Exequibilidade de Estudar Equações Diofantinas Lineares por Alunos do Ensino Médio, Resumos de Geometria

Baixe Exequibilidade de Estudar Equações Diofantinas Lineares por Alunos do Ensino Médio e outras Resumos em PDF para Geometria, somente na Docsity! Guilherme Ferreira Monteiro Equações Diofantinas Lineares no Ensino Médio Porto Alegre - RS, Brasil 14 de dezembro de 2010 Guilherme Ferreira Monteiro Equações Diofantinas Lineares no Ensino Médio Trabalho de Conclusão de Curso apresen- tado para junto ao curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Orientador: Luisa Rodriguez Doering DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Porto Alegre - RS, Brasil 14 de dezembro de 2010 Abstract This work considers the idea of introducing Linear Diophantine Equations to high school students. With this in mind, we offered a five workshop at High School Tiradentes. Linear Diophantine Equations lie between arithmetic and algebra, therefore, we discuss the teaching of arithmetic and algebra in this century. We analize the relationship between its learning and teaching and propose some changes in the present High School math- teaching. We also describe two other important aspects in Math Education, Pedagogic Contract and Educational Engineering, where the second one is the theoretical reference of this work. Agradecimentos A Deus por me dar saúde física e mental. A meus pais por sempre me apoiarem nas minhas decisões. cer uma execelente formação acadêmica. A UFRGS por ofer: A todos os professores do curso de Licenciatura em Matemática e em especial a minha orientadora Luisa R. Doering com quem pude ter o prazer de conviver nos últimos dois anos e que me proporcionou uma grande evolução pessoal, a Professora Elisabete Z. Búrigo e ao Professor Francisco Egger. Aos meus colegas que me acompanharam nessa caminhada e em especial a Mariana, Julio, Everson, Fernando, Leonardo, Alessandro e Grasiela. Aos meus alunos do Colégio Tiradentes da Brigada Militar. A todos que contribuíram direta e indiretamente para a realização deste trabalho. Sumário 1 Introdução p.9 2 Reflexões sobre Aritmética e Álgebra p.ll 21 Introdução. ...ccccccl p.l1 2.2 O lugar da álgebra e da aritmética na escola e fora dela... ..... p.l1 2.3 Sobre a Aritmética ..lcccccccccc p.13 2.3.1 Tradição e novo século aritmético . ..cccccccccccc. p.13 2.3.2 Na direção de um sentido numérico . ...cccccccccco. p.14 2.3.3 Um novo currículo operativo . cc cccccccccccc p.15 2.3.4 Avaliando o aritmético ...ccccccccccc p.15 2.4 Sobrea Álgebra. ..cccccclcci p. 16 241 Educação algébrica . ..ccccccccccccc p.16 24.2 Tematizando a proposta ....ccccccccccctc p.17 3 Contrato Didático p.19 3.1 Introdução .. clic e p.19 3.2 Ruptura e Renegociação ....cccccccccccs a p.19 3.3 Efeitos do Contrato Didático... .lcccccccccl p.20 4 Engenharia Didática p.24 41 Introdução. ...ccccclc p.24 42 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação .....ccc. p.25 4.2.1 Características gerais... ccccccccc p.25 1 Introdução Este trabalho, além de outras coisas, analisa o ensino-aprendizagem de equações dio- fantinas lineares com alunos de ensino médio e tem como objetivo: i) examinar a viabilidade do estudo deste conteúdo; ii) avaliar se uma aula de matemática que adote a prática de demonstrar os teoremas utilizados, é bem aceita no ensino médio. Uma das principais justificativas da escolha deste tema encontra-se em Brollezi (1996) e está relacionada com o seguinte fato: grande parte do atual ensino de matemática dá-se através de uma ênfase na abordagem através da continuidade. Sendo assim, será feita uma abordagem que concretize uma ligação entre o discreto e o contínuo, pois a riqueza de uma filosofia de aula que adote esses dois aspectos fortalece o desenvolvimento de conceitos matemáticos, já que muitos deles provêm dessa interação. A fim de avaliarmos se o objetivo citado acima pode ou não ser atingido, foi realizado uma oficina com cinco encontros no Colégio Tiradentes da Brigada Militar com alunos pertencentes aos três anos do ensino médio. Iniciamos o trabalho com uma reflexão teórica sobre a situação da aritmética e da álgebra neste início de século feita por Lins (1997) em seu livro "Perspectivas em Arit- mética e Álgebra para o Século XXI". Tradicionalmente, a álgebra aprendida na escola é concebida como uma generalização da aritmética. Mais ainda, a aritmética é tida como concreta (e, portanto, mais fácil), e a álgebra como abstrata (e, portanto, mais difícil). Dessa forma, em nossa discussão mostraremos que essa interpretação é inadequada em alguns aspectos, e equivocada em outros. Levando em conta a álgebra e a aritmética como duas faces de uma mesma atividade, examinaremos a inter-relação da aprendizagem de uma e de outra, de modo que isso promova mudanças na educação matemática escolar. Essas reflexões propõem o "desenvolvimento de um senso numérico" em vez de "apren- dizagem aritmética" e "produção de significados para a álgebra" em vez de "aprendizagem de álgebra". 1 Introdução 10 Seguimos com uma revisão sobre contrato didático, explicitando as aproximações e distanciamentos existentes com a prática feita. O local onde foi realizado a oficina que baseou este trabalho foi o principal motivo que me levou a estudar este conceito, já que muitas características do contrato didático vigente nessa escola são explicítas e influem diretamente nas atividades escolares diárias dos alunos. Em seguida analisamos a metodologia de pesquisa da engenharia didática, metodolo- gia esta que busca unir a pesquisa e a prática. E foi este o referencial de pesquisa que baseou nossas aulas. Assim como feito no contrato didático, apontaremos os aspectos que se mostrarem presentes durante a elaboração realização da oficina realizada. Em linhas gerais, podemos separar a engenharia didática em quatro etapas: Análises prévias, concepção e análise a priori, experimentação e análise a posteriori e validação da prática feita. Apresentamos também a descrição matemática do conteúdo que foi abordado na ofi- cina realizada. Nesta parte trazemos a exposição e demonstração dos dois principais teoremas vinculados a este conteúdo, bem como a aplicação desses resultados obtidos, por meio da resolução de um exemplo completo. Ressaltamos que durante a realização das oficinas, não foram somente esses dois tópicos matemáticos estudados. Houve uma revisão de conceitos e o ensino de novos conteúdos necessários para o aprendizado de equações diofantinas lineares. Por fim, trazemos uma detalhada descrição da oficina. Nesta parte temos: 1) a des; crição do procedimento adotado nas aulas; ii) os relatórios dos encontros feitos; iii) as análises dos questionários e atividades realizadas pelos alunos. nm 2 Reflexões sobre Aritmética e Álgebra 2.1 Introdução Como havia mencionado, agora tecerei alguns comentários a respeito do livro "Pers- pectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXT" de Lins (1997), já que este livro trata de um assunto que se relaciona com meu trabalho. Em Matemática existem poucas noções tão enraizadas como a de que devemos aprender antes aritmética do que álgebra e somente este fato já seria motivo para se discutir este assunto. O autor argumenta que essa idéia não possui fundamento algum e que na realidade é prejudicial. Para fazer esta discussão, Lins analisa alguns aspectos do processo de produção de significados para a álgebra e a aritmética. Essa análise permitirá que seja identificadas a maneira com que a aritmética e a álgebra se relacionam, diferentemente das leituras usuais, do tipo "álgebra é aritmética generalizada" ou "álgebra é a estrutura da aritmética". A leitura da produção de significado para a álgebra e a aritmética que o autor faz é baseada na seguinte idéia: é preciso iniciar mais cedo o manuseio da álgebra, e de modo que esta e a aritmética se desenvolvam juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra. 2.2 O lugar da álgebra e da aritmética na escola e fora dela A aritmética e a álgebra, juntamente com a geometria, formam a base da Matemática escolar, pois esta é de fato a realidade encontrada nos livros didáticos e nas propostas curriculares. Mas o que seria a álgebra? E a aritmética? 2.3 Sobre a Aritmética 14 2.3.2 Na direção de um sentido numérico Em que direção vai o ensino-aprendizagem da aritmética? Por muito tempo tem-se valorizado o sistema de numeração como fundamento para o reconhecimento numérico. Se a isso era adicionado um trabalho sobre a estrutura algébrica das operações, supunha-se que já se apresentava totalmente em forma o conhecimento quantitativo. Pesquisas sobre os parâmetros curriculares de diversos países revelam a necessidade de desenvolver intui- ções sobre o aspecto quantitativo das situações, entendendo os números em seus muitos significados, possuindo referentes para as quantidades e as operações. Com base nos pro- jetos curriculares dos anos 90, encontraremos os cinco elementos seguintes: i) devemos relacionar os números com a realidade; ii) desenvolvimento de um sentido numérico; iii) consideração da aritmética desde suas diferentes linguagens, promovendo sentido e jus- tificações diversas relacionadas a núcleos de experiências distintos; iv) reconhecimento e uso do cálculo; e v) estímulo à análise da estrutura numérica (LINS E GIMENEZ, 1997, p.59). Mas afinal de contas, o que é sentido numérico? Os estudantes devem dispor de téc- nicas neces: rias para reconhecer o valor de quantidade, ordem, situação e operação, que se expressam por meio de números e correspondem a inúmeras situações reais. Muitos resultados vêm mostrando que os alunos não valorizam, nem a estrutura escolar curricular desenvolve, um saber intuitivo sobre os números. Atualmente, está-se desenvolvendo a concepção de sentido numérico como o conjunto de características e de rede de relações que permitem a relação de números e operações, cujo objetivo é resolver problemas flexivel- mente e mediante formas criativas, uma