Exercício Resolvido b Maximização de Complementares Pertos

Para maximizar uma função de utilidade do tipo complementares perfeitos, devemos nos lembrar que o máximo acontecerá quando a restrição orçamentária encontrar um dos vértices de uma curva de indiferença da função.

Retomando o item a, sabemos que todos os vértices das curvas de indiferença estão sobre a reta vermelha, $\color{#c90000}{y=3x}$:

Assim, maximizar a função de utilidade neste caso é o mesmo que encontrar a intersecção da restrição orçamentária com a nossa reta vermelha, como esboçado abaixo:

Vamos, então, encontrar a restrição orçamentária.

Sabemos que, quando temos dois bens, ela é dada pela expressão:

$R=x\cdot p_x+y\cdot p_y$

Com R igual à renda do indivíduo e $p_i$ o preço do bem $i$.

Logo, utilizando os dados de preços e renda dados no enunciado, ficamos com:

$\color{#20ac5b}{50=10x+5y}$

Assim, para encontrar a intersecção entre ambas as retas, basta resolvermos um sistema com as duas equações de reta.

Substituindo $\color{#c90000}{y=3x}$ na restrição:

${\color{#20ac5b}{50=10x^*+5}}{\color{#c90000}{(3x^*)}}$

$x^*=2$

Voltando para a equação vermelha, encontramos:

$y^*=3\cdot 2=6$

Logo, a cesta, $(x^*;y^*)=(2;6)$ é a que maximiza a utilidade de nosso consumidor.

Por fim, a utilidade neste ponto será dada por:

$U(x^*;y^*)=min\{3\cdot 2;6\}=6$

Resposta esperada: $\boldsymbol{(x^*;y^*)=(2;6);U(x^*;y^*)=6}$