Exercício 13a Custo e Receita: Representação Gráfica FGV-SP

Vamos começar a questão pelos itens (iii) e (iv), que nos parecem mais diretos.

Precisamos descobrir quais são os custos marginal e médio. Eles são dados, respectivamente, por:

$cmg (q) = \dfrac{dc(q)}{dq}$

$cme (q) = \dfrac{c(q)}{q}$

Do enunciado, sabemos que $c(q) = q$.

Assim, aplicando as fórmulas acima, o custo marginal e o custo médio são dados igualmente por $1$. Ou seja:

$cmg (q) = cme (q) = 1$

Agora, precisamos escrever a função de receita em função de $q$ antes de encontrarmos as receitas média e marginal.

Para isso, precisaremos utilizar a função de demanda fornecida pelo enunciado. Antes de começar, vamos lembrar a fórmula para a receita:

$R (q) = p \cdot q$

Precisamos, então, encontrar $p$ em função de $q$.

Sabemos, da equação de demanda, qual é o valor de $p$. Basta mudarmos os termos de lado. Temos:

$q = 8 - 2p$

$2p = 8 - q$

$p = 4 - \dfrac{q}{2}$

Substituindo na equação da receita, ficamos com:

$R (q) = \left(4 - \dfrac{q}{2}\right)\cdot q$

$R (q) = 4q - \dfrac{q^2}{2}$

As receitas média e marginal são calculadas analogamente às funções de custo médio e marginal. Dessa forma, chegamos aos resultados:

$Rmg (q) = \dfrac{dR(q)}{dq} = 4 - q$

$Rme (q) = \dfrac{R(q)}{q} = 4 - \dfrac{q}{2}$

Colocando as quatro funções em um mesmo gráfico, conforme pedido, obtemos o seguinte:

Observe que as curvas de custo serão retas horizontais no valor igual a $1$. Isso porque nossos custos médio e marginal serão sempre constantes.

Já as funções de receita média e marginal são lineares (retas), partindo do valor 4 (valor independente das duas equações), porém com inclinações diferentes.

Lembre-se que a inclinação de uma reta é o termo que acompanha a variável do eixo x, nesse caso, q.

Sabemos que a curva de Receita Média será menos inclinada, porque sua inclinação vale $-\dfrac{1}{2}$ e possui módulo menor do que a inclinação da Receita Marginal de $-1$.

Resposta esperada: $cmg (q) = cme (q) = 1$, $Rme (q)= 4 - \dfrac{q}{2}$ e $Rmg (q) = 4 - q$. Gráfico acima.