nio das seguintes funções: (a) 1 x2+4 R; (b) √ (x− 1)(x + 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1}; (c) √ 3− 2x− x2 {x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 1}; (d) √ 3x−4 x+2 {x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 4/3}. 8. Se f(x) = 4x− 3, mostre que f(2x) = 2f(x) + 3. 9. Quais os domı́nios de f(x) = 1 x−8 e g(x) = x 3? Determine o domı́nio de h(x) = f(g(x)). D(f) = R− {8}, D(g) = R e D(h) = R− {2} 10. Se f(x) = 1− x, mostre que f(f(x)) = x. 11. Se f(x) = ax+b x−a , mostre que f(f(x)) = x. 12. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(1 − x) = f(1). Verifique também que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), para todos x1, x2 ∈ R. 13. Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R→ R, f(x) = 3x + 5 bijetora; (b) g : R→ R, g(x) = x2 − 9 nenhuma delas; (c) h : A → A, h(x) = x2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4} injetora; (d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 5 3 x2 injetora. 14. Determine se as seguintes funções são pares, ı́mpares ou nenhuma delas: (a) f(x) = 2x5 + 3x2 nenhuma delas; (b) g(x) = 3− x2 + 2x4 par; (c) h(x) = 1− x nenhuma delas; (d) ϕ(x) = x + x3 ı́mpar. 2
