Baixe calculo1 listas - lista5 - otimiza??o e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! - Cálculo 1: Lista de exerćıcios - Otimização 1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que está mais próximo da origem. R: (-28/17,7/17) 2. Se r(x) é a receita proveniente da venda de x ı́tens, c(x) é o custo da produção de x ı́tens e p(x) = r(x)−c(x) é o lucro sobre a venda de x ı́tens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse ńıvel de produção (x ı́tens) são dados, respectivamente por drdx , dc dx , dp dx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x 3 − 6x2 + 15x, em que x representa milhares de unidades. Há um ńıvel de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é? Há um ńıvel de produção que minimize o custo? R: Sim: x = 2 + √ 2 mil unidades ou x = 2− √ 2 mil unidades. Não. 3. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais senśıvel determinando o valor de M ̸= 0 que maximiza a derivada dR/dM , sendo R = M2 ( C 2 − M 3 ) e C uma constante. R: M = C/2 4. Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próximo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela equação v = c(r0 − r)r2cm/s, r0 2 ≤ r ≤ r0, em que r0 é o raio, em cent́ımetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Demonstre que v é a maior quando r = 2/3r0, ou seja, quando a traquéia está cerca de 33% contráıda. 5. Quando o estanho metálico é mantido abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradiço e acaba por se esfarelar, tornando-se um pó cinza. Um catalisador para uma reação qúımica é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação autocataĺıtica é aquela em que o produto é o catalisador de sua própria formação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação v = dx/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser expressa por v = kx(a− x) = kax− kx2, sendo x a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no ińıcio e k é uma constante positiva. Com que valor de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual o valor máximo de v? R: x = a/2 e v = ka2/4 6. Um observatório será constrúıdo na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo? R: r0 = [3V/(8π)] 1/3 e h = 4[V/(9π)]1/3 − 1/3[3V/π]1/3. 7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela expressão h(t) = 4t − 5t2, sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máxima do solo? R: 0,4 segundos. 8. O produto de dois números positivos é 200. Determine esses números sabendo que a soma deles tem o menor valor posśıvel. R: 10 √ 2 e 10 √ 2. 9. Determine dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja máximo. R: 45/2 e 45/2. 1
