Exercício 2a Cartel

Em uma situação de cartel, ambas as empresas se fundem e operam como se fosse uma só, monopolista.

Nesse cenário, ambas decidem produzir a quantidade que maximiza o lucro dessa empresa única (monopolista). Em seguida, os lucros do cartel são divididos igualmente entre as duas empresas.

Assim, montando o problema do cartel, temos que maximizar o lucro da firma (receita menos custo) sujeito à nossa restrição, no caso, a curva de demanda:

$\underset{P,Q}{\text{max}} \ P \cdot Q - c(Q)$

$\text{s.t.} \ P = 15 - 0,25 Q$

em que $P$ é o preço de mercado, $Q$ é a quantidade total produzida pelo cartel e $c(Q)$ é a função custo do cartel. Como ambas as empresas possuem o custo igual, podemos substituir $c (Q)$ por $3Q$ e substituir a função de demanda na função a ser maximizada.

Assim, o problema fica:

$\underset{Q}{\text{max}} \ (15-0,25Q) \cdot Q - 3Q$

$\underset{Q}{\text{max}} \ 15Q - 0,25Q^2 - 3Q$

A condição de primeira ordem do problema é quando derivamos a função em relação à $Q$ e igualamos a zero:

$[Q]: 15 - 0,5Q - 3 = 0$

$Q^{c} = 24$

Assim, a quantidade total produzida pelo cartel é de $24$ unidades de leite. Para descobrirmos o preço, basta substituirmos na função de demanda. Temos:

$P = 15 - 0,25 Q \Rightarrow P = 15 - 0,25 \cdot 24 = 9$

Finalmente, podemos calcular o lucro do cartel, substituindo a quantidade e o preço da função de lucro do cartel. Temos:

$\pi = P \cdot Q^{c}- c(Q^{c})$

$\pi = 9 \cdot 24 - 3 \cdot 24$

$\pi = 144$

Resposta esperada: $Q = 24$, $P = 9$ e $\pi = 144$