noção proposta por Judith Sowder, pesquisadora norte-americana. A entrada num "sentido numérico" implica diversas ações cognitivas, como: a) embora reconhecer uma operatividade de técnicas, não se trata de executar um pensamento algorítmico; b) não há sentido numérico sem um processo de auto-regulação do pensamento, incerteza nos dados e resultados que se tem; c) dá-se numa multiplicidade de caminhos e diversidade de soluções, de maneira que a produção de juízos correspondentes não pode afirmar que tal raciocínio seja melhor que o outro; d) inclui a complexidade, necessita atribuir significado e requer um esforço(LINS E GIMENEZ,1997, p.60). As características mais importantes para um bom sentido numérico são: identificar significados para os números, descobrir relações e padrões, imaginar e descrever uma quan- tidade em função de outras e intuir e estabelecer raciocínios na resolução de problemas. Há também fatores de atitude e valor como o saber situa-se no "mundo dos números", e »conh rito e com calculadora. r r o valor e limites do uso do cálculo mental, 2.3 Sobre a Aritmética 15 2.3.3 Um novo currículo operativo Prossigo indicando algumas considerações que devem fazer parte do novo currículo operativo, segundo Lins e Gimenez: a) Deve-se superar preocupações tecnicistas. Os fracos desempenhos em provas de cálculo mostram-se ainda como algo desanimador e que deixa os professores em má situa- ção. b) Eliminar a independência de campos numéricos, que ocupam normalmente lições separadas, e também promover trabalhos inter-relacionados entre o entre o aritmético e outros aspectos da matemática. c) Deve-se dedicar menos tempo ao esforço repetitivo e mecânico de processos já abordados. d) Utilizar mais o trabalho interdisciplinar que não deve ser reduzido a motivações e uso de procedimentos comuns. O cálculo e a aritmética não devem esquecer as relações com a música, as vinculações das representações e das tabelas numéricas com a descoberta de propriedades que surgem da geografia, os fenômenos físicos et; As palavras que usamos para expressar conteúdos, raciocínios e conversações aritméti- cas possuem ambíguos significados. Os símbolos também possuem diversos significados e usos distintos. As palavras são em muitas ocasiões usadas de maneiras diferentes da que o professor esperava... Mas pertencem à linguagem que expressa o aritmético e deve-se considerar que, às vezes, elas criam dificuldades. Assim, para promovermos o uso da linguagem devemos introduzir situações motivadoras que fujam das perguntas clássicas e convidem à produção: a) de histórias com questões abertas; b) de situações em que nos colocamos "no lugar do outro"; c) de encaminhamento de um diálogo com alguém que não está presente 2.3.4 Avaliando o aritmético A fim de resumir todas as idéias expostas faço comentários sobre elas considerando uma perspectiva de avaliação. Isso faz com que reconheçamos objetivos que correspondam aos princípios da chamada "nova aritmética" para iniciar o século XXI e a forma de con- duzir sua implantação. Significa também indicar uma maneira de acompanhar continua- mente o desenvolvimento dessa implantação na sala de aula, e de analisar o que ocorre com o conhecimento dos estudantes e as crenças do professor, o que se relaciona com o 2.4 Sobre a Álgebra 16 que há de formativo na avaliação. Segundo Lins e Gimenez, os principais objetivos que o ensino da aritmética propõe são os seguintes: 1) Desenvolver uma capacidade mínima interpretar o que existe de aritmético em situações reais. 2) Ter domínio sobre alguns processos gerais aritméticos que possibilitem a resolução de problema por meio de métodos diversos. 3) Dominar algumas bases conceituais importantes, reconhecendo sua aplicabilidade em situações concretas. 4) Ser capaz de formular hipóteses frente à problemas, vinculando as justificativas necessárias a diversos raciocínios. 2.4 Sobre a Algebra Há certo consenso sobre o que a álgebra trata: equações, cálculo literal, funções, por exemplo, mas mesmo aí há diferenças - gráficos são ou não da álgebra? O problema de um consenso construído dessa maneira, baseado em conteúdos, é que é possível saber que isto ou aquilo "é" álgebra, e trabalhar esses conteúdos, mas não podemos saber duas coisas fundamentais: a) se existem outros tópicos que também deveriam estar ali; e, b) fica difícil saber de que forma organizar um currículo para a educação algébrica, e até mesmo se os tópicos tradicionais são tão importantes quanto sua inclusão tradicional em currículos parece indicar. Os distanciamentos existentes nas concepções algébricas possuem raízes diferentes em diferentes conceitualizações da ação algébrica (LINS,1997, p.89). 2.4.1 Educação algébrica Lins discute aqui o fato de que propostas para a sala de aula resultam sempre de visões do que seja aquilo que queremos promover através do ensino. Uma maneira de falar isso é dizer que as propostas para a sala de aula nunca são "neutras" em relação a pressupostos de toda ordem: relativos à natureza dos objetos que ali são apresentados ou relativos a concepções do saber. O que faremos a seguir será uma discussão sobre uma abordagem para o ensino-aprendizagem da álgebra. O autor inicia a discussão pelas tendências "letristas". Alguém que acredite que a 19 3 Contrato Didático 3.1 Introdução As noções de contrato didático que apresento estão baseadas na definição dada por Guy Brousseau (SILVA, 1999) e nas contribuições fornecidas por Régine Douady. A relação professor-aluno muitas vezes funciona como cláusulas de um contrato. Essas regras, entretanto, quase nunca são explícitas, mas se revelam quando as mesmas são transgredidas. O conjunto das cláusulas, que estabelecem as bases das relações que os professores e alunos mantém com o saber, constitui o chamado contrato didático. Esta noção de contrato didático supõe a compreensão da escola como um local responsável pelo fornecimento do saber escolar, sendo assim, dá a idéia de ser uma tradição cultural. É importante notar que o contrato didático está diretamente relacionado com a estratégia de ensino que será adotada, adaptando-se a diversos contextos. A oficina que baseou meu trabalho foi realizada no Colégio Tiradentes da Brigada Militar e este foi o principal fator que me motivou a estudar esse importante conceito, pois este é um local onde os preceitos do contrato didático revelam-se em muitos momentos da rotina escolar. 3.2 Ruptura e Renegociação O contrato didático evidencia-se quando é transgredido por um dos componentes da re- lação didática. Quando isso ocorre, é preciso que haja a ruptura e renegociação do mesmo para o avanço do aprendizado. O contrato didático existe em função do aprendizado dos alunos. A cada nova etapa da construção do conhecimento o contrato é renovado e rene- gociado. Muitas vezes essa renegociação pode passar despercebida pelos parceiros da relação didática. Os discentes, em geral, encontram dificuldades em se adaptar a uma mudança de contrato. É certo que a renovação e a renegociação dependem não só do tipo de trabalho, como também do meio onde se dão as práticas pedagógicas. 3.3 Efeitos do Contrato Didático 20 3.3 Efeitos do Contrato Didático A maioria das dificuldades dos discentes em obter um bom desempenho escolar deve- se aos efeitos de um contrato didático mal-colocado ou mal-entendido. Este traz no seu bojo a marca da expectativa do docente em relação à classe de alunos ou até mesmo um aluno em particular. Isso pode estabelecer um acordo tácito entre ele e o aluno; o professor limita sua exigência à imagem que faz da capacidade do aluno e este, por sua vez, limita sua ação à imagem de si próprio que o professor lhe refletiu. Querendo que seus alunos tenham bons desempenhos, o professor tende a facilitar- lhes a tarefa de variadas maneiras como, por exemplo, ensinamento de pequenos truques, algoritmos e técnicas de memorização ou mesmo indicando-lhes pequenos passos nos pro- blemas. Muitas vezes o resultado obtido pode o contrário daquele que esperávamos. Tudo isso pode impedir que o aluno compreenda o que está se passando. Tais práticas, movidas pela sensação de que o esforço exigido dos alunos esteja sendo grande demais, po- dem propiciar uma revisão dos objetivos da aprendizagem, ocasionando um rebaixamento dos mesmos. Por causa do que se costuma ter como máxima da relação didática: "o docente deve ser amigo do aluno", sacrificam-se muitas vezes os objetivos principais do ensino. O professor passa a ensinar apenas aquelas partes do assunto em que os discentes aparentemente possuem mais facilidade de "aprender"e colocar como objetos de estudo suas próprias us meios heurísticos, em vez de ter como objeto o verdadeiro conhecimento matemático. Como o aluno obtém um bom desempenho nas provas e testes, ele acha que esse é o bom professor, pois sabe explicar bem e é amigo dos alunos. À vontade de inserir conhecimento em atividades familiares pode conduzir o professor a trocar a problemática real e específica por outra, talvez metafórica, mas que não confere sentido correto à situação. Entretanto, em instituições de ensino como o Colégio Tiradentes, o docente não faz questão de possuir um vínculo "amigável"com seu aluno, pois agindo desta maneira, ele pode pensar que sua autoridade possa vir a ser enfraquecida. Em nossa prática, adotamos a filosofia de demonstrar todos os teoremas e proposições que seriam utilizados, com o intuito mostrar a origem dos resultados obtidos. Os alunos não estavam acostumados com essa dinâmica de aula e no começo sentiram um pouco de dificuldades para acompanhar os raciocínios feitos nas demonstrações, entretanto em nenhum momento a matéria foi "facilitada", pois do contrário, estaríamos rebaixando a riqueza intelectual do conteúdo. Deve-se ressaltar que os alunos se mostraram receptivos a esse sistema de aula e estavam cientes de que o curso traria novidades que requerem estudo 3.3 Efeitos do Contrato Didático 21 e persistência. Toda