calculo1 listas - lista1 - ga com c?lculo, Exercícios de Engenharia Mecânica

Baixe calculo1 listas - lista1 - ga com c?lculo e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 1. Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 2. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais. 3. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação x y 1= . Translação de gráficos. 4. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 2 ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 5 20. Encontre o domínio de cada função a seguir: a) 26 )3(ln)( xx xxf − − = b) ttth −+= 4)( . 21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm. 22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm2. 23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x. 24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r. 25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo do ponto . (4 , 3)P = 26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y (5 , 5)− e . (1 ,1) 27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a circunferência de equação . 2 2 4x y+ = 28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices , (6 , 7)A = − (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1. Respostas: 20) a) b) .63 << x .40 << t 21) ( )llA −= 10 para 0 < l< 10. 22) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += l lP 162 para . 23) ∞<< l0 ( )( )xxxV −−= 6104 para 0 < x < 6. 24) 2rl = . 25) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 3, 5 4 26) ( )4,0 − 27) 6 13 12 5 += xy e . 2=x 28) Sim; C. 29) 2 41 . 30) a) 3 13 3 4 +−= xy b) 4 4 3 += xy c) 83 −= xy 6 D C A B 31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( e os lados e estão contidos, respectivamente, nas retas de equações ABCD 6 ,10) AB AD 14 2 xy = + e . Determine as coordenadas dos pontos , 4 2−y x= A B e . D 32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e . Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação . (0 , 6)B = C 4y x= − 33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto. a ) Escreva R como função de P. b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45 unidades. 34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log 7 724 log (8+ ) 2 2ax bx c x x x+ + + − += ⋅35. Suponha que a equação 8 4 seja válida para todo número real 2 3 5 5 8 x , em que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c 36. Sabendo que xx 2sen1calcule, 2 −π<< π . 37. Resolva as equações: (a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 . 38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que , 10AB cm= 3BC c= m e . o75ˆ =CBA Respostas: 31) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= 7 114, 7 32A , ( )16,8=B , ( )10,6=C , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= 7 22, 7 18D 32) ( 13,17 ) 33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 3 5 =a , 3 5 =b e 6=c . 36) .cos x− 37) a ) não tem solução real. b ) . 5ln 2 133ln ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =x 38) ( ) 2cm13 4 215 . + 7 39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a 0t ≥ 0( ) ktM t M e−= , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. k a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão: k mt ln 2 m k t = . b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? c) Uma amostra de tório reduz-se a 4 3 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório? 40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: , sendo ( )T t ( ) ktT t A Ce−− = A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=t k a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus. Respostas: 39) b) 3,310log 2ln 10ln 2 ≈= anos. c ) 5,956.80 3 4ln 2ln600.33 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × anos. 40) a) .min6,15 2ln 4 35ln5 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b) 24,2 1,14 8,14ln 8,14 5,16ln ≈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ horas antes das 23:30 h, ou seja, aproximadamente às 21:15 h.