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MF-1 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas ■ Um modelo de filas representa um sistema ao qual os utentes chegam para receberem um determinado serviço. ■ Quando todos os servidores do sistema estiverem ocupados, os novos utentes que cheguem ao sistema terão de esperar pelo atendimento, numa fila. ■ Um típico modelo de filas é constituído pelos seguintes elementos: ◆ Utentes ◆ Servidores ◆ Redes de filas ServidorServidor ServidorServidor ServidorServidor UtenteUtente UtenteUtente UtenteUtente MF-2 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Características População ◆ A população poderá ser finita ou infinita ◆ Em sistemas com populações grandes, normalmente assume-se população infinita ◆ A diferença entre o tipo de população reside no ritmo de chegadas: População infinita: O ritmo de chegadas de utentes ao sistema não é afectado pelo número de utentes no sistema População finita: O ritmo de chegadas será inversamente proporcional ao número de utentes no sistema. Capacidade do sistema ◆ Número máximo de utentes permitido no sistema. Por exemplo, uma cabine telefónica. A capacidade do sistema, neste caso, é 1. MF-5 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Notação A notação mais utilizada universalmente para modelos de filas é: A / B / c / K / m / d em que: A representa o processo de chegadas. B representa o processo de atendimento c representa o número de servidores K denota a capacidade do sistema m representa a população d denota a disciplina da fila A e B denotam-se principalmente como: M para distribuições exponenciais D para valores determinísticos G para caracterizar distribuições em geral A e B denotam-se principalmente como: M para distribuições exponenciais D para valores determinísticos G para caracterizar distribuições em geral Quando K, ou m, é omitido, significa que toma o valor de infinito. Quando d é omitido significa que a disciplina é do tipo FIFO. O caso mais normal, denotamos assim: A / B / c MF-6 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Lei de Little O mais importante resultado da teoria das filas de espera é conhecido como a Lei de Little, que diz: Esta condição só se verifica se: ◆ O sistema de filas estiver estável, ou seja, o número de utentes no sistema não cresce significativamente ◆ Não são “criados” ou “removidos” utentes pelo sistema, ou seja, apenas são servidos os utentes que entram no sistema. A performance de um sistema composto por filas é quantificada por: ➣ Número médio de utentes no sistema ( L ) e na fila ( LQ) ➣ Tempo médio de permanência no sistema ( W ) e na fila ( WQ ) Sendo assim, podemos escrever a Lei de Little como: Número médio de utentes no sistema = Ritmo de Chegada X Tempo médio de espera no sistema WL O= MF-7 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Expressões úteis Para além das medidas de performance de sistemas de filas de espera vistas anteriormente, na análise destes sistemas, iremos utilizar a seguinte notação: c A A S = = = ρ µ λ µ 1 S ¾ Tempo médio de atendimento, ou serviço A ¾ Intensidade de Tráfego c ¾ Número de servidores O ¾ Ritmo médio de chegadas P ¾ Ritmo médio de atendimentos U ¾ Utilização média do processador Em consequência da lei de Little, e analisando os princípios dos processos de Poisson, obteremos as seguintes relações: QQ Q Q WL WL ALL SWW λ λ = = += += MF-10 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Sistemas M / G / 1 Para o caso em que não se conhece a distribuição do tempo de serviço, poderemos generalizar as expressões anteriores, a partir da conhecida fórmula de Pollaczek- Khintchine: ALL Q += )1(2 2 ρ ρ − =QLµ 1+= QWW )1(2 ρ ρ − = SWQ Assim, teremos: A partir desta expressão, poderemos retirar as restantes grandezas )1(2 222 ρλ ρσλ − += SQW Sistemas M / D / 1 Podemos particularizar para o caso de tempo de serviço constante. Neste caso, 02 =Sσ MF-11 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Sistemas M / M / 1 / N Neste caso, o sistema só suportará N utentes na fila de espera. 1 1 1 )1( 1 + + − +− − = N NN L ρ ρ ρ ρ Utilizando o mesmo principio que anteriormente, teremos: Podemos a partir daqui, com a ajuda da lei de Little retirar as restantes grandezas. 0pp k k ρ= e, tendo em atenção que o limite superior é agora N, teremos 1 1 0 1 1 1 1 + = − −= + = ∑ kN k k p ρ ρ ρ 0 1 2 N-1... λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ N assim, 11 )1( +− −= k k kp ρ ρρ A probabilidade de um utente chegar ao sistema e encontrar a fila completa será 11 )1( +− −= N N Np ρ ρρ O número médio de utentes no sistema será: MF-12 ISEL - DEEC - SST Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações Nuno Cota - 2000 Modelos de Filas Sistemas M / M / c O sistema dispõe agora de C servidores. Neste sistema a utilização média de cada servidor será dada por: Esta expressão é conhecida como sendo a fórmula de Erlang-C Tendo em atenção a figura, teremos e ficando com Se pretendermos saber a probabilidade de um utente entrar em lista de espera, teremos: C A=ρ 0 1 2 c -1 ...... λ 1−λ0 1−λ1−µ1 1−λ2−µ2 λ λ λ λ λ λ µ 2µ 3µ (c -1)µ c µ c µ c c+1 1-λ-(c -1)µ 1-λ-c µ 1-λ-c µ c µ ≥ ≤≤ = − ckpc c A ckp k A p kc k k k se ! 0 se ! 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 !! !! 1 − − = ∞ = − = − ∞ = += +−= ∑ ∑ ∑ ∑ c k k kck c k kc ck kk c A c A k A pc c A k A p 1 1 0 0 1 1 !! −− = − += ∑ cAc A k A p c k ck ( )∑ ∑ − = ∞ = −+ == 1 0 ! 1! ),( c k k c c ck k k A c AcA A pAcC Comprimento médio da fila de espera: Ac A AcCLQ − = ),(
