Baixe calculo1 listas - lista3-extra - taxas relacionadas e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! - Cálculo 1: Lista de exerćıcios - Taxas Relacionadas 1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de 2 m3/min. Quão rápido se elevará o ńıvel de água quando a água estiver com 5 m de profundidade? R: 32/(25π)m/min 2. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o ńıvel de água está elevando quando a água está a 3 m de profundidade. R: 8/(9π)m/min 3. Uma escada de 3 m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baixo quando a base está a 1 m da parede? R: −√2/4m/s 4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 m do ponto mais próximo da luz? R: 2/65rad/s 5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 600 m3, a pressão é 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante? R: −80m3/min 6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V estão relacionados pela equação PV 1,4 = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 400 cm3, a pressão é 80 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante? R: −35, 7cm3/min 7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um ćırculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taxa de 0,05 cm por dia quando ele é 1 cm, qual a taxa de decréscimo da área da queimadura nesse instante? R: −π/10cm2/dia 8. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caixa de um determinado remédio, x o número de milhares de caixas desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taxa de 250 caixas do remédio por dia, em que taxa os preços estão variando quando a oferta diária é de 5000 caixas? R: −0, 05reais/dia 9. O carro A está indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B está indo para norte a 60 Km/h. Ambos estão dirigindo para a interseção de duas ruas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 Km e o carro B está a 0,4 Km da interseção? R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h. 10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia à razão de 6 cm/s. Determine a taxa de variação da área do quadrado no instante em o lado meça 10 cm. R: 120cm2/s 11. O raio de uma bola cresce à razão 3 cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante em que o raio é 8 cm. R: 768πcm3/s 12. Uma escada de 5 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta da parede a uma razão de 0,8 m/s. Quão rapidamente está descendo a extremidade superior da escada no instante em que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede? R: -0,6 m/s 13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais próximo do farol? R: 3/13 rad/s 14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? R: 65m/s 15. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm? R: 15cm2/s 1
