Exemplo de Maximização por Lagrange
![andres-william-beltran-cortez](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2019/11/25/16851217_i.jpg)
![estudar-com-vc-40](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2021/04/10/30504057_i.jpg)
![hemilly-beauchamp](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/08/38819481_i.jpg)
![carol-silva-bex](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/11/38851122_i.jpg)
![carllos-eduardo-amorim-rodrigues](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/11/38853171_i.jpg)
![thauana-brandao](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/13/38876409_i.jpg)
![walter-macena](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/18/38924113_i.jpg)
![jorge-danthi](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/24/38974231_i.jpg)
![julia-stephanie-3](https://static.docsity.com/media/avatar/users/2024/06/28/39017428_i.jpg)
embora então fazer um exemplo de maximização por Lagrange, A gente tem a nossa utilidade aqui.
Você percebe que precisa levar a uma coisa que a pessoa é levada a uma coisa que é uma cobb-douglas.
Tá bom é uma função que tem um formato bem conhecido pelos micro economistas Kobe do tipo dessa função tá bom preço do B eixo x dez Preço do bem A pessoa ouvinte ainda se ele del U anunciado bonito e a gente pegou essas informações denunciar.
Vamos então resolver nosso problema de maximização.
Então a gente vai querer maximizar a nossa utilidade e de x tá bom tanto a querendo maximizar a utilidade sujeito à nossa restrição orçamentária, em que a restrição orçamentária, então o preço e de x q dez existe isso, mais o preço de vinte vezes e são tem que ser igual a nossa renda que é cem beleza, embora fazer pelo método de Lagrange isso aqui, Só que para fazer pelo métodos de Lagrange lembra pessoal que a gente tem que isolar isso tudo, jogar tudo para o lado jogar a tudo por outro tá bom eu vou, por exemplo, escrever isso aqui de outro jeito dez de isso mais vinte expressão menos cem igual causa acabou então agora poços, Aumento dos Lagrange e mais do que isso Pessoal c isso estão vendo que eu posso dividir os dois lados por dez.
Como só está interessado no Chile, del y essa reta da restrição orçamentária que está tudo multiplicado por dez, exatamente a mesma se eu corta um zero em cada um.
Tá bom método dividido todos os termos dessa restrição aqui por dez você pode fazer isso desde que seja todos os termos mesmo tá bom para facilitar nosso problema.
Então eu vou deixar isso aqui como o x mais dois expressão menos dez rigorosa dividido todo mundo por dez, inclusive o z p0 dividido por dez beta zero tá bom.
Eu posso fazer isso porque essa reta de restrição orçamentária é a mesma reta que e de restrição orçamento confia o primeiro passo do método lagrangeano.
A gente vai ter que multa A função lagrangeana, então A função lagrangeana ela é a nossa utilidade.
Se vai ser o x elevado zero vírgula dois vezes exibição elevado zero vírgula oito menos lambda vezes a nossa restrição eu vou Usar mais simples que eu tenho certo, já que tudo equivalente aqui eu vou o z essa que ela shis mais dois e pessoas menos dez p1 Chegamos na função do lagrangeano, agora então a gente vai calcular as condições de primeira ordem que a gente chama de CPO tá bom as condições de primeira ordem a gente vai derivar o nosso lagrangeano em relação a X e CES e também vai derivar em relação à expressão e também vai deriva em relação a lambda tá bom beleza ótimo, vamos primeiro derivar relação a X isso aqui A derivada relação a X eles são regra do tomo expressão a gente trata como uma constante os x a gente usa regra do tomo pensa que vai ficar zero vírgula dois A elevada o quanto zero virgula dois menos
um bom agilizar o cálculo para vocês aqui del U menos zero vírgula oito expressão elevada zero virgula ia aqui ok gente derivar relação a X isso vai ficar menos isso aqui tem que ser igual a zero beleza agora em relação a Y fórmula regra do tombo Proibição Então vai ficar zero vírgula oito os x A gente trata como uma constante, então ele continua igual del y vai ter elevado a zero vírgula oito menos um porque teve A regra do tombo é guardar menos zero vírgula dois e aqui a gente vai dar menos dois lambda derivar del y aqui dez Isso tem que ser igual A p0 show gente já viu que se a gente derivar em relação à lambda a gente vai chegar que o x mais dois expressão menos dez A igual a 0 tá bom tenham menos aqui certo que vem do esse lambda aqui.
Mas como e gozar a gente pode deixar elas por elas e essa aqui é a nossa própria restrição orçamentária qualquer causa um pouco essa restrição orçamentária e vamos lembrar do nosso terceiro passo Terceiro passo do lagrangeano igual lambda com lambda tá bom e aí gente tenho meu lambda aqui tem lambda aqui.
Então vamos só isolar esse lambda para ver como é que fica essa que nem lambda igual a 0 virgula dois expressão elevada em zero vírgula muito sobre Chiesa levado a zero vírgula oito seis.
Viram que eu fiz?
Paguei esse o x levada menos zero vírgula oito jogar a ali para baixo propriedade de potência.
