Exercício Resolvido Estrutura Cristalina dos Metais

Para resolver esse exercício podemos calcular a densidade do metal considerando os dois tipos de estrutura dadas. A estrutura que obtiver o valor de densidade mais próximo à densidade experimental será, provavelmente, a estrutura real.

Lembrando que a massa de cada átomo é equivalente à massa molar ($MM$)do elemento dividida pela constante de Avogadro ($N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$):

$m_{Átomo} = \dfrac{MM}{N_A}$

Vamos fazer o cálculo para uma estrutura cúbica de face centrada (CFC) e para uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC).

1. Estrutura cúbica de face centrada (CFC)

O comprimento $a$ da aresta de uma célula unitária CFC é dado por:

$a=8^{1/2} \cdot r$

Agora, sabendo que:

$d= \dfrac{m}{V}$

E o volume de um cubo é:

$V= aresta^3$

Podemos dizer que:

$d=\dfrac{m}{a^3}$

Substituindo a massa e a aresta, e considerando que uma célula unitária CFC contém aproximadamente $4$ átomos:

$d= \dfrac{\dfrac{4MM}{N_A}} {(8^{1/2} \cdot r)^3}= \dfrac{{4MM}} {{N_A} \cdot 8^{3/2} \cdot r^3}$

Vamos transformar a unidade de raio para $cm$:

$144\ pm = 1,44 \cdot 10^{-8}\ cm$

Agora, podemos substituir todos os valores. No enunciado foi informado o raio $\left(\rho = 144\ pm= 1,44 \cdot 10^{-8}\ cm\right)$ e pela tabela periódica, sabemos que a massa molar da prata é $107,86\ u$.

$d= \dfrac{4 \cdot 107,86} {{6,022 \cdot 10^{23}} \cdot 8^{3/2} \cdot (1,44 \cdot 10^{-8})^3} = 10,63\ g \cdot cm^{-3}$

2. Estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)

O comprimento da aresta de uma célula unitária CCC é dado por:

$a = \dfrac{4 \cdot r}{3^{1/2}}$

Agora, sabendo que:

$d= \dfrac{m}{V}$

E o volume de um cubo é:

$V= aresta^3$

Podemos dizer que:

$d=\dfrac{m}{a^3}$

Substituindo a massa e a aresta, e considerando que uma célula unitária CCC contém aproximadamente $2$ átomos:

$d= \dfrac{\dfrac{2MM}{N_A}} {\dfrac{4r}{(3^{1/2})^3}}= \dfrac{3^{3/2} \cdot M}{32 \cdot N_A \cdot r^3}$

Agora, podemos substituir todos os valores. No enunciado foi informado o raio $\left(\rho = 144\ pm= 1,44 \cdot 10^{-8}\ cm\right)$ e pela tabela periódica, sabemos que a massa molar da prata é $107,86\ u$.

$d= \dfrac{3^{3/2} \cdot 107,86}{32 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \cdot (1,44 \cdot 10^{-8})^3} = 9,43\ g \cdot cm^{-3}$

Comparando os dois valores de densidade vemos que o valor obtido para a estrutura cúbica de face centrada $\left(d_{CFC} = 10,63\ g \cdot cm^{-3}\right)$ está mais próximo do valor experimental $\left(d=10,5\ g \cdot cm^{-3}\right)$.

Resposta esperada: Cúbica de face centrada, pois $\boldsymbol{d_{CFC} = 10,63\ g \cdot cm^{-3}}$.