Lista2 - calculo, Exercícios de Engenharia Mecânica

Baixe Lista2 - calculo e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 2a. Lista de Exerćıcios - 1o. semestre de 2011 1. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: (a) ∫ γ x ds, γ(t) = (t3, t), 0 ≤ t ≤ 1. Resp. (10 √ 10− 1)/54. (b) ∫ γ xy4 ds, γ é a semi-circunferência x2 + y2 = 16, x ≥ 0. Resp. 1638, 4. (c) ∫ γ (x− 2y2) dy, γ é o arco da parábola y = x2 de (−2, 4) a (1, 1). Resp. 48. (d) ∫ γ xy dx+ (x− y) dy, γ consiste dos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2). Resp. 17 3 . (e) ∫ γ xyz ds, γ : x = 2t, y = 3 sen t, z = 3 cos t, 0 ≤ t ≤ π/2. Resp. 9 √ 13π/4. (f) ∫ γ xy2z ds, γ é o segmento de reta de (1, 0, 1) a (0, 3, 6). Resp. 3 √ 35. (g) ∫ γ x3y2z dz, γ é dada por x = 2t, y = t2, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1. Resp. 16 11 . (h) ∫ γ z2 dx − z dy + 2y dz, γ consiste dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (0, 1, 1), de (0, 1, 1) a (1, 2, 3) e de (1, 2, 3) a (1, 2, 4). Resp. 77 6 . 2. Calcule ∫ γ ~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (x2 + y)~i − 7yz~j + 2xz2~k e γ é a curva ligando o ponto (0, 0, 0) a (1, 1, 1) nos seguintes casos: (a) γ(t) = (t, t2, t3); Resp. −11 15 . (b) γ é composta dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0) e depois a (1, 1, 1).Resp.1. 3. Calcule ∫ γ ~F · d~r para (a) ~F (x, y) = y~i + (x2 + y2)~j, onde γ é o arco de circunferência γ(x) = (x, √ 4− x2), ligando (−2, 0) a (2, 0). (b) ~F (x, y, z) = 2(x + y)~i + (x − y)~j, onde γ é a elipse de equação x2 a2 + y 2 b2 = 1, percorrida uma vez em sentido anti-horário. Resp. (a) 2π, (b) −πab. 4. Calcule (a) ∫ γ x dx+(y+x) dy+z dz, sendo γ a intersecção das superf́ıcies z = x2 +y2 e z = 2x+2y−1, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário; (b) ∫ γ (2y+ 1) dx+ z dy+x dz, sendo γ a intersecção das superf́ıcies x2 + 4y2 = 1 e x2 + z2 = 1, com y ≥ 0, z ≥ 0, percorrida uma vez do ponto (1, 0, 0) ao ponto (−1, 0, 0); (c) ∫ γ y dx+ z dy+x dz, sendo γ a intersecção das superf́ıcies x+y = 2 e x2 +y2 + z2 = 2(x+y), orientada de modo que sua projeção no plano Oxz seja percorrida uma vez no sentido horário; (d) ∫ γ x dx + (y + x) dy + z dz, sendo γ a intersecção das superf́ıcies z = xy e x2 + y2 = 1, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário; (e) ∫ γ x2 dx+x dy+ z dz, sendo γ a intersecção das superf́ıcies z = x 2 9 e z = 1− y2 4 , orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti horário; (f) ∫ γ y2 dx + 3z dy, sendo γ a intersecção das superf́ıcies z = x2 + y2 e z = 2x + 4y, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti horário; 1 (g) ∫ γ z dy− x dz, sendo γ a intersecção do elipsóide x2 6 + y 2 4 + z 2 6 = 4 3 com o plano x+ z = 2, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Resp. (a) −π, (b) −2, (c) −2π √ 2, (d) π, (e) 6π, (f) 10π, (g) −2π √ 3. 5. Calcule (a) ∫ γ 2x dx + (z2 − y2 2 ) dz, onde γ é o arco circular dado por x = 0, y2 + z2 = 4, de (0, 2, 0) a (0, 0, 2). Resp.−8 3 , (b) ∫ γ (x+y) dx−(x−y) dy x2+y2 , onde γ é a circunferência x2 +y2 = a2, percorrida uma vez no sentido horário. Resp. 2π (c) ∫ γ √ y dx + √ x dy, sendo γ a fronteira da região limitada por x = 0, y = 1 e y = x2, percorrida uma vez no sentido horário. Resp. − 3 10 . 6. (a) Determine a massa de um arame cujo formato é o da curva γ(t) = (2t, t2, t2), onde 0 ≤ t ≤ 1, e a densidade de massa em cada ponto é δ(x, y, z) = x. Resp. 2 √ 3− 2 3 . (b) Um cabo delgado é dobrado na forma de um semi-ćırculo x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Se a densidade é δ(x, y) = x2, determine a massa e o centro de massa do cabo. Resp. 4π, ( 16 3π , 0). (c) Determine a massa e o centro de massa de um fio no espaço com o formato da hélice x = 2 sen t, y = 2 cos t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ 2π, se a densidade é uma constante k. Resp. 2 √ 13kπ, (0, 0, 3π). 7. Se um cabo com densidade linear ρ(x, y, z) tem o formato de uma curva γ do espaço, seus momentos de inércia Ix, Iy e Iz, em relação aos eixos x, y e z, respectivamente, são definidos por Ix = ∫ γ (y2 + z2)ρ(x, y, z) ds; Iy = ∫ γ (x2 + z2)ρ(x, y, z) ds; Iz = ∫ γ (x2 + y2)ρ(x, y, z) ds Determine os momentos de inércia do cabo do Exerćıcio 6(c). 8. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças ~F (x, y) = x~i + (y + 2)~j ao mover um ponto ao longo da ciclóide ~r(t) = (t− sen t)~i+ (1− cos t)~j, 0 ≤ t ≤ 2π. Resp. 2π2. 9. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: (a) ∮ γ x2y dx+xy3 dy, onde γ é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), orientado positivamente. Resp. −1/12. (b) ∮ γ (x+ 2y) dx+ (x− 2y) dy, onde γ consiste do arco da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) e do segmento de reta de (1, 1) a (0, 0), orientada positivamente. Resp. −1/6. (c) ∮ γ (y + e √ x) dx + (2x + cos y2) dy, onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x2 e x = y2 percorrida no sentido anti-horário. Resp. 1/3. (d) ∮ γ x2 dx+ y2 dy, γ é a curva x6 + y6 = 1, sentido anti-horário. Resp. 0. (e) ∮ γ xy dx + 2x2 dy, γ consiste do segmento de reta unindo (−2, 0) a (2, 0) e da semi-circunferência x2 + y2 = 4, y ≥ 0, orientada positivamente. Resp. 2π. (f) ∮ γ 2xy dx+ x2 dy, γ é a cardióide ρ = 1 + cos θ orientada positivamente. Resp. 3π 2 . (g) ∮ γ (xy+ ex 2 ) dx+ (x2− ln(1 +y)) dy, γ consiste do segmento de reta de (0, 0) a (π, 0) e do arco da curva y = senx, orientada positivamente. Resp. π. 2