Posso fazer isso aqui vai ficar lambda igual zero vírgula oito dividido por dois certo q esse dois repassar dividido o x elevada zero virgula dois sobre expressão elevada zero virgula de propriedade da ponto A isso aqui porque era um expoente negativo certo igual entre dividido por dois Já vou deixar direto quer zero vírgula quatro Pronto tenho lambda aqui e tenham lambda aqui e são vez Estágio lambda é igual a lambda.
Então a gente vai ficar com zero vírgula dois o y elevado zero vírgula oito o x elevadas árvore é igual a zero vírgula quatro o x elevada zero virgula dois e são elevada zero virgula dois show Então vamos simplificar esse zero virgula dois q esse zero vírgula quatro aqui vai ficar com dois y la com se eu passar seis faz multiplicado para cair esse expressão multiplicado para cá vai ter expressão zero vírgula oito vezes e pressão elevada em zero vírgula dois da pessoa é levada a um zero vírgula oito zero virgula dois.
Isso aqui vai ser igual A dois elevado, Então chegamos numa condição que vai achar os nossos máximas.
Só uma coisa pessoal quando se estão resolvendo exercícios de máximo legal vocês colocarem essa a estrelinha aqui tá bom em todos os seus países e percebe para mostrar que a gente está falando dos e pessoas estes máxima, os que otimizam certo nós a nossa utilidade e são dez colocar em todos aqui só para garantir que vai estar bom limite produto, não vou colocar aqui também também c isso que assim alguns preço P o y que maximizar meio utilidade é igual a duas vezes os x que maximizar meio utilidade.
Eu também tenho a minha restrição orçamentária.
Então agora a gente vai resolver um sistema com essas duas equações, então expressão igual A dois difícil isso mais dois expressão menos dez A igual a 0 que essa minha restrição orçamentária show acabou quase no final.
Tá bom se eu pegar, por exemplo aqui o y alegou A dois CES então vou substituir índice expressão aqui por dois tudo com o a estrelinha que está maximizar só que ela vai dar quatro Fiz mais um cinco os x igual dez estão cinco os x estrela igual rodar m del x estrela consequentemente vai ser igual A dois eu vou expressão estrela tem que ser duas vezes isso tenho meu expressão estrela vai ser igual A qual que.
Isso significa significa que a nossa sexta- dois e quatro e A sexta- aqui maximizar meio utilidade seu consumo e duas unidades do B eixo x e quatro unidades do bem eu preciso eu vou estar maximizando a minha utilidade só uma atenção tá bom gente, a gente está falando da função cobb-douglas então não tem problema, a gente usou lagrangeano e chegou na resposta.
Se por acaso não fosse cobb-douglas, A gente ainda ia tem que procurar aqui soluções de p1 beleza que são as soluções de canto a gente e são dois duas soluções que o nosso método do Lagrange ele não procura o nosso método do Lagrange só procura soluções que nenhum desses dois valores da zero, então eu tenho que procurar também as soluções de em que os x vale zero ou o y valisere esse o x p0 olha aqui para nossa restrição orçamentária esse os x vale zero olha lá em cima fica mais fácil chegar os x vale zero del y vai valer cinco tá bom A só jogar a restrição orçamentária se eu expressão vale zero o b del x jogando na restrição orçamentária vai ter que valer dez tá bom então se não fosse uma cobb-douglas fosse uma outra função qualquer, eu ia Compararam a utilidade aqui nesse ponto O com a utilidade nesse ponto O utilidade nesse ponto O ponto O que tivesse a maior utilidade seria a minha sexta- ótima tá bom como uma cobb-douglas só recapitulando a gente para pôr aqui.
Se não fosse cobb-douglas a gente teria que estar isso aqui também o til mordendo só como a gente testa o seu exercício por acaso p de qualquer utilidade no ótimo.
Então ele que a utilidade no ponto ótimo que a gente já descobriu que e dois equação então vamos pegar a nossa utilidade a gente sabe que é utilidade difícil eu vou coopera aqui para você o x elevada zero virgula não f cabeça como o bem sim o x levado a zero virgula dois e são elevado zero vírgula então a utilidade de dois e quatro vai ser dois A levada a zero vírgula dois vezes quatro elevada a zero vírgula oito estavam sim implícita assim galera eu fiz essa conta de uma calculadora e ela dá mais ou menos três vírgula quarenta e oito.
Chequem aí na sua calculadora.
Para mim da forma bom, vamos voltar tudo recapitula a gente tinha um problema de maximização.
Montamos lagrangeano lembrando de deixar a minha restrição orçamentária com zero.
Por outro lado, show aí condições de primeira ordem derivar relação a X índice relação a Y expressão em relação à lambda gente, uma delas vai ser a restrição orçamentária que c gente igual a 0 as outras a gente igual a 0 e vamos ter dois valores para lambda Terceiro passo que não está aqui ter c espaço que está aqui igual ou lambda com outro lambda.
Chegamos numa equação de número um A equação de número dois da nossa restrição orçamentária.
Voltamos sisteminha quase duas e resolvemos e chegamos na sexta.
Não se esqueça ainda das soluções de canto quando A função não for cobb-douglas e aí se eu exercícios o a p de A qualquer utilidade na sexta.
Ótima só substitui la e ver quanto que vale essa utilidade?