Análise Dinâmica de Sistemas Múltiplos: Equilíbrio e Deslocamentos em Coordenadas Gerais, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Análise Dinâmica de Sistemas Múltiplos: Equilíbrio e Deslocamentos em Coordenadas Gerais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 61 9. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE 9. ANÁLISE DINÂMICA de SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE Num sistema com N graus de liberdade, a solução depende de N parâmetros. No caso dos pórticos planos, por exemplo, tem-se Para um sistema de forças qualquer: Para um sistema de forças horizontais apenas: 3 G.L. por nó 1 G.L. por andar A caracterização do comportamento dinâmico da estrutura requer a definição de Matriz de RIGIDEZ Matriz de MASSA Matriz de AMORTECIMENTO K M C 9.1 MATRIZ DE RIGIDEZ fuK = Como é bem conhecido Kij – Força de restituição elástica desenvolvida na direcção i devida a um deslocamento unitário na direcção j FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 62 Quando a massa é distribuída, procede-se do seguinte modo Neste exemplo, “não havendo massa nos pilares”, não há transmissão de forças de inércia entre pisos, i.e. m21 = m31 = m23 = 0, donde m1 m2 m3 31m 21m m11u1 1.0 1u u3 4u u2 x u(x) ψ (x)1 9.2 MATRIZ DE MASSA De modo semelhante para a matriz de massa, designa-se mij – Força de inércia desenvolvida na direcção i devida a uma aceleração unitária na direcção j No caso de massas concentradas só nas direcções dos g.l. escolhidos:           = 3 2 1 00 00 00 m m m M Matriz de Massa Diagonal Seja uma aceleração na direcção de u1. Por derivação de u(x) em ordem ao tempo, obtém-se ( ) ( ) ( )tuxtxu 11, ψ= ( ) ( ) ( )tuxtxu 11, &&&& ψ= e as forças de inércia correspondentes vