Exercício Resolvido Função Indireta

Primeiramente, precisaremos encontrar as demandas marshallianas desse consumidor para os bens $X$ e $Y$.

Olhando para a cara da função sabemos que ela é uma função de bens complementares:

$U(X,Y)=min \left(x,\dfrac{y}{2} \right)$

Por consequência, sabemos que na escolha ótima $X=\dfrac{Y}{2}$, ou analogamente que $Y=2X$.

Também temos que a restrição orçamentária desse consumidor é $p_xX+p_yY=I$.

Substituindo $Y$ por $2X$ na restrição ficamos com:

$p_xX +p_y2X=I$

Isolando $X$, chegamos à demanda marshalliana desse bem:

$X^*=\dfrac{I}{p_x+2p_y}$

Com a relação que encontramos ($Y=2X)$, temos que a demanda marshalliana para o bem $Y$ será:

$Y^*= 2 \cdot{X^{*}}=\dfrac{2I}{p_x+2p_y}$

Agora que temos as demandas marshallianas, basta jogar elas na função de utilidade para encontrarmos a nossa utilidade indireta:

$V(p_x,p_y,I)=min \left(\dfrac{I}{p_x+2p_y},\dfrac{1}{2}\dfrac{2I}{(p_x+2p_y)} \right)$

$V(p_x,p_y,I)=min \left(\dfrac{I}{p_x+2p_y},\dfrac{I}{p_x+2p_y} \right)$

Essa ainda não é a nossa função de utilidade indireta.

Note que a função pede o mínimo e como esses termos são iguais, o mínimo entre eles é $\dfrac{I}{p_x+2p_y}$.

Assim, podemos reescrever a nossa utilidade indireta como:

$V(p_x,p_y,I)=\dfrac{I}{p_x+2p_y}$

Resposta esperada: $\boldsymbol {V(p_x,p_y,I)=\dfrac{I}{p_x+2p_y}}$.