calculo1 listas - lista2-extra - limite, Exercícios de Engenharia Mecânica

Baixe calculo1 listas - lista2-extra - limite e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! - Cálculo 1 - Limites - 1. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→1 (x3 − 3); (h) lim x→ 32 √ 8t3 − 27 4t2 − 9 ; (b) lim x→2 √ x4 − 8; (i) lim x→3 2x3 − 5x2 − 2x− 3 4x3 − 13x2 + 4x− 3 ; (c) lim x→2 √ x3 + 2x+ 3 x2 + 5 ; (j) lim y→−3 √ y2 − 9 2y2 + 7y + 3 ; (d) lim x→−3 x2 − 9 x+ 3 ; (k) lim h→5 h√ 5 + h− √ 5 ; (e) lim x→ 13 3x2 − x 3x− 1 ; (l) lim h→0 √ 3 + 3h− √ 3 h ; (f) lim x→3 x3 − 27 x− 3 ; (m) lim x→2 x4 − 16 x− 2 ; (g) lim x→0 √ x+ 3− √ 3 x ; (n) lim x→1 x− 1 x2 − 1 . 2. Faça o esboço do gráfico de f(x) =  |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 e observe no gráfico o valor de limx→4 f(x). Há alguma diferença entre lim x→4 f(x) e f(4)? 3. Seja f a função definida por f(x) = { 2x− 1 se x ̸= 2 1 se x = 2 (a) Encontre lim x→2 f(x) e verifique que lim x→2 f(x) ̸= f(2). (b) Faça um esboço do gráfico de f . 4. Seja f a função definida por f(x) = { x2 − 9 se x ̸= −3 4 se x = −3 (a) Encontre lim x→−3 f(x) e verifique que lim x→−3 f(x) ̸= f(3) (b) Faça um esboço do gráfico de f . 5. Determine o valor de lim h→0 f(x+ h)− f(x) h quando a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3. 6. Nos ı́tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dê seu valor. (a) f(x) = |x|x , lim x→0+ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0 f(x). (b) f(x) =  2 se x < 1−1 se x = 1−3 se x > 1 ; limx→1+ f(x), limx→1− f(x), limx→1 f(x) (c) f(r) =  2r + 3 se r < 12 se r = 1 7− 2r se r > 1 ; lim r→1+ f(r), lim r→1− f(r), lim r→1 f(r) (d) g(x) =  2 + x 2 se x < −2 0 se x = −2 11− x2 se x > −2 ; lim x→−2+ f(x), lim x→−2− f(x), lim x→−2 f(x) 7. Dada f(x) = |x|+xx . Existe limx→0 f(x)? 8. Dada f(x) = |x 2+x| x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores: a) lim x→−1 f(x) b) lim x→0 f(x). - Gabarito - 1. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→1 (x3 − 3) = −2; (h) lim x→ 32 √ 8t3 − 27 4t2 − 9 = √ 9 2 ; (b) lim x→2 √ x4 − 8 = 2 √ 2; (i) lim x→3 2x3 − 5x2 − 2x− 3 4x3 − 13x2 + 4x− 3 = 11 17 ; (c) lim x→2 √ x3 + 2x+ 3 x2 + 5 = √ 5 3 ; (j) lim y→−3 √ y2 − 9 2y2 + 7y + 3 = √ 6 5 ; (d) lim x→−3 x2 − 9 x+ 3 = −6; (k) lim h→5 h√ 5 + h− √ 5 = √ 10 + √ 5; (e) lim x→ 13 3x2 − x 3x− 1 = 1 3 ; (l) lim h→0 √ 3 + 3h− √ 3 h = √ 3 2 ; (f) lim x→3 x3 − 27 x− 3 = 27; (m) lim x→2 x4 − 16 x− 2 = 32; (g) lim x→0 √ x+ 3− √ 3 x = √ 3 6 ; (n) lim x→1 x− 1 x2 − 1 = 1 2 . 2. f(x) =  |x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4 limx→4 f(x) = 4 ̸= f(4) = 6 3. f(x) = { 2x− 1 se x ̸= 2 1 se x = 2 lim x→2 f(x) = 3 ̸= f(2) = 1. 4. f(x) = { x2 − 9 se x ̸= −3 4 se x = −3 limx→−3 f(x) = 0 ̸= f(−3) = 4. (a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4 5. a) 1 b) 2x c) 3x2. 