a turma apresentou grande constância e empenho na superação de suas dificuldades. Outro efeito do contrato didático é o de se tomar como objeto de estudo uma téc- nica que seja útil para a resolução de um problema, perdendo-se de vista o verdadeiro saber a ser desenvolvido. Mas para que possamos buscar o conhecimento, antes de tudo precisamos fazer uma coisa muito mais primordial que é pensar. Mas o que faz com que pensemos? A resposta é o problema. Em duas obras publicadas no final da década de 1960 (Lógica do sentido e Diferença e repetição), Gilles Deleuze diz que o problema desem- penha um papel central, como aquilo que mobiliza o pensamento e o move, como aquilo que faz pensar. Uma característica essencial do problema é que ele é sempre singular e quase nunca apresenta uma fórmula predeterminada. E está exatamente aqui o motivo que faz com o problema nos coloque a pensar, justamente porque não somos capazes de compreendê-lo de antemão; ele não nos fornece uma resposta pronta, mas apresenta-se para nós como um desafio a ser enfrentado, para o qual uma resposta deve ser construída. (GALLO, 2008, p.117) Falemos agora do efeito do uso abusivo da analogia. As metáforas são quase sem- pre úteis para ajudar a compreensão, mas seu uso excessivo pode limitar o conceito em questão. Resolver um problema procurando as respostas num contexto análogo é uma boa prática heurística, mas limitar a conclusão à famosa frase: "caímos novamente no problema anterior"pode fazer com que o aluno evite abordar o problema colocado direta- mente. Encarar o ensino como a transferência ao aluno da responsabilidade do uso e da construção do saber pode dar origem a uma situação paradoxal. O professor deve ser capaz de fazer com que o aluno resolva problemas que ele lhe propõe a fim de fazer com que o mesmo caminhe com suas próprias pernas. Mas se o aluno produz sua resposta sem ter feito ele mesmo as escolhas que caracterizam o saber conveniente e que diferenciam esse saber dos conhecimentos insuficientes, sua produção não é aquela indicada para o objetivo da construção do conhecimento, uma vez que devemos nos focar naquilo que é mais importante e essencial. Isso ocorre quando o professor é levado a dizer ao aluno como resolver o problema proposto. O aluno, não tendo feito nem escolhas, nem tentativas de métodos, não dá a prova esperada da apropriação desejada. Ele apenas tem a ilusão de que cumpriu a tarefa proposta e que apreendeu o objeto que o docente pretendia lhe ensinar. O professor tem o dever de ensinar os aspectos fundamentais sobre o saber. O aluno, 24 4 Engenharia Didática 4.1 Introdução A idéia de engenharia didática surgiu no início da década de 80, com o intuito de designar uma forma de prática didática. Comparando-se com o trabalho de um engenheiro que se baseia nos seus conhecimentos específicos, submete-se a um controle de cunho cientifico, mas que também age sobre conceitos mais complexos do que os conceitos já analisados pela ciência. Essa designação buscava abordar duas questões importantes da ação didática da matemática na época. São elas: - as relações entre a investigação e ação do sistema de ensino; - o papel que convém levar - realizações didáticas - a exercer na sala de aula, no seio das metodologias da investigação didática. Chevallard em seu texto para a Segunda Escola de Verão de Didática da Matemática, que ocorreu em Orleãs em 1982, manifesta essas preocupações (CHEVELLARD apud AR- TIGUE, 1988,p.194). Aí es o problema da engenharia didática é colocar, relacionando-o com o desenvolvimento atual reve ele, nomeadamente, a respeito do primeiro aspecto: Colocar e futuro da didática da matemática, o problema da ação e dos meios da ação sobre o sistema de ensino. (p.28) No que tange à segunda questão, Chevallard argumenta sobre dois pontos: 1º) As metodologias denominadas externas - exercícios, provas -, nas quais se funda- mentam grande parte das investigações publicadas na época, por serem de fácil reconhec- imento, são insuficientes para captar a complexidade do sistema estudado e dar ênfase à essa abordagem seria um risco para a didática, devido sua juventude teórica. 2º) A prática didática na sala de aula possui outra importante função que é a de pôr à prova construções teóricas elaboradas nas investigações, pelo envolvimento dessas construções num mecanismo de produção. 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação 25 Assim trata-se finalmente - por um lado, de nos distanciarmos das relações entre investigação e ações pensadas, seja em termos de inovação, seja por intermédio da noção de investigação, para afirmar a possibilidade de uma ação racional sobre o sistema, baseando-se em conhecimentos didáticos pré-estabelecidos; - por outro lado, de marcar a importância da - realização didática - na sala de aula. como prática, por razões ligadas à situação de juventude da investigação didática e tam- bém para responder a necessidades permanentes de colocação à prova das construções teóricas feitas. 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investi gação 4.2.1 Características gerais A engenharia didática tem por característica ser um esquema experimental bascado, na concepção, na realização, na observação e na análise de sequências de ensino. D a maneira, distinguem dois níveis, o da micro-engenharia e o da macro-engenharia, de acordo com a importância da prática didática na realização didática. As investigações de micro- engenharia são as mais fáceis de começar, mas a complexidade da sala de aula, não permite compor essa complexidade com a complexidade essencial dos fenômenos ligados à duração nas relações ensino /aprendizagem. Já as investigações de macro-engenharia são, pois, apesar de todos os empecilhos metodológicos e institucionais que se apresentam incontornáveis. Outra característica é o registro no qual se situa e pelos modos de validação que lhe são associados. Com efeito, as análises que recorrem à experimentação na sala de aula estão situadas numa comparação com validação externa dos desempenhos de grupos experimentais. Este não se constitui ser o paradigma da engenharia didática, o qual se situa no lado oposto, e cuja validação é basicamente interna, fundada no confronto entre a análise a priori e a análise a posteriori. Os objetivos de uma investigação de engenharia didática podem ser muitos. Em seu comunicado ao congresso PMEI1, intitulada - A engenharia didática, um instrumento privilegiado para uma descoberta da complexidade na sala de aula - (DOUADY apud ARTIGUE, 1988,p.197), distingue R. Douady as análises que visam estudar os processos 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação 26 de aprendizagem de um dado conceito e, portanto a formação de gêneses artificiais para um dado conceito, daquela que são transversais aos conteúdos, ainda que o seu suporte seja o ensino de um domínio preciso. 4.2.2 As diferentes fases da metodologia de engenharia Existem, neste processo, quatro fases: a fase das análise prévias, a fase da concepção e da análise a priori das situações didáticas da engenharia, a fase da experimentação e, por fim, a fase da análise a posteriori e da validação. As Análises Prévias Numa investigação que se adota a engenharia didática como metodologia, a fase de concepção apoia-se num quadro teórico didático geral e em conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio estudado, mas também baseia-se num certo número de análises preliminares que são, na sua maioria: - a análise epistemológica dos conteúdos visados pelo ensino. - a análise do ensino habitual e os seus defeitos. - a análise das concepções dos alunos, das dificuldades e obstáculos que travam sua evolução. - a análise dos objetivos específicos da investigação. Geralmente os trabalhos realizados pelo investigador com o objetivo de servirem de base à concepção de engenharia são retomados e aprofundados ao cabo da diferentes fases do trabalho, devido às necessidades, não sendo por isso prévio senão a um primeiro nível de elaboração. Evidentemente que as exigências de análise prévia não serão as mesmas para uma investigação cujo objetivo é a formação de uma gênese artificial do conhecimento num campo conceitual determinado. Na maioria dos trabalhos, nem todas as diferentes componentes de análise mencionadas atrás intervêm de maneira explícita. Poderá ser um bom exercício de didática identificar as dimensões privilegiadas e tentar procurar, a posteriori, o seu sentido didático. Como exemplo, traremos um caso relativo à investigação que o autor levara a cabo desde há três anos sobre o ensino de equações diferenciais em DEUG primeiro ano (AR- TIGUE apud ARTIGUE, 1988,p.199). A primeira fase está estruturada à volta da análise do funcionamento do atual ensino. A análise constata que o funcionamento deste sistema 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação 29 Uma das novidades do método da engenharia didática consiste no seu modo de vali- dação. Desde a fase de concepção, através da análise a priori das situações didáticas da engenharia, que este processo de validação se estabelece. Esta análise a priori deve ser interpretada como uma análise do controle do sentido; esquematicamente, se a teoria construtivista põe o princípio do compromisso do aluno na formação de seus saberes por meio de interações com certo ambiente, a teoria das situações didáticas, que serve de referência à metodologia da engenharia, teve a ambição de se constituir como uma teoria do controle das relações entre sentido e situações. O objetivo da análise a priori é determinar de que forma permitem as escolhas efe- tuadas controlar os comportamentos dos alunos e o sentido desses comportamentos. Para isso, são fundadas hipóteses; e é a validação dessas hipóteses que estará, indiretamente em jogo na disputa, operado na quarta fase, entre a análise a priori e a análise a posteriori. Normalmente, esta análise, que comporta uma parte descritiva e outra preditiva, centra-se