Escolha do Consumidor: Maximização por Lagrange
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beleza galera, Vou explicar que agora um pouco sobre o método de Lagrange ou pelo método do lagrangeano, ele é um método que a gente vai usar para resolver o nosso problema de maximização da utilidade.
Então vamos ver primeiro como que a gente escreve esse problema.
Gente escreve que a gente quer maximizar A nossa utilidade que pode ser de dois, três quando bem se quiser sujeito à então esse inglês objetivo significa que a gente vai escrever as nossas restrições daqui para frente.
A gente tem a nossa restrição orçamentária, tá bom A restrição orçamentária, a renda é igual a ao preço do bem.
Fiz vezes bens quantidade do B eixo x, mas o preço do bem e talvez A quantidade do bem o y ia gente pode continuar essa restrição A eternamente.
Estavam só um asterisco aqui sobre a restrição orçamentária pessoal para o método do Lagrange, a gente precisa que um dos lados dessa equação aqui seja igual a 0 tá bom tenho meu normalmente faço.
Vou passar essa renda para lá, então eu posso escrever essa restrição orçamentária aqui como p de o x existir CES mais p de vez, Ex- Ibson menos perigosa estavam só isso.
A gente vai usar essa restrição aqui é a mesma coisa show, então o primeiro passo.
Esse e são ver que é muito fácil fazer por Lagrange sempre vai ser igual estiver três bens quatro bem, cinco bens vai ser a mesma coisa, por isso que esse método é tão maravilhoso.
Então vamos em primeiro lugar você vai montar o que a gente chama de função lagrangeano, então A função lagrangeano nada mais e gente pode chamar A de se ele.
Vai ser uma funçãozinha o que é se vai ser se ele esse ali basicamente vai ser a minha utilidade, então e A função que eu vou quer ainda maximizar a realidade, se pessoas e aí eu vou colocar de aço aqui menos lambda lambda p1 e aí a gente esse lambda m1 parâmetro que estou criando aqui.
Ele faz parte do método do lagrangeano tá bom.
Eu estou criando esse a variável ela não vai ser tão importante para
a gente descobrir as quantidade, qualquer cinto só precisa criar ela seja vão entender porque não é a utilidade.
Menos essa a variável que eu criei vezes da minha restrição orçamentária os x tem que lembrar de sempre os A restrição orçamentária que tenham zero do lado do outro lado da equação a gente vai ficar com o p de os x mais p de pessoas percepção menos show.
Esse é o nosso lagrangeano essa função lagrangeana.
Quando você tiver com isso aqui feito vai ficar muito mais fácil.
A gente resolve o nosso problema para a gente poder achar então quais são os x del y que maximizam a nossa utilidade sujeita a nossa restrição orçamentária a gente vai com achar as condições de primeira ordem as condições de primeira ordem.
Basicamente parece um nome bonito CPO, mas basicamente que eu vou fazer eu vou derivar o meu lagrangeano, então vou derivar essa função aqui em relação a X isso eu também vou derivar essa função aqui em relação à pessoa.
Se tivesse mais um B estivesse bem de 0 B Bem, eu ia só derivando em relação a todos os bens e a minha, as minhas condições de primeira ordem.
Vai ser que essas derivadas tem que valer p0 simples assim pessoal tem mais uma condição de primeira ordem que você tem que saber se eu deriva ao meu lagrangeano em relação ao meu parâmetro que eu criei aqui, que é o meu multiplicador de Lagrange, quer chama esse lambda aqui, então eu tenho que derivar relação a Y isso igual a 0 também.
Essas são as minhas condições de primeira ordem.
Eu vou fazer isso rapidinho só para entender como funciona uma primeira derivar relação a X o x Olha para isso aqui como derivar primeiro esse aqui A utilidade eu vou derivar dela em relação a X isso eu vou deixasse A derivada de o a em relação à beleza.
Agora tem os x aqui também vamos derivar essa parte aqui gente derivar essa parte a gente vai chegar em fazer de laranja para ficar bem claro, vai ficar menos lambda peixes tá bom regra de derivação tem estar claro, isso tudo tem que ser igual a zero.
Beleza gente faz e proíbe e são aqui a gente vai t então que A derivada de em relação a Y pessoas menos lambda PIB estão acompanhando todo, levando em relação à expressão isso também letra Q sei lá causa ela colocou ia se eu.
Deriva isso aqui em relação à lambda eu vou chegar em p de difícil e de x mais p de percebe expressão menos e igual A p0.
Olha que loucura pessoal Essa é a minha restrição orçamentária, então uma das condições de primeira ordem que o nosso problema tem que satisfazer e a própria restrição orçamentária beleza Então eu achei as minhas condições de primeira ordem em terceiro lugar que eu vou ter que fazer eu vou é igual a lambda com lambda como que funciona isso?
Tenho lambda aqui não tenho, eu tenho um lambda que por enquanto a gente ignora esse aqui vamos olhar para essas duas eu vou fazer o seguinte vou isolar lambda aqui então aqui eu vou t lambda igual causa del U del x sobre peixes aqui eu vou t lambda igual A del U del y e sobre w e são beleza pessoas A lei lambda lambda tem que ser igual A mudando é a mesma coisa, então é isso que eu passo três fala para fazer, então vou igual a mais duas del U sobre Deus del U aula derivada Dilma, relação a X e CES Perfis é igual a derivada de em relação à expressão py acabou e digo mais se você ordena esses termos aqui você chega que a utilidade marginal em relação a X isso sobre a utilidade marginal relação a Y expressão houve sim inversa se vai ser igual módulo da PM é só multiplicar em Cruz você vai descobrir a regrinha da CPTM por aqui, beleza e terminou isso aqui Você vai ter uma equação aqui em função de chiese pessoal e você vai ter a nossa restrição orçamentária que é outra equação tem função de você vai usar essas duas e resolver um sisteminha Estavam esse e método de Lagrange só recapitulando bem rápido para você.
Primeiro lugar você tem lá seu problema.
Você vai escrever função lagrangeano que a utilidade menos um lambda que é um multiplicador qualquer que eu inventei aqui vezes a sua restrição lembra de deixar um dos lados igual a 0 aí as condições de primeira ordem e deriva relação a X dez igual a 0 derivar relação a Y inversa igual a 0 derivar em relação à lambda igual a 0 beleza se você vai fazer lambda é igual a lambda.
Você vai ter uma equação.
Você vai ter duas equações que era a sua restrição orçamentária.
Se você resolve sisteminha quando você começa a fazer exercícios e exemplo, vai ficar bem mais intuitivo e claro, mas você já sabe como é um método para fazer multiplicador de Lagrange.