Exemplo de Minimização de Gastos
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agora resolver esse exercícios termo a utilidade Nash e uma cobb-douglas, então a gente tem meio elevada cheias aqui.
Meio expoente do expressão certo.
E aí a gente tem dois preços, um problema físico para bem expressão ia gente, tem a utilidade que a gente quer alcançar que é o bairro.
Eu quero que no meu final do meu problema eu tenha dez unidades de utilidade, bom beleza, então vamos pegar, isso aqui ele me deu uma ia renda, então ele está considerando que eu tenho uma renda e que dá para conseguir minhas dez unidades de utilidade.
Então isso aqui não é um problema de maximizar utilidade.
É um problema de minimizar da minha ainda eu vou mínima e são da minha sim, minimizar o meu gasto de erro minimizar meu gasto.
Meu gasto vai ser o preço e de x vezes conta consumir difícil, mas o preço de pessoas dez isoquanta o consumo e a de p de x eu vou minimizar o meu gasto sujeito aqui da minha utilidade que vai ser CES elevada meio vai escrever assim que ela, mas expressão elevado ao meio c é igual a A dez Eu quero caminha utilidade com os meus dois meses.
Seja igual dez simples rapazeada então agora a gente vai fazer o nosso lagrangeano, então ele vai ser o que a gente está querendo.
Minimizar dois CES mas quatro expressão menos lambda e aí vai multiplicar por isso aqui não precisa levada meio e são elevada meio menos dez da minha restrição só passeia dez menos para cá ia A embora procurar as nossas condições de primeira ordem, condição de primeira ordem A primeira delas é o derivar lagrangeano em relação a X dez eu vou igual a 0 deriva lagrangeano em relação a expressão eu vou igual a 0 eu não vou colocar agora que derivada de lagrangeano em relação ao lambda porque
eu sei que quando deriva em relação ao lambda eu vou chegar aqui nesse meu caso saciar, então eu só não vou escrever ele agora eu vou eu vou chegar da minha restrição derivar relação a X dez Então aqui derivar relação a Z fez del U dois certo derivar aqui relação a X slide não vai como vai ficar, vai ficar menos lambda, né?
Penas me dar meio meio vai tombar aula aí o meu chies vai ficar levada meio menos um que vai dar menos meio e aí del y Vou tratar como constante eu vou derivando relação a X, mas isso igual a 0 show agora relação a Y expressão vão ficar com quatro e aqui vai ser bem parecida na gente só em vez de tão bom meio dos fieis, ao tomar o meio do expressão o x eu vou tratar como uma constante e ao expressão que vai ficar como expoente, menos meio porque é o meio que estava lá, menos porque ele tombou isso aqui igual causa para continuar nosso exercícios a gente vai t é igual a esse lambda com esse lambda.
Então vamos só isolar o primeiro lambda ele vai ficar, então eu vou passar ele para lá eu vou passasse dois multiplicando vai ficar quatro e pessoal fórmula fazer posso após equação A faço rapazeada só para não confundir fazer bonito então passa ele para lá, então ficou igual aqui.
Eu vou só fazer assim para facilitar a saber Então eu passei ele para lá ia A esse dois eu vou multiplicação multiplicado aqui c dois vezes dois quatro esse dois eu vou passar multiplicado Por outro lado também vai ficar oito Agora eu vou passar esse os x elevada menos meio eu vou transformar ele numa divisão e de x elevada meio e a mesma coisa que para o meu expressão viu como passo a passo fica tudo mais simples, é só transformar essas coisas agora assim eu vou ter que esse lambda aqui de sim, mas ele vai ser igual A quatro o x elevada meio passeio fiz multiplicando o til expressão dividido pessoa levada meio e aqui o meu expressão vai ser o meu lambda vai ser oito e são elevada meio e sobre w o x elevada meio igualando os dois a gente vai t então quatro fileira levada meio CPO de mais tempo escrevendo essas coisas do que pensando ensina a gente fácil demais oito vezes inversa derivada meio sobre o x elevada meio se eu multiplicado aqui del x elevada meio vezes fui levada meio vai dar o x eu vou t quatro o x isso passar índice dividido multiplicado vão ficar igual oito.
Isso beleza propriedade de potenciação divido os dois lados por quatro eu vou tenho meu xis é igual a dois supor aqui ou sede compensado que está falando da minha demanda compensado tá bom sobre estudou isso lá na minha restrição não precisa levada meio expressão levada meio igual dez eu vou t eu vou copiar dela aqui o x levada meio expressão levada meio é igual a dez se eu del x é igual a duas vezes duas vezes e pressão elevada.
Meio expressão elevada meio é igual a dez e aí a pessoa é levada meio vezes.
A pessoa é levada meio, vai dar dois elevada meio e A raiz de dois.
Isso aqui vai dar dez e aí a gente vai fazer que expressão é igual a dez dividida por raiz de dois lembra como racionaliza?
Isso aqui eu vou multiplicado por raiz de dois embaixo e raiz de dois incide em cima vai ficar dez raiz de dois embaixo se focar raiz de dois vezes raiz de dois dois dez, dividido por dois cinco.
Isso aqui vai dar cinco raiz de dois esse e del y compensado tá bom del x compensado Vai ser duas vezes isso que eu já descobri que o x é igual a dois e p de x então eu fiz a demanda compensada o x dez raiz de dois.
Chegamos A isso é o que o z entender quanto que é o meu gasto o meu gasto nessa situação de ótima e o meu gasto ele vai ser exatamente para isso.
E de x, desistisse mais preço de expressão dez existem, então vai ser o preço de o x vezes CES mais preço de pessoas que no caso vale quatro existem porque assim com o regida, isso cegado.
Vinte raiz de dois mais vinte raiz de dois é igual a quarenta dois Se pergunta, esse é o meu gasto.
Pergunta Demanda compensada por o x isso aqui por e são isso aqui acabou exercícios