nas características de uma situação a-didática que se pretendeu constituir e que se vai procurar devolver aos discentes: - des “revem-se as escolhas efetuadas ao nível local e as características da situação a-didática que delas decorrem, - analisa-se o peso que o investimento nesta situação pode significar para o discente, particularmente devido às possibilidades de ação, de controle e validação de que ele dispõe uma vez operada a devolução, num funcionamento cuja ação do mestre é ínfima. - prevêem-se os campos comportamentais possíveis, buscando mostrar de que maneira. a análise feita permite controlar o sentido desses campos e assumir que os comportamen- tos esperados, se intervierem, resultarão claramente da aplicação do saber visado pela aprendizagem. Citemos o exemplo da teoria dos jogos que mesmo quando surge explicitamente é muitas vezes tida em conta pelo investigador a um nível estritamente metafórico: fala-se de estratégia de jogo, mas não se avalia precisamente o custo desta ou daquela estratégia. Tem-se a impressão de que uma utilização que não metafórica será considerada pelo investigador demasiadamente dispendiosa, relativamente ao benefício esperado. Tradicionalmente não há grande interferência do professor na análise a priori e é con- siderado essencialmente do ponto de vista das suas relações com a devolução e a ins- titucionalização. Mas isso possui razões históricas para ocorrer. À didática matemática teve início na França e baseou-se nas teorias construtivistas do conhecimento sendo in- fluenciada pelos trabalhos de psicologia genética da escola de Genebra (a frequência das 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação 30 referências a Piaget, em particular (PIAGET apud ARTIGUE, 1988,p.206), nestas publi- cações é a marca desse fato). Nesta visão, a primeira urgência era restituir ao aluno o s u lugar. O desenvolvimento nascente da didática impunha à complexidade uma limitação relativamente estrita, susceptível de ser tratada cientificamente, pelo que foi o profes- sor que, de alguma forma, pagou o preço da tomada em conta do aluno, ao nível da modelização e da teorização. Dessa maneira, não foi por acaso, que enquanto as situações e ação, de formulação e de validação estão presentes desde o começo da teoria das situações, as situações de institucionalização só foram introduzidas mais tarde, já que não prestavam à modelização habitual das situações, quando se tornaram fases da institucionalização; são situações em que a análise em termos de jogo do professor tem necessariamente que se sobrepor à análise em termos de jogo do aluno. Na análise a priori, não há espaço para o jogo do professor; se o aluno é tido em conta a um duplo nível, descritivo preditivo, já o professor intervém apenas a um nível descritivo, como se a situação o determinasse por completo enquanto ator do sistema. Certamente que a noção de contrato didático nos permite recuperar, em parte, este professor, ator do sistema, mas não podemos negar que na teorização didática, o professor continua ocupando um lugar marginal e que, a não ser que ele seja convenientemente tido em conta, os fenômenos didáticos que o implicam terão a tendência de serem percebidos como ruídos relativamente ao funcionamento cujo estudo é privilegiado: o das relações aluno /meio a propósito do saber. Durante as aulas da oficina, podemos identificar que os questionários entregues aos alunos no início de cada encontro, pertencem à fase das análises a priori da engenharia didática descrita a pouco. Nesses questionários, tínhamos a possibilidade de analisar os conhecimentos prévios dos discentes, obtendo respostas "puras"acerca dos conteúdos que seriam trabalhados adiante. Experimentação, Análise A Posteriori e Validação Não há muito a se dizer sobre a fase da experimentação, que é clássica. Esta fase é seguida por uma fase de análise a posteriori, que se baseia no conjunto dos dados recolhidos durante a experimentação: observações feitas nas aulas, mas também produções dos alunos feitas dentro e fora de aula. Estes dados são frequentemente completados por dados obtidos através do uso de metodologias externas: questionários, testes, realizados em diversos momentos do ensino ou no final. E é quando confrontamos a análise a priori 4.2 A Engenharia Didática, Metodologia de Investigação 31 e análise a posteriori, que baseamos a validação das hipóteses envolvidas na investigação. O processo de validação interna que está sendo usado aqui não cai na armadilha habitual das validações estatísticas associadas a experimentações na sala de aula, que se fundamenta implicitamente no princípio de que as diferenças mensuráveis constatadas estão ligadas às variáveis de comando com as quais se jogou para se diferenciar as salas de aulas experimentais e as salas de aulas testemunhas. Para finalizar, serão apontadas algumas dificuldades existentes a este nível de vali- dação: - Uma análise a priori é, devido sua extensão, a fortiori quando se trata de um trabalho de macro-engenharia, praticamente incomunicável in extenso. Aquilo que é feito e é visto do exterior, não é, um produto conforme à descrição teórica que dele se fez aqui, mas uma mescla desse produto. São feitas decisões e o possível controle exterior da comunidade sobre o procedimento de validação é necessariamente afetado por elas. - Na maioria das vezes, os trabalhos que são publicados relativos as engenharias, o confronto entre as análises a priori e a posteriori, exibe distorções. Elas quase nunca são analisadas em termos de validação. Frequentemente, os autores limitam-se a propor modificações da engenharia, procurando reduzi-la, sem se envolverem num verdadeiro processo de validação. - As próprias hipóteses explicitamente envolvidas nos trabalhos de engenharia são hipóteses relativamente globais, que colocam em jogo processos de aprendizagem a longo prazo, que a amplitude da engenharia não permite fazer entrar, de fato, no procedimento de validação. Por último, descreveremos de que maneira a fase da análise a posteriori e de validação aparecem em nossa oficina. Como havíamos mencionado, no começo de cada encontro eram entregues questionários com questões relativas ao conteúdo que seria estudado nesse encontro. Após as explicações e discussões, os alunos faziam uma série de tarefas que tinham por objetivo exercitar o que foi aprendido. Dessa maneira, após estar de posse desse material, pude analisar o "antes e o depois" das respostas dos alunos e fazer uma avaliação qualitativa sobre a oficina realizada. 5.2 Notas Matemáticas 34 ou seja, T-(20+3t) —3-(40+Tt) = 20, Vte Z. Assim, obtemos uma família infinita de soluções em Z da equação (5.1) av =20+3t v=40+Tt (5.3) te Z Neste ponto, ainda não é nada óbvio que a família (5.3) inclui todas as soluções inteiras de nossa equação. Vamos provar que isso de fato acontece. Para isso, consideremos (x,y) uma solução qualquer da equação (5.1). Comparando com (5.2), obtemos To —3y=T:20-3-40 e, portanto, T-(v—20)=3-(y — 40). (5.4) Mas 7 | 7: (a — 20), logo 7 | 3: (y — 40). Como 7 é primo, se divide um produto então divide pelo menos um dos fatores. Como 7 43, então 7 | y — 40, isto é, IteZ ta y—-40=Tt. Substituindo y — 40 por Tt em (5.4), segue que 7- (x — 20) = 3: Tt, ou seja, v—20=3t. Fica, então, provado que uma solução inteira qualquer faz parte da família (5.1). Vamos agora encontrar as soluções nos naturais. Precisamos determinar para quais te Z vale que v=20+3t>0 yv=40+7Tt>0 Qualquer uma dessas duas condições é satisfeita para t > —5 (t E Z). Portanto, existe uma infinidade de soluções da equação (5.1) em N, av =20+3t v=40+Tt ( t>-5 (te Z). = & Por exemplo, para t = —5, obtemos a solução xo = 5, yo = 5. 5.2 Notas Matemáticas 35 A seguir, vamos estudar o teorema que generaliza a resolução da equação considerada. no Exemplo 1. Note, primeiramente, que se MDC(a, b) = 1, então a equação ax + by = c tem solução em Z, Vc € Z. Além disso podemos reduzir o caso geral (com solução) ao caso em que MDC(a,b) = 1, conforme segue. Sendo D = MDC(a, b), no teorema abaixo, consideramos o problema de resolver a equação do tipo ar +by=c, com D|c. Pelo Teorema 1, este é o caso em que a equação tem solução em Z. Dividindo por D, temos a equação equivalente (com as mesmas soluções) a + b c >2+>y=>, D"'D“CD b , , , , . em que MpC( 5) = 1. Logo, para os propósitos práticos, inclusive, é suficiente considerarmos o caso de uma equação ax + by = c em que MDC(a,b) = 1. Teorema 2: Sejam a,b ce Z, coma £0 eb 0, tais que MDC(a,b) = 1. Escrevendo aa +bB = 1, com a,B E Z, temos que xy = ac, yo = B-c é uma solução da equação ar +by=c. (5.6) As demais soluções inteiras são dadas por v=u9+bt = —at (5.7) te Z Demonstração. Começamos escrevendo aa + b8 = 1, com a, 8 € Z. Multiplicando por c, obtemos aac + bc = c, ou seja, xo e yo definidos por Lg =a-c, mwm=B-c são uma solução da equação (5.6). A seguir, sejam x e y definidos por (5.7). É imediato ver que x e y também são uma solução da equação (5.6). Falta provar que não existem outras soluções, isto é, que qualquer que seja o par x, e y solução da equação (5.6), IteZtalquez;=axo+btey =yo-—at. Assim ficará provado que a família (5.7) inclui todas as soluções inteiras da equação (5.6). Se x, e y é uma solução da equação (5.6), então ax + by = c= axo + by 5.2 Notas Matemáticas 36 e segue que a(x, — 29) = b(yo — qn). (5.8) Mas a | a(x, — x9) implica que a | b(yo — 3h). Como MDC(a,b) = 1, concluímos que a|yo—yW e, portanto, dt E Z tal que at = —W. (5.9) Substituindo (5.9) em (5.8), temos que a(z1 — xo) = bat, ou ainda, x— zo =bt, (5.10) De (5.9) e (5.10), segue que a solução (11,41) está incluída na família (5.7). O Note que em ax, + by, = c = axo +byp também podemos ter b(y, — yo) = a(xo — 71), o que nos leva as soluções v=ax9—bt v=Yy at (5.11) te Z que geram as mesmas soluções que (5.7) (basta trocar t por —t). Exemplo 2: Encontrar todos os números naturais N menores do que 10.000 tais que — O resto da divisão de N por 37 é 9; — O resto da divisão de N por 52 é 15. Solução: Dividindo N por 37, obtemos um quociente a e resto 9, ou seja, N=371+409. (5.12) Analogamente, temos N=52y +15. (5.13) De (5.12) e (5.13), segue que 37x +9 = 52y + 15, ou seja vale a equação 37x — 52y=6. (5.14) Vamos primeiro resolver a equação (5.14) em Z. Como 37 é primo e não divide 52, temos que MDC(37,52) = 1. Como 1 | 6, segue que a equação (5.14) tem solução em Z. 39 6 A Prática 6.1 Apresentação Com o objetivo de abordar o tópico equações diofantinas lineares foi realizada uma oficina com cinco encontros de duas horas cada, no Colégio Tiradentes da Brigada Militar com alunos advindos dos três anos do ensino médio. Nesses encontros foram estudadas todas as ferramentas nece: ias para se resolver uma equação diofantina linear. Um dos motivos de estudar este conceito em particular é que sua resolução envolve conteúdos que foram estudados, normalmente, na 5º série. Assim, esta é uma oportunidade de resgatar o que foi estudado, além de proporcionar aos alunos a oportunidade de eles enxergarem as conexões existentes na Matemática, já que esta é, por excelência, uma ciência que opera por acúmulo e não por substituição. Outra importante razão de se explorar as equações diofantinas lineares consiste no próprio fato de se tratar de um conteúdo novo que não é abordado no currículo escolar tradicional. Com o estudo desse novo conteúdo, ampliamos a gama de conhecimentos dos alunos. 