Exercício Resolvido Maximização por Lagrange

O exercício nos apresenta um problema de maximização de utilidade e nos pede para resolvê-lo através do método do Lagrangeano.

Para isso, em primeiro lugar, vamos desenhar o problema:

$max\ {\color{#c90000}{U(x,y)}}\ s.t.\ \color{#20ac5b}{Restrição\ Orçamentária}$

O enunciado já nos deu a utilidade do indivíduo:

$\color{#c90000}{U(x,y)=x+ \sqrt{y}}$

Precisamos, então, encontrar a Restrição Orçamentária deste indivíduo. Sabemos que, quando temos dois bens, esta é dada pela expressão:

$R=x\cdot p_x+y\cdot p_y$

Com R igual à renda do indivíduo e $p_i$ o preço do bem $i$.

Logo, utilizando os dados de preços e renda dados no enunciado, ficamos com:

$\color{#20ac5b}{10=2x+4y}$

E nosso problema a resolver é:

$max\ {\color{#c90000}{x+ \sqrt{y}}}\ s.t.\ \color{#20ac5b}{10=2x+4y}$

Temos que usar o método do Lagrangeano para resolvê-lo. Lembrando, que o método de Lagrange nos dá as possíveis soluções para cesta ótima, tirando as possíveis soluções de canto.

Para aplicar o método, seguimos os passos:

1. Escrever a equação do Lagrangeano

$L={\color{#c90000}{x+ \sqrt{y}}}-\lambda ({\color{#20ac5b}{2x+4y-10}})$

Perceba que tivemos que isolar os termos da restrição orçamentária para um dos lados, para poder inseri-la no Lagrangeano.

2. Achar as Condições de Primeira Ordem (CPO)

As condições de primeira ordem significam que igualamos a zero as derivadas do lagrangeano em relação aos bens:

$\dfrac{\partial L}{\partial x}={\color{#c90000}{1}}-{\color{#20ac5b}{2}}\lambda=0 \implies \color{#ef8722}{\lambda=\dfrac{1}{2}}$

$\dfrac{\partial L}{\partial y}={\color{#c90000}{\dfrac{1}{2\sqrt{y^*}}}}-{\color{#20ac5b}{4}}\lambda=0 \implies \color{#ef8722}{\lambda=\dfrac{1}{8\sqrt{y^*}}}$

3. Igualamos os $\boldsymbol{\lambda}$

$\color{#ef8722}{\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8\sqrt{y^*}}}$

$\color{#9e3acc}{y^*=\dfrac{1}{16}}$

4. Substituimos na Restrição Orçamentária

$2x^*+4\left({\color{#9e3acc}{\dfrac{1}{16}}}\right)=10$

$x^*=\dfrac{39}{8}$

Encontramos, então, a solução ótima pelo Lagrangeano, ou seja, a cesta: $(x^*;y^*)=\left(\dfrac{39}{8};\dfrac{1}{16}\right)$.

Note, porém, que a função de utilidade do exercício não é uma Cobb-Douglas. Então, devemos também considerar como candidatos a cesta ótima, nossas soluções de canto.

As soluções de canto acontecem quando consumimos tudo de um bem. Em nosso caso, com dois bens, temos os seguintes casos:

Caso 1: Consumimos tudo do bem x

Se consumimos tudo do bem x, não consumimos nada do bem y e:

$y^*=0$

Substituindo na restrição orçamentária:

$2x^*+4(0)=10\implies x^*=5$

Caso 2: Consumimos tudo do bem y

Se consumimos tudo do bem y, não consumimos nada do bem x e:

$x^*=0$

Substituindo na restrição orçamentária:

$2(0)+4y^*=10\implies y^*=2,5$

Nossos 3 candidatos a cesta ótima são, então: $\left(\dfrac{39}{8};\dfrac{1}{16}\right);(5;0);(0;2,5)$.

Agora, calculamos a utilidade em cada um desses pontos para entender onde temos a maior utilidade:

$U\left(\dfrac{39}{8};\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{39}{8}+ \sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{41}{8}$

$U(5;0)=5+ \sqrt{0}=5$

$U(0;2,5)=0+\sqrt{2,5}\approx 1,58$

Nota-se, então, que o ponto de maior utilidade é aquele de fato encontrado pelo Lagrangeano. Temos nossa cesta ótima e sua utilidade, conforme pedido.

Resposta esperada: $\boldsymbol{(x^*;y^*)=\left(\dfrac{39}{8};\dfrac{1}{16}\right);U(x^*;y^*)=\dfrac{41}{8}}$