Exercício Resolvido Demanda Compensada

Sabemos que a nossa função utilidade é : $U(X,Y)=x^{0,5} +3y^{0,5}$. Portanto, temos que o indivíduo dá mais peso para o bem $y$ (tomate), e que essa função representa a escolha de bens substitutos perfeitos.

Bem, o preço do tomate ($p_y$) é $3$, e o preço do feijão ($p_x$) é$$ $1$. Assim, essa não será uma solução de canto, e temos que o indivíduo consumirá ambos os bens. Logo, faremos a minimização de dispêndio para descobrir as demandas compensadas de cada bem.

Minimizaremos $p_xX+p_yY$, sujeito a $x^{0,5} +3y^{0,5}=\bar{U}$. Assim, o nosso lagrangeano fica:

$L_{(x,y,k)}=p_xX+p_yY-k(x^{0,5} +3y^{0,5}-\bar{U})$

Condições de Primeira Ordem ($CPO$):

$L_x: p_x-k0,5x^{-0,5}=0$

$L_y: p_y-k0,5\cdot{3} y^{-0,5}=0$

$L_k:$ $x^{0,5} +3y^{0,5}-\bar{U}=0$

Dividindo $L_x$ por $L_y$ encontramos :

$y^{0,5}=\dfrac{3x^{0,5}p_x}{p_y}$

Note que é mais fácil substituirmos $y^{0,5}$ , pois na nossa função utilidade temos $y^{0,5}$

Substituindo em $L_k$ (ou na nossa restrição) :

$\bar{U}=x^{0,5}+3\cdot\dfrac{3x^{0,5}p_x}{p_y}$

Isolando o nosso $x^{0,5}$, encontramos a demanda compensada por feijão:

$x^c=[\dfrac{p_y\bar{U}}{(p_y+9p_x)}]^2$

Resposta Esperada (Demanda Compensada): $\boldsymbol{x^c=[\dfrac{p_y\bar{U}}{(p_y+9p_x)}]^2}$