6.2 O Procedimento Adotado nas Aulas Os pré-requisitos necessários para se resolver uma equação diofantina linear, como havíamos mencionado, são usualmente ensinados na 5º série. Nesse momento da vida escolar, os alunos, por serem muito jovens, não possuem grande maturidade e devido a isso, não há grande formalidade nos assuntos estudados. Entretanto, durante o curso tive o cuidado de resgatar os conteúdos com maior precisão Matemática e demonstrar todas as propriedades que foram utilizadas durante o curso. Também fazia parte do planejamento de aula, contar com a participação dos alunos, de maneira que eles também fo: foram feitas durante as aulas (generalização da escrita do MDC como combinação linear em ao quadro fazer demonstrações e exercícios. Somente duas demonstrações não 6.2 O Procedimento Adotado nas Aulas 40 dos inteiros dados e das soluções de uma equação diofantina linear), pois eram, de fato, mais complexas, mas as mesmas constavam formalmente nas notas de aula. Tomei a atitude, pois a compreensão ou não dessas provas não interfeririam na continuidade dos conteúdos. O estudo dos conteúdos sempre visava a sua generalização. Mas para que isso pudesse ocorrer, exemplos concretos eram apresentados para que os alunos observassem os padrões existentes e, posteriormente, pudessem conjecturar sobre o que foi analisado. E foi adotando essa filosofia que novos procedimentos, como a obtenção do MDC via algoritmo da divisão de Euclides, foram ensinados. O contínuo diálogo existente entre professor e aluno foi outra importante característica presente nas aulas. Toda e qualquer dúvida era discutida e examinada em grupo, fazendo com que a participação dos discentes fosse uma parte importante da dinâmica dos encontros. A maneira com que as demonstrações seriam exibidas também foi cuidadosamente pensada. Inicialmente, como os alunos não possuíam familiaridade com os argumentos matemáticos, as provas eram feitas de forma tradicional com o meu auxílio. Num segundo momento, os alunos recebiam as notas de aula e tinham a tarefa de ler e compreender o que estava escrito na demonstração. Depois de feitas estas primeiras análises, eram discutidas as dúvidas e demonstrações que não haviam ficado claras. Há uma grande diferença nessas duas maneiras de apresentar as demonstrações. Evidentemente que esta segunda forma de apresentar uma demonstração possibilita que o aluno exercite mais seu poder de interpretação e raciocínio. Evitamos também fazer o uso do raciocínio por absurdo, já que este pensamento requer maior maturidade do aluno. À dinâmica praticada nas aulas possibilitou que os alunos fossem ao quadro expor seus raciocínios e argumentos nas demonstraçõe Com o amparo do professor, os discentes foram aperfeiçoando sua capacidade de expressão matemática, gerando mais confiança, facilitando, assim, todo o processo de aprendizagem. No início de cada encontro era entregue uma folha contendo uma série de perguntas matemáticas que tinham o objetivo de avaliar os conhecimentos prévios dos alunos e instigá-los sobre os conteúdos que seriam trabalhados no dia. Terminada esta parte, os alunos recebiam notas de aula com os conteúdos que seriam abordados na aula. Todos os teoremas, corolários e proposições das notas eram demonstrados. Como os alunos não estavam habituados com os argumentos e técnicas utilizadas nas provas matemáticas, cada passagem das demonstrações era explicada e discutida entre alunos e professor. Ao final de cada aula, os alunos tinham que resolver alguns exercícios relativos aos 6.3 Relatório das Aulas 41 conteúdos tratados naquele encontro. Essas tarefas eram recolhidas para se pudesse fazer uma análise das respostas obtidas. 6.3 Relatório das Aulas 1º Aula: 28/10/2010 Pude constatar que grande parte dos alunos que haviam colocado o nome na lista para, a oficina compareceu. Assim, iniciei a aula tendo uma conversando com os alunos sobre qual seria a dinâmica de aula que seria aplicada durante a oficina. Comentei acerca da filosofia Matemática, a qual visa encontrar padrões de maneira que possam ser formadas generalizações. Expliquei que não demonstramos proposições matemáticas através de exemplos, mas que é preciso utilizar argumentos genér: cos. Em seguida, entreguei um questionário inicial (ver anexos B.1 e D.1) o qual possui o objetivo de avaliar os conhecimentos prévios dos alunos sobre os conteúdos que seriam estudados naquele encontro. As perguntas contidas no questionário versavam sobre o con- ceito de múltiplos e divisores. Após alguns minutos recolhi a folha de perguntas e comecei expondo alguns conceitos sobre múltiplos e divisores que no começo se mostraram de fácil compreensão, mas que foram se tornando mais complexos na medida em que avançávamos na matéria. Acredito que essa dificuldade se deu devido ao fato de demonstrarmos todas as propriedades usadas, já que essa filosofia de ensino, como era de se esperar, não era habitual para eles. Enquanto discutíamos sobre assuntos referentes à matéria, um aluno fez uma per- gunta extremamente relevante, matematicamente falando, o que mostrou compreensão e interesse sobre o que estava sendo estudado. A questão era a seguinte: "O conjunto dos números primos é infinito?". Devido à relevância dessa pergunta, prometemos trazer a prova deste teorema. No final da aula foram praticados exercícios sobre o Algoritmo da Divisão de Euclides no conjunto dos números inteiros. Desde o primeiro dia, os alunos se mostraram participativos, reagindo às perguntas que surgiam no transcorrer da aula. 2º Aula: 04/11/2010 Neste segundo encontro verificou-se a desistência de alguns alunos. O objetivo desse dia era trabalhar com o conceito de Máximo Divisor Comum (MDC). Sendo assim, inicial- mente foi solicitado aos alunos que, com suas palavras, definissem o mais rigorosamente possível esse conceito. 6.4 Análise dos Questionários e das Atividades 44 desenvolvimento do curso. 6.4 Análise dos Questionários e das Atividades Questionário 1 - Assunto: Múltiplos e Divisores de Inteiros Uma das questões contidas no questionário solicitava aos alunos que escrevessem com suas palavras a definição de divisor de um número qualquer. Nessa pergunta busquei avaliar a formalidade matemática que os alunos possuíam. Sobre essa questão a maioria dos alunos não encontrou dificuldades para responder, porém em todas as respostas se constatou uma grande falta de rigorosidade na escrita matemática (ver questão 1 dos anexos B.1 e D.1). As outras questões pediam aos alunos que fizessem alguns cálculos (ver anexo B.1), como, por exemplo, calcular os todos os divisores de 36. Três alunos resolveram a questão, enquanto que o restante da turma apenas apresentou a resposta. Entretanto, em nen- huma das respostas coletadas apareceram os divisores negativos, o que revela a falta de familiaridade com este conceito ver primeiro questionário do anexo D.1). Atividades 1 - Assunto: Algoritmo da Divisão de Euclides Todos os alunos resolveram os exercícios propostos sem maiores dificuldades (Para saber quais eram os exercícios, ver anexo C.1 e primeira lista de exercícios dos anexos D.6). Questionário 2 - Assunto: Máximo Divisor Comum (MDC) Novamente, foi solicitado aos alunos que expressassem com suas palavras a definição de um conceito matemático, que desta vez foi o MDC (ver questão 1 dos anexos B.2 e D.2). Como esta já era a segunda oficina, os alunos estavam um pouco mais acostumados com a formalidade Matemática e responderam de maneira satisfatória esta questão. Outras duas questões pediam o cálculo do MDC entre dois números como, por ex- emplo, calcule o MDC de 35 e 22 (ver questões 3 e 4 dos anexos B.2 e D.2). O objetivo desta questão era fazer com que os alunos aplicassem o algoritmo que haviam aprendido em séries anteriores. Dez dos quatorze alunos presentes na aula conseguiram calcular o MDC entre os números inteiros dados, da forma esperada, enquanto que o restante não soube fazê-lo. 6.4 Análise dos Questionários e das Atividades 45 A última questão também requeria o cálculo do MDC entre dois números inteiros previamente fornecidos (ver questão 4 dos anexos B.2 e D.2). Entretanto, desta vez os números inteiros dados foram escolhidos de maneira que o algoritmo que eles vinham usando não fosse eficiente para calcular o MDC. Assim, apenas três alunos conseguiram resolver essa questão. Inserimos esse exercício para que os alunos notassem a necessidade de ter, de fato, um método eficaz que calcule o MDC entre dois inteiros