A Equação de Slutsky: Dedução
Agora galera, veremos como mensurar os efeitos de uma variação do preço!
Bora?
Quando há mudanças no preço de um bem, a gente tem dois efeitos sobre a demanda desse bem : o efeito renda e o efeito substituição.
O efeito renda é o quanto do bem é consumido após a mudança de preços, porque há alteração da inclinação da reta de restrição orçamentária.
Agora, o efeito substituição é o quanto do bem é consumido após a mudança de preços, após a troca de um bem por outro, ao longo da mesma curva de utilidade.
Até aqui, barbada, não?
Bom, vamô ver isso matematicamente: A gente parte da curva de demanda compensada: E oá galerinha, no ponto ótimo a demanda compensada é igual à demanda marshalliana, assim: X compensado igual a X marshalliano Olha aqui, a gente também sabe que no ótimo, pelo problema dual, a renda é igual ao dispêndio, logo, a gente substitui
a renda pela função dispêndio e ficamos com isso: A gente quer saber a variação dessa demanda após uma mudança no preço do bem X, assim, derivamos em relação ao preço de x e ficamos com isso aqui: A derivada do preço em relação a ele mesmo é 1!
E ó só!
apareceu o Lema de Chéparde, isso quer dizer que a gente tem a demanda compensada de X Assim, a gente fica com a seguinte expressão: Também sabemos que no ótimo o dispêndio é igual a renda, daí que a derivada de X em relação ao dispêndio é igual a derivada de X em relação a renda.
Organizando a coisa toda, a gente fica com isso aqui: Onde a derivada do X compensado em relação ao preço de X é o efeito substituição, porque mostra a variação do consumo do bem ao longo da mesma curva de utilidade.
Que é sempre negativo!
E menos a demanda compensada de X vezes a derivada de X em relação a renda é o efeito renda.
Atenção galera!
importante notar que esse sinal negativo aqui faz parte do efeito renda.
E a gente tem que lembrar que um bem é classificado como normal se a derivada da demanda marshalliana em relação a renda for positiva e aí que como a demanda compensada por X é sempre positiva, temos que o efeito renda para um bem normal é negativo.
Note o sinal negativo na frente dos termos positivos!
E mais!
para um bem normal, os sinais do efeito renda e do efeito substituição vão na mesma direção.
Agora, se o bem fosse inferior o efeito renda teria sinal positivo, a derivada da demanda marshalliana com relação a renda para um bem inferior é negativa.
Vezes a demanda compensada de X, que é sempre positiva, a gente tem uma parcela com o sinal negativo.
Essa parcela negativa, com o sinal de menos na frente, fica positiva Aí que o efeito renda e o efeito substituição teriam sinais opostos e o efeito final dependerá de qual sinal é maior.
A gente tem uma exceção que é o famoso Bem de Giffen, o tamanho do efeito renda, em módulo, supera o tamanho do efeito substituição em módulo, logo o efeito total em módulo é maior do que zero.
