Exercício Resolvido Equação de Slutsky

Como desejamos saber o efeito total de uma variação de preço do bem $X$ sobre esse mesmo bem, usaremos Slutsky.

Para isso, precisaremos da demanda marshalliana e da demanda compensada do bem $X$.

Vamos encontrar a nossa demanda marshalliana primeiro, via maximização por Lagrange:

$Max \ U(X,Y)=xy+x^2$

$s.a.p_xx+p_yy=I$

$L_{(x,y,k)}=xy+x^2-k(p_xx+p_yy-I)$

Condições de Promeira Ordem ($CPO$):

$L_x: y+2x-kp_x=0$

$L_y: x-kp_y=0$

$L_k: p_xx+p_yy-I=0$

Dividindo as equações de $L_x$ e $L_y$ rearranjadas, temos que:

$\dfrac{y+2x}{x}=\dfrac{p_x}{p_y}$

$y=\dfrac{p_xx}{p_y}-2x$

Substituindo na nossa restrição:

$p_xx+\dfrac{p_yp_xx}{p_y}-2p_yx=I$

Isolando $x$, encontramos que a nossa demanda marshalliana para o bem é :

$x^*=\dfrac{I}{2\cdot{p_x-p_y}}$

Agora, precisamos da demanda compensada. Para isso, minimizamos o dispêndio $p_xx+p_yy$, sujeito ao nível de utilidade $\bar{U}=xy+x^2$:

$Min: p_xx+p_yy$

$s.a.: xy+x^2=\bar{U}$

$L_{(x,y,k)}=p_xx+p_yy-k(xy+x^2-\bar{U})$

Condições de Primeira Ordem ($CPO$):

$L_x:p_x-ky-2kx=0$

$L_y: p_y-kx=0$

$L_k:xy+x^2-\bar{U}=0$

Dividindo as equações rearranjadas de $L_x$ e $L_y$ , temos :

$\dfrac{p_x}{p_y}=\dfrac{y+2x}{x}$

$y=\dfrac{p_xx}{p_y}-2x$

Substituindo na restrição $xy+x^2=\bar{U}$, ficamos com:

$x(\dfrac{p_xx}{p_y} -2x) + x^2= \bar{U}$

Encontramos assim, a demanda compensada por $x$:

$x^c= (\dfrac{\bar{U}p_y}{p_x-p_y})^{0,5}$

Sabemos que Slutsky é dada por:

$\dfrac{dx^*}{dp_x}=\dfrac{dx^c}{dp_x}-x^c\cdot{\dfrac{dx^*}{dI}}$

Temos que $\dfrac{dx^c}{dp_x}$ é o efeito substituição. Para encontrá-lo, derivamos a nossa demanda compensada em relação a $p_x$ e ficamos com:

$\dfrac{dx^c}{dp_x}=-0,5 \cdot {\dfrac{[\bar{U}p_{y}]^{0,5}}{(p_x-p_y)^{1,5}}}$

Esse é o nosso efeito substituição.

Agora para o nosso efeito renda, precisamos derivar a nossa demanda marshalliana com relação à renda:

$\dfrac{dx^*}{dI}=\dfrac{1}{2(p_x+p_y)}$

Substituindo isso tudo na fórmula de Slutsky, teremos o efeito da variação de $p_x$ sobre $x$:

$\dfrac{dx^*}{dp_x}= -0,5 \cdot {\dfrac{[\bar{U}p_{y}]^{0,5}}{(p_x-p_y)^{1,5}}} - (\dfrac{\bar{U}p_y}{p_x-p_y})^{0,5}\cdot{\dfrac{1}{2(p_x+p_y)}}$

Caso tivéssemos os valores numéricos de $p_x$ , $p_y$ , $\bar{U}$, o nosso resultado seria numérico!

Resposta esperada: $\boldsymbol{\dfrac{dx^*}{dp_x}= -0,5 \cdot {\dfrac{[\bar{U}p_{y}]^{0,5}}{(p_x-p_y)^{1,5}}} - (\dfrac{\bar{U}p_y}{p_x-p_y})^{0,5}\cdot{\dfrac{1}{2(p_x+p_y)}}}$