quaisquer. Atividades 2 - Assunto: MDC e Combinação Linear Após estudarmos o Algoritmo de Euclides e o Lema de Euclides, as atividades desse dia consistiam em calcular o MDC entre dois inteiros dados e escrevê-lo como combinação linear desses dois números (ver anexos C.2 e D.7). Por tratar-se de um conteúdo novo e razoavelmente complexo, foi detectada grande dificuldade dos alunos para realizar essa tarefa, pois estes não conseguiam pôr em prática a teoria que a pouco haviam estudados. Questionário 3 - Assunto: MDC (Continuação) Nesse questionário foram feitas questões aos alunos que pediam que eles conjec- turassem sobre propriedades do MDC (ver anexos B.3 e D.3). Antes dos alunos formarem suas conjecturas, eram dados exercícios numéricos que tinham o objetivo de instigar e di- r ionar os alunos às conjecturas como, por exemplo, identificarem que todos os elementos do conjunto dos divisores entre dois números divide o MDC. Apesar dos discentes não estarem acostumados com questionamentos desta natureza, todos conseguiram responder corretamente as perguntas feitas. Atividades 3 - Assunto: MDC e Combinação Linear (Continuação) Devido ao baixo desempenho dos alunos na execução das atividades do último encon- tro, foram selecionados mais exercícios que praticavam a escrita do MDC como combinação linear dos inteiros dados(ver questão 1 dos anexos C.3 e D.8). Este conteúdo foi retomado, pois é fundamental para o seguimento do conteúdo. cf Os demais exercícios seguiam a mesma filosofia das questões do questionário inicial desse encontro (ver anexo B.3 para o questionário e ver anexo C.3 para os exercícios). Entretanto os resultados não foram os mesmos. Apesar dos alunos serem instigados com exemplos numéricos antes de fazerem suas conjecturas, somente três dos sete alunos conseguiram elaborar suposições gerais. 6.4 Análise dos Questionários e das Atividades 46 Questionário 4 - Assunto: Soluções Inteiras Os exercícios propostos solicitavam aos alunos que explicassem com suas palavras se as equações dadas possuíam ou não solução no conjunto dos números inteiros (ver anexos B.4 e D.4). Os argumentos que foram usados utilizavam, basicamente, paridade e propriedades dos múltiplos. Os alunos não tiveram dificuldades para solucionar estas questões, porém sentiram a necessidade de um teorema que valide os resultados encontrados. Atividades 4 - Assunto: Equações Diofantinas Lineares De posse do Teorema que garante a existência ou não de soluções inteiras de uma, equação diofantina linear, a tarefa desse encontro consistia em calcular as soluções inteiras das questões dadas no questionário inicial dessa aula (ver anexos B.4 e D.9). Estes exercícios constituífam-se nos mais importantes de todo o curso, pois este era o objetivo principal. Todos os alunos conseguiram obter as soluções pedidas apresentando clareza e destreza algébrica nos cálculos apresentados. Considero que um dos motivos para esse excelente desempenho foi o fato de termos enfatizados a escrita do MDC como combinação linear dos inteiros dados, já que esta é um das etapas mais importantes na obtenção das soluções desejadas. Não podemos esquecer que os alunos tiveram grande mérito, pois superaram suas dificuldades, demonstrando grande persistência e empenho. Teste - Assunto: Escrita do MDC como combinação Linear e Equação Diofantina Linear O teste (ver anexos C.5 e D.10) foi feito com o intuito de avaliar se os alunos realmente compreenderam os dois conceitos mais importantes de todo o curso. Como havíamos men- cionado antes, após o grande esforço dos alunos em superarem suas dificuldades, as duas únicas questões que continham no teste foram solucionadas por todos os alunos. Assim como em todas as turmas, houve aqueles alunos que demonstraram maior entendimento sobre o conteúdo, pois a clareza e organização das respostas foram maiores do que a média da turma. Entretanto, pode-se dizer que o desempenho geral da turma foi muito bom, já que todos conseguiram obter os resultados corretos das questões solicitadas. Questionário Final - Assunto: Análise sobre o Curso Depois de finalizadas todas as atividades matemáticas, foi entregue aos alunos um questionário com perguntas relativas à aspectos gerais da oficina, de forma que eu pudesse analisar a opinião dos alunos sobre a oficina desenvolvida. 7 Conclusão 49 de maneira ampla. o, em sua participação na educação aritmética na formação de um sentido numérico. Segundo em seu papel no desenvolvimento de ac ios para resolver problemas e para processos investigativos. Por fim, e este é um papel geralmente ignorado, evitar que muitos de nossos alunos continuem impedidos de compreender um aspecto-chave de nossa cultura: pensar o mundo em números. Mas se queremos que as pessoas produzam significados mais ricos para as expressões que transformam o mundo em números, é preciso que elas, antes de tudo, as vejam como legítimas. Para "falar bem em números", necessita-se "falar em números", e assim como um sentido numérico adequado exige mais do que unidades e dezenas e as quatro oper- Ses Malar ameros!! exi » lesitimi relacõ itati ações, "falar bem em números" exige conceder legitimidade a relações quantitativas a seu tratamento como tal. Na hora em que o "falar bem em números" dirigir seu olhar para a rua, a álgebra vai deixar de ser coisa do domínio exclusivo da escola. É preciso que a escola tenha a dignidade de admitir que significados matemáticos são mais um modo de produzir significado, e não o único, e mais, que os significados matemáticos e os não-matemáticos são diferentes. Só assim, permitindo a legitimidade dos significados não-matemáticos na escola, poderemos aspirar à legitimidade dos significados matemáticos fora da escola. A educação algébrica e aritmética precisa se preocupar em mostrar aos alunos que os sig- nificados matemáticos podem servir para organizar atividades que, de todo modo e de outras maneiras, poderiam ser organizados sem os significados matemáticos. Com isso, estes passam a ser vistos como legítimos; se eles vão ou não prevalecer para esse ou aquele sujeito é outra questão, que não cabe ser analisada aqui. o de O grande objetivo da educação aritmética e algébrica, atualmente, deve s encontrar um equilíbrio em tr: s aspectos: a) o desenvolvimento da capacidade de praticar nossas habilidades de resolver problemas e de examinar situações; b) o desenvolvimento de modos alternativos de produção de significados; c) o aperfeiçoamento de habilidades técnicas. Por fim, é necessário analisar criticamente todos os modelos que nos permitam apenas a leitura dos outros pela falta. Esse é um dos mais poderosos instrumentos a serviço de excluir tudo que não é como somos, de minimizar o valor da produção de outros como forma de maximizar o valor da minha produção. A escola tem sido útil nesse processo, mas não precisa ser assim. A escola sempre assume um papel de mantenedora de uma identidade cultural, mas é necessário perguntar, em nosso caso, qual é a identidade cultural que ela tem preservado. Embora termos como "civilização ocidental" sugiram que somos todos iguais, a verdade é que estamos bem longe disso. Parece-nos que "crianças urbanas, rios" é uma categoria tão original quanto "f índios xavantes", e da filhas de pais oper: 7 Conclusão 50 mesma forma que respeitamos a organicidade da cultura destes, precisamos respeitar a daqueles. Existe e expectativa de que essa crianças urbanas possuam certa cultura, mas não os índios xavantes, mas isso não muda o fato de que a nossa atual educação escolar favoreça que eles se sintam um grupo em extinção: a extinção da rua e da juventude deles, talvez. Ao pensar a educação matemática em termos de significados, é possível um tratamento mais correto desse processo. Agora, como havíamos dito, inferiremos alguns comentários finais sobre a oficina reali- zada. Infelizmente, devido a diversos fatores, a época em que a oficina foi realizada não foi a melhor possível. Como o colégio oferece aos seus alunos muitas atividades extracur- riculares no turno inverso ao das aulas e também por já estarmos no final, do período das atividades escolares, grande parte dos alunos que iniciaram o curso não permaneceram até o final, já que não possuíam horários disponíveis para o estudo e necessitavam s preparar para as avaliações finais. E importante citar o fato de que os alunos vieram até mim, e explicaram os motivos pelos quais eles não iriam frequentar mais as aulas. Alguns desses motivos eram a preparação para as provas finais e ensaios com a banda. Considero também que a divulgação da oficina não foi a mais adequada. Muitos alunos não se deram conta de que precisavam vir a todos os encontros a fim de conseguirem acompanhar o conteúdo. Assim, nos demais dias da oficina, alguns discentes não puderam comparecer, pois tinham outros compromissos. Por tratar-se de uma oficina que pouco se assemelhava com as aulas de Matemática que os alunos estavam acostumados e que possuía uma nova filosofia de ensino, detectou- se que os alunos não obtiveram domínio completo sobre as demonstrações, tanto no seu âmbito interpretativo quanto construtivo. Mas este resultado é totalmente compreensível e esperado, pois sabemos que existem muitos alunos graduandos em Matemática que ainda não possuem destreza ao realizar provas matemáticas. Entretanto, acredito que com prática e empenho é possível fazer com que os alunos adquiram razoável habilidade em fazer demonstrações, já que foi notável a evolução do poder argumentativo dos alunos. Um dos aspectos mais valiosos que o curso apresentou foi a retomada de conceitos que foram vistos pelos alunos nas séries iniciais. Muitos alunos não se lembravam dos conteú- dos que foram abordados naquele momento, já que não mais os utilizavam. Entretanto, houve, também, aqueles que se recordavam dos algoritmos e procedimentos utilizados nes- sas matérias. Todas essas informações foram obtidas através dos questionários que eram aplicados no início de cada encontro. Dentre os conteúdos revisados, o conceito de MDC era o que merecia mais atenção. 