6. (a) lim x→0+ f(x) = 1, lim x→0− f(x) = −1, @ lim x→0 f(x). (b) lim x→1+ f(x) = −3, lim x→1− f(x) = 2, @ lim x→1 f(x) (c) lim r→1+ f(r) = lim r→1− f(r) = 5, lim r→1 f(r) = 5 (d) lim x→−2+ f(x) = 5, lim x→−2− f(x) = 6, @ lim x→−2 f(x) 7. @ lim x→0 f(x), pois lim x→0+ f(x) = 2 e lim x→0− f(x) = 0. 8. a) lim x→−1 f(x) = 0 b) lim x→0+ f(x) = 1, lim x→0− f(x) = −1, @ lim x→0 f(x). - Cálculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2 1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h) √ 3 6 i) 0 j)− 1 25 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞ o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 12 v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1 α)− 1 β) −∞ γ) 7 δ) 313 ϵ) b |a|+a ε) 1 4 ζ) 7 η) − √ 2 θ) − 125 ϑ) 0 − 2. (a) Não, pois lim x→1− f(x) = 4 e lim x→1+ f(x) = 2. (b) f(x)g(x) = { x4 + 3x2 se x ≤ 1 2x+ 2 se x > 1. lim x→1 ( f(x).g(x) ) = 4 3. a) b) lim x→0− f(x) = 2 lim x→0+ f(x) = 0 @ lim x→0 f(x) lim x→2− f(x) = 4 lim x→2+ f(x) = 1 @ lim x→2 f(x). 4. a) cosx b) −senx c) f(x) = − 1x2 . 5. a) 2/5 b) 0. 6. lim x→0 xsen(x) 2− 2cos(x) = 1. 7. −Mg(x) ≤ f(x).g(x) ≤ Mg(x) ⇒ lim x→0 −Mg(x) ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ lim x→0 Mg(x) ⇒ −M lim x→0 g(x) ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ M lim x→0 g(x) ⇒ 0 ≤ lim x→0 f(x).g(x) ≤ 0 ⇒ lim x→0 f(x).g(x) = 0. 8. |senx| ≤ 1 e lim x→+∞ 1 x = 0 ⇒ lim x→+∞ senx x = 0 . 9. (a) Asśıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Asśıntota horizontal: y = 0; (b) Asśıntota vertical: x = 1, Asśıntota horizontal: y = 0; (c) Asśıntota vertical: x = −2, Asśıntota horizontal: y = 1; (d) Asśıntota vertical: x = 0; (e) Asśıntota vertical: x = 1; (f) Asśıntota vertical: x = 0. 10. lim x→+∞ ax = { +∞, se a > 1 0, se 0 < a < 1 e lim x→−∞ ax = { 0, se a > 1 +∞, se 0 < a < 1 11. (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞ 12. f não é cont́ınua em x = 1, pois lim x→1+ f(x) = 2 e lim x→1− f(x) = 0, logo @ lim x→1 f(x). Em x = −1, x = 2 e x = −3 ela é cont́ınua, já que lim x→−1 f(x) = f(−1) = 0, lim x→2 f(2) = 2, lim x→−3 f(x) = f(−3) = 2. 13. Sim, pois lim x→4 f(x) = f(4) = 11. 14. Não, pois @ lim x→1 f(x). 15. (a) Cont́ınua em R; (b) Descont́ınua em x = ±2, pois @f(2) e f(−2); (c) Descont́ınua em x = 0 e x = ±1, pois @f(0), f(−1) e f(1); (d) Cont́ınua em R. 16. (a) Cont́ınua em x = −1; (b) Cont́ınua em x = −2 e descont́ınua em x = 1 pois @f(1); (c) Cont́ınua em x = 3. 17. (a) 5 (b) 4/3 18. k = 4 e m = 5/3. 19. f(x) = { 0 se x < 0 1 se x ≥ 0. e g(x) = { 1 se x ≤ 0 0 se x > 0. 20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função. 21. f(x) = x3 −x2 − 2x+1 = 0 ⇒ f(1) = −1 e f(−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe x0 ∈ [−1, 1] tal que f(x0) = 0. 22. Se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) têm sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c ∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0. 23. À medida que v aumenta L diminui. lim v→c− L = 0. O limite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida para v > c.