7 Conclusão 51 Isso porque ele seria fundamental para se encontrar as soluções inteiras de uma equação diofantina linear. Em um dos questionários iniciais, uma das perguntas solicitava aos alunos o cálculo do MDC de dois números inteiros. Aqueles que conseguiram fazer essa questão fizeram uso do algoritmo que aprenderam na 5º série. Porém, esse algoritmo não é eficiente quando estamos trabalhando com números de uma maior grandeza. Sendo assim, foi apresentado aos discentes um novo, de fato, método para o cálculo do MDC, o qual utiliza o Algoritmo da Divisão de Euclides e o Lema de Euclides. Sobre as equações diofantinas lineares propriamente falando, os resultados dos testes revelaram que a grande maioria dos alunos compreendeu o método utilizado para se encontrar todas as soluções inteiras dessa equação. Outro importante fato que deve ser mencionado é que apesar da dife dos alunos, não houve discrepância. rença entre as sé entre o desempenho del Sendo assim concluímos que, depois de finalizada oficina, o ensino deste conteúdo, em aulas que adotem a mesma filosofia, é totalmente viável para alunos do Ensino Médio, podendo ser, por exemplo, apresentado após o estudo sobre equações de retas, pois como uma equação diofantina linear equivale a uma reta, a partir de suas soluções obtemos uma nova interpretação geométrica e algébrica deste conceito. E é exatamente neste ponto que vemos exequibilidade de se fazer uma interação entre a abordagem discreta e contínua. Por fim, acredito que esta oficina ajudou os alunos a desenvolver a capacidade de refletir sobre a generalização de questões matemáticas que surgem diariamente, além de aprimorar /expandir o seu poder argumentativo. A.1 Múltiplos e Divisores 54 Di: paratodoa be Z, a£0eb+0, adivideb e bdividea=>a=boua=-—b (anti-simétrica); Do: para todo ab ce Z, a£0eb£0adivideb e b divide c => a divide c (transitiva); Ds: para todo a, be Z, a £0,a, a divide b => a divide b-x para todo x E Z; Da: para todo a,b ce Z, a 0, adivideb e a divide c => a divide (bz +c- y) . para todo x,y E Z; Ds:VabedeZ,a+0, c£O0,adivideb e cdivided=>a-c divideb-d. Demonstração. D, : Suponhamos que a divide b e b divide a, logo, pela definição de divisibilidade, existem u,v E N'tais que b = a-u e a=b-v. Substituindo a segunda igualdade na primeira, obtemos b= a -u=b-v-u. Como b £0, cancelamos b e obtemos 1=v-u, logou = v = 1; 0 que implica que a = b. Do» : Usando a definição de divisibilidade temos que existem u,v E Z tais que b= u-a ec=v-b. Substituindo b na segunda igualdade decorre que c = v -u-a, ou seja, a divide c. Ds: Se a divide b, existe u € Z tal que b = u- a. Multiplicando por x nos dois lados da igualdade, temos que b-x = a -«u-x. Logo a divide b-x Ds : Suponhamos que a 0, a divide b e a divide c, logo, pela definição de divisibilidade, existem u,v E N tais queb=a-u e c=a-v. Assimb-z+c-y=a-u-z+ avy=a(u-a-+v-y) para todo, x,y E N. Logo, a divide (b-z+c-y), para todo, x,y EN. D; : Através da definição de divisibilidade temos que existem u,v € Z tais que b=u-aed=v-c. Multiplicando por d nos dois lados da primeira igualdade temos que bd=ucad=uavic=u-v-a-cousejaa-c divideb-d. Teorema A.1.1.3. (Algoritmo da Divisão de Euclides) Sejamn,d E N com d £0. Então existem e são únicos q,r E N tais que n=q:d+r, comr<d a = A.1 Múltiplos e Divisores Teorema A.1.1.4. Sejam a, be Z comb £0. Então existem e são únicos q,r E Z tais quea=bg+re0<r< bl. Note que a exigência de termos O < r < |b| é fundamental, pois caso contrário, teríamos o seguinte problema: Exemplo: 5=3-:1+2 5=3:2+(—1) 5=3:3+(+4) A1.2 Aula 2 - Máximo Divisor Comum Sejam a,b,d E N*. Se d divide a então a = db, i.e, d < a, logo o conjunto de divisores de a é um conjunto finito e tal que a é o maior elemento do conjunto dos divisores de a. Dizemos que d é um divisor comum de a e b se d divide a e d divide b. Note que para obtermos o conjunto dos divisores inteiros de a e b, basta multiplicarmos por —1 cada um dos elementos do conjunto citado acima. Definição A.1.2.1. Sejam a,b € Z não nulos. O maior elemento do conjunto dos divi- sores de a e b é chamado de Máximo Divisor Comum de a e b e é denotado por M DC (a, b). As propriedades mais básicas do MDC são as seguintes. Proposição A.1.2.2. Sejama,be Z ea £0. Então, (i) MDC(a, 0) = [al, (ii) MDC(a,1) = 1, A.1 Múltiplos e Divisores 56 (iii) MDC(a, a) = Jal, (iv) MDC(a,b) = MDC(b, a), (v) a divide b <> MDcC(a,b) = |al. Demonstração. Mostramos apenas (ii) e (v). (ii) O conjunto dos divisores de a e 1 é só o elemento 1 pois o conjunto de divisores do 1 é só o 1 que pertence ao conjunto dos divisores de a já que 1 divide a. Logo MDC(a,1) =1. (v) (=>) Se a divide b então o conjunto dos divisores de a está contido no conjunto de divisores de b pela transitividade da divisibilidade, assim ao interseccionamos esses conjuntos temos como resultado o conjunto dos divisores de a. Como o maior elemento no conjunto dos divisores de a é o próprio a temos que MDC(a,b) = a. (+=) Exercício. O Outro resultado básico e interessante é com os divisores do MDC. Proposição A.1.2.3. Sejam a,b inteiros não simultaneamente nulos e d E Z. Se d divide MDC(a,b), então d divide a e d divide b. Demonstração. Seja D = MDC(a,b),. Por definição, D divide a e D divide b, logo existem kleZtaisquea = kDeb= ID. Se d divide D então existe t E Z tal que D = td. Substituindo em a e b obtemos, a = kD = ktd, ou seja, ddividea eb= ID = Itd, ou seja d divide b. O Exemplo 4.1.2.4. O MDC(252,140) = 28. Notemos que 7 divide 28. Usando a proposição acima, concluímos que 7 divide 252 e 7 divide 140. De fato, 252=7-36e 140= 7:20 Lema A.1.2.5. (Lema de Euclides) Sejam a,bEZ en EN. Então, MDC(a,b+ na) = MDC(a,b — na) = MDC (a, b). A.1 Múltiplos e Divisores 59 Como ry divide r; temos MDC(a, b) = r3 substituindo os valores de r» e r, obtemos, MDC(a,b)=r;= m-—r>:q Ti— (a — riq2) “q = (1 + qoas)r — ags = (1 + q205)(b — aq) — ags = (1 + q203) -b— (1 + q»g3) “am — ags = (1 + q208) -b— (q + quapgs + 43) a. Agora basta tomar 8 = (1 + q2q3) e a = (qr + quapas + q3). Conclusão: Dados a, b € Z, sempre podemos escrever o MDC(a,b) como uma com- binação linear de a e b, ou seja, existem x,y € Z tais que MDC(a,b) = ax + by Exemplo 4.1.2.8. «= 252eb= 111 252=2.111+30 11=3-:30+21 30=1-21+9 21=2-9+3 Como 3 divide 9 temos que 3 = MDC(252,111). Se quisermos escrever o MDC como combinação linear de 252 e 111, basta voltar os passos nas equações acima, da seguinte maneira 3=21-2.9, mas9=30-1-21, logo 3=21-2.9=21-2.(30-1.21)=3.21-2.30. Mas21=111-3-30, logo 3=3:21-2.30=3-(111-3-30)-2:30=3-111 11-30. 3=3-11-11-30=3-111-11-(252-2.-111). Da última igualdade acima segue, finalmente, que 3=25-111-11-252. A.1 Múltiplos e Divisores 60 Cuidado para não fazer a conta no meio do caminho!! O Objetivo é escrever como combinação linear! Exemplo A.1.2.9. a = 165 e b= 105 165=1-105+60 105=1-60+45 60=1-45+15 Como 15 divide 45 temos que M DC(165, 105) = 15. Agora vamos escrever o MDC entre 165 e 105 como uma combinação linear entre esses dois números. Antes de fazermos isso, note que (i) 60 = 165 — 1105 e que (ii) 45 = 105— 1:60 De fato, 15=60-1:45=60-1-(105—1-60) (por(ii)) 15=2.60-105=2.(165—1-105) — 105 (por(i)) 15=2.165-3-105 Exemplo A.1.2.10. a=47eb=97 97=2:47+43 47=15:3+2 3=1:2+1 Como 1 divide 3, temos que 1 = MDC(47,97). Vamos, agora, escrever o MDC como combinação linear dos dois númeors dados. Temos que 1=3-1.2=3-1-(47-15:3)=16-3-1.47=16-(97-2.47) = 1:47. Portanto, 1=16-97- 33-47. A.1 Múltiplos e Divisores 61 A.1.3 Aula 3 - Máximo Divisor Comum (Continuação) À escrita do MDC como combinação linear nos permite caracterizar o MDC de outro modo. Proposição A.1.3.1. Sejam a,b E Z não simultaneamente nulos. Então, D= MDC(a,b) se, e somente se, (D divide a e D divideb) e para todo d E Z, (d divide a e d divide b) => d divide D Demonstração.(=>) Se D = MDC(a,b) então, por definição, D é o maior elemento do conjunto dos divisores de a e b, logo, D divide a e D divide b. Também sabemos que existem a,8 E Z tais qe D=a-a+8-b. Sed divide a e d divide b, então existem kileZ tais que a = kd e b = Id. Substituindo a e b na igualdade acima temos D=aa+8-b=a-k:d+B-lid=(ak+B:D-d. Então d divide D. (+=) Se D divide a e D divide b, então, por definição, D pertence ao conjunto dos elementos que dividem a e b. Se para cada d € Z tal que d divide a e d divide b, ou seja, d pertence ao conjunto dos divisores de a e b, assim, d divide D então, l|d| < |D]|. Assim, D é o maior elemento do conjunto dos divisores de a e b, isto é, D= MDC(a,b). Definição 4.1.3.2. Sejam a,b € Z não nulos. Dizemos que a e b são primos entre si se, e sóse, MDC(a,b) = 1, ou seja, o único divisor comum de a e bé 1. Lema A.1.3.3. MDC(n,n+1)=1. Demonstração. Sabemos que MDC(n,n+1) = MDC(n,n+1 —n) pelo Lema de Euclides. Mas MDC(n,n+1—-n)=MDC(n,1)=1. O Corolário A.1.3.4. Dois números naturais a e b são primos entre si se e somente se existem a,BEZ tais quel=a-a+B-b. Demonstração.(=>) Decorre do Algoritmo de Euclides. (+=) Suponhamos que existem a, 3 € Z tais que 1 = a-a+8-be que D = MDC(a,b). Como D|/a e D|b, por D;, D|(a-a+8-b)=1. Assim D=1. O A.2 Equações Diofantinas Lineares 64 ou seja, T-(20+3t) — 3: (40 + Tt) = 20 para todo t E Z. Assim, obtemos infinitas soluções em Z para a equação 28x — 12y = 80 v=20+3t, y=4+TtcomteZ. Neste ponto, ainda não é óbvio que as soluções encontradas incluem todas as soluções de nossa equação. Vamos provar que de fato isso ocorre. Para isso, consideremos (x,y) uma solução qualquer para nossa equação. Comparando com (*), obtemos To —3y=T:20-3-40 e, portanto, T-(2—20)=3-(y — 40) (4x) Mas T|7(a — 20), logo 7/3 - (y — 40). Como 7 é primo, se dvide um produto então divide pelo menos um dos fatores. Como 7 43, então 7|y — 40, isto é, existe t E Z tal que y— 40 = Tt. Substituindo y — 40 por 7t em (**), segue que T- (x — 20) =3- Tt, ou seja, v—20=3t (e) y— 40 = Tt. Fica, então, provado que uma solução inteira qualquer faz parte de nossa solução. A seguir, vamos estudar o teorema que generaliza a resolução da equação considerada. nos primeiros exemplos. Sendo d = MDC(a,b), no teorema abaixo, consideramos o problema de resolver a equação do tipo ax + by = c com dlc Pelo Teorema anterior, este é o caso em que a equação tem solução em Z. Dividindo por d, temos a equação equivalente (com as mesmas soluções) A.2 Equações Diofantinas Lineares 65 em que MDC(S, 8) = 1. Logo para propósitos práticos, inclusive, é suficiente consider- armos o caso de uma equação ax + by = cem que MDC(a,b) = 1. Teorema A.2.1.3. Sejam a,b,c € Z com a,b não nulos e tais que MDC(a,b) = 1. Escrevendo aa + b8 = 1 com a,B E Z, temos que xy = a.c, yo = B.c é uma solução da equação ax +by =. As demais soluções inteiras são dadas por: v= xo +bt, y=yo—at comte Z Demonstração. Começamos escrevendo aa + b8 = 1, com a, 8 € Z. Multiplicando por c, obtemos aac + b3c = c, ou seja, xo e yo definidos por Z9=0.€, Yo = Be formam uma solução da equação ax + by = c. A seguir, sejam x e y definidos por v=xo+bt, y=y—at comt E Z. É imediato ver que x e y são uma solução da equação ax+by=c. Falta mostrar que não existem outras soluções, isto é, que qualquer que seja o par x, e y de soluções, existet E Z tal que x, = xo +btey = yo — at. Assim ficará provado que a família a = xo +bt, y = yo — at com t E Z inclui todas as soluções da nossa equação. Se x e 3 é uma solução, então ax + by = c= axo + by e segue que ala —o)=b-(yo —n). Mas ala - (21 — x9) implica que aJb- (yo — 31). Como MDC(a, b) = 1, concluímos que al(yo — y1) e, portanto, existe t E Z tal que at= yo —1, OU seja, qn = Yo — at. Substituindo esse valor em a(x, — xo) = b(yo — 1), temos que a(x1 — x9) = bat, ou ainda, A.2 Equações Diofantinas Lineares 66 vm —x=bt,ie, m=xo+bt. Assim, concluimos que a solução (11,11) está incluida na família x = xo+bt, y = yo—at com t E Z. A.2.2 Aula 5 - Equações Diofantinas Lineares (Continuação) Exemplo 4.2.2.1. Encontrar todos os números inteiros N tais que: - O resto da divisão por N por 37 é 9; - O resto da divisão por N por 52 é 15. Dividindo N por 37, obtemos um quociente x e resto 9, ou seja, N=372+49 (*) Analogamente, temos N=52y+15 (**) De (*) e (**), segue que 37x +9 = 52y + 15, ou seja, vale a equação 37a — 52y = 6. Como 37 é primo e não divide 52, então MDC(37,52) = 1. Então como 1 divide 6 temos que a equação 37x — 52y = 6 tem solução em Z. Escrevendo 1 (que é o MDC entre 37 e 52) temos que: 522=37+15=>15=52-37 37=2:15+7>7=37-2:15 15=2.7+4+151=15-2.7 Então, 1=15-2.7=15-2-(87-2-15)=5-15-2-37 B.1 Questionário 1 69 B.1 Questionário 1 Colégio Tiradentes Oficina sobre Equações Diofantinas Nome: Turma: Testando os conhecimentos iniciais. 1. Defina com suas palavras divisor de um número inteiro qualquer. 2. Você conhece alguma propriedade sobre divisores? 3. Determine todos os divisores de 20. 4. Determine todos os divisores de 36. 5. Como são chamados os números que possuem apenas dois divisores? 6. Dê 2 exemplos de números que possuem apenas 3 divisores. B.2 Questionário 2 70 B.2 Questionário 2 Colégio Tiradentes Oficina sobre Equações Diofantinas Nome: Turma: Testando os conhecimentos iniciais. 1) Usando suas palavras, defina MDC. 2) Calcule o MDC dos números abaixo: a)35e22. b)36e 14. c) 231 e 273. 3) Laura tem 30m de fita verde e 24m de fita amarela. Ela quer cortar essas fitas de modo que os pedaços tenham o mesmo tamanho, que sejam o maior possível e que não haja sobras de fita. Quantos metros deve ter cada pedaço de fita? 4) Calcule o MDC de: a) 323 e 646. b) 667 e 2001. B.3 Questionário 3 a B.3 Questionário 3 Colégio Tiradentes Oficina sobre Equações Diofantinas Nome: Turma: Testando os conhecimentos iniciais. 1) Qual é o MDC de dois números consecutivos? 2) Determine todos os divisores de 30 e 45. Determine quais são os divisores comuns entre esses dois números e o seu MDC. 3) Dados a,b E Z por definição, sabemos que o MDC(a,b) é o maior elemento do conjunto dos divisores de a e b. Você consegue ver outra relação entre esses elementos? 4) Se um número inteiro qualquer divide o produto de outros dois inteiros quaisquer, ele necessariamente divide um dos fatores? Conjecture a respeito. ANEXO C - Atividades Agora apresentamos as listas de exercícios que eram dadas aos alunos e também o teste que foi feito com eles. C1 Lista de Exercícios 1 75 C.1 Lista de Exercícios 1 Exercício 1: Determine o quociente e o resto da divisão de: a) 7 por 2. b) 25 por 7. c) 77 por 8. d) 233 por 11. e) 12 por —7. f) —15 por 9. g) —21 por —4. Exercício 2: Desafie seu colega a montar casos similares aos exemplos dados acima. C.2 Lista de Exercícios 2 76 C.2 Lista de Exercícios 2 Exercícios 1) Calcule o MDC dos números abaixo e escreva-o como combinação linear dos números dados. a) 98e 14 b) 140 e 315 c) 225 e 300 C5 Teste 79 C.5 Teste Teste 1) Calcule o MDC entre 976 e 352 e reescreva-o como combinação linear desses dois números. 2) Resolva nos inteiros e naturais, a seguinte Equação Diofantina: a) 127 — 27y = 33 80 ANEXO D - Respostas dos Alunos A seguir algumas das respostas dos alunos feitas na nossa oficina. Note que a ordem das respostas dos exercícios é a mesma que apresentamos os questionários e listas de exercícios. 81 D.t Questionários D.1 Questionários 1. Defina com suas palavras divisor de um número inteiro qualquer. O dita de um iimeo mexo qulaner € Oualgur número Qua e da. pk sy duandão psesutrando em que entro fetulo *2. Você conhece alguma propriedade sobre divisores? putados ú esAltm Stmpre Sim. O fsores CASOS ds qm. Nitmaro vaio Meet RU D Gl = % WO enhmo norma. pa Ex Dl - Mad 3. Determine todos os divisores de 20. À dlaoy = 4a 19,20 , Roz | ( CUBAS 3 ão jr AM s Isis do A 4. Determine todos os divisores de 36. , A UI ç metas age De la,e5,4,6,8, 10, 48,36) sia )56 2 tt mms ala 9a me 4 5. Como são chamados os números que possuem apenas dois divisores? Números qrmos (A e da msmo), 6. Dê 2 exemplos de números que possuem apenas 3 divisores. dee da A Veces. pia d1,2,9) D.4 1) Explique com suas palavras se as seguintes equações podem ou não ter solução em Z: a) 3x + 4y = 20 Temo ATEGÇIO erre TS | (ae Uai FADE LN = A e Lais do. | - . é (31-83 Db) BE+6L=7 cado demo dução tro É povoa Mo Ct3ol=%e 3 mãe dust +. De UoiB= O) 2Mr+IBBy=18 rom psÕO Um z pa 130 = 5.24 +40. . . - 94= 44 Elo 2 wo dude 19: A%= 3.(p tO um US s0)=5 dm +IOn—3 SOB io em É, poa O =6.2+h0 dm ABução uDo= Us mv dumdl a. t Je d = pague MC" dO e)10x+6y=30 Tae duo tro t s9=to +4 É A duto DO: - GU ta Pa Hr4 - - Ml ASA. a +o Zu PN Psr+y=3 Taro dação qem dad 2 4 Findo 3, Do 85 D.5 1) Você gostou do método de ensino que foi praticado nas oficinas? da ao do A . coreto port 2) Você sentiu alguma diferença entre -a matemática ensinada dentro da sala de aula e a da oficina? Caso sim, cite as principais diferenças. Saem, pos ca sola de aulo mi Sralvalhorms ermandis cessão cam Jíveudor predios Qunonko 6 cunrs as porn bontinda cla, essmjechinom do att o mupatio da suegho priquadactas de. diniilibicioda. 3) Depois das oficinas, sua visão sobre a Matemática mudou? Cite algumas dessas mudanças. e Junho afeuiro moção da qua a Hefamólico. “Ho cotagis ara pouco Notilodo postá, o dosução , q pasta tonfurema Cria Dumorka. ar Sueuras, 4) Sobre os conteúdos revisados: - Você pensa que foi importante retomar esses conteúdos? - O novo método aprendido para o cálculo do MPc é melhor que o que você já sabia? Porquê? — Ei puro apa ma cmaioua dor msullbalaman mes omitido mas pas 35 Jumdomarkoin, renda gostei de aprometi Pos po cnmieulocts o — diem polo quarta cofeutor à WDC da uma emma. mou a icianda pano renan apverados. . Peho sro matsdo sema aubicd duran ne cSogven VISA DA DAS: puma Dia MDA, 5) Sobre o novo conteúdo Equações Diofantinas: - E importante? - Cite alguns fatores que torna esse contéudo fácil e/ou difícil. — Jodo & ronbscuemdo sa acumulado ca Holemálica a som stoedi, meo o Quilo de empoilôncia, qmeol ul Santana salabiso., pon chapendo da a pêucacãs ms dia-a-dia Para penas 4 Já seg oonta esena Cuntfuna 2 comanda . - Es Sol Es vhlion, da nuns, quel, Ofensas tnmorevitan Y studa das (arm bus cdr ExmD Had, 8 Qua mão dr mapot para. tram cantuido de Emma Iepraim Poa mec, más Dé. agralhurma Bicuda que s Srenpeço de se Jrabaodo mo Emma Mádis, we o reritodo ch. aid a da oprsundo mando mo. roseta dm e memos da gudun csxtacálio A E ia vÃES as Eagrema D.6 Lista de Hixercícios o 86 D.6 Lista de Exercícios Exercício: Determine o quociente e o resto da divisão de: aj7por2. f=a.Bti b) 25 por 7. asi % SiS as-4.344 co) TT por8. E RD ad e 414=0.9+5 d) 233 11. ) 233 por a3oL -261 2 2 QSBzI1.2149 e e) 12 por —T. . iailz = — Xoa iQ=-4.00145 & z Exercício: Desafie seu colega a montar casos similares aos exemplos dados ácima. + — - UM por -S 49 (5 ADS 4G-( Cars 4 D.9 . 89 D.9 Exercícios: Usando os teoremas que foram apresentados em aula, em cada uma das equações dadas anteriormente, determine as soluções inteiras, caso exis- tam. E) MHIy = 20 Hoctau) = 4 4=4-14:3 . 20 = 20+4 + “20.3 = 20: 4 Segs: z0- De - Julzo +24) a 3 (uá- -20)= 20 | o) 24x + 136 y = Ag vDc(u,23)= 4 AX 4 634 = O 426-M-23 Dx + 234 =3 v= U4Ba 23008) = = 4aArAyiA -U.23:X 42303) = - “aqu + 234) + 2900 não -3)=2) e) 10x + 6y=3O noc(S,3) = 4 Sm 34-19 qu 37-54 a A9= 3.30 +5(-45) = 3:30 4 3. 5d) - B-Sh + StAS D.1o Teste 1) Calcule o MDC entre 976 e 352 e re dois números. 96=2:352+272, 16=50-2:32 = 362.272. 2(242-3.50) - =4:2F2. 4 RO 352-(976-2.352) -2:272 48.300 272 = 3:80 +32 352-9%6+72:352 — 2(926-2.352)+ 6(352-220. 80 = 2:92. +46 7 G:35%-976 —2. 316 Em. 'B5LIFG- 3526.2770 » 32=24640 . EA '952 DIA =e(9365) 2. 3825" : na = 359 a. 376 - e-936 442. 1382 = . escreva-o como combinação linear desses Wa 2) Resolva nos inteiros e naturais, a seguinte Equação Diofantina: a) 12x — 27y = 33 xo Ig= 44 G=Zra - (ispc=l REA 4= 40-39 (-0) = 44=4U(22)-9(-44) = = leo y gp ge 344) M=U(-22+494) -9(4p-44) -2PKJÃLO 4YE- 450 + 4 hz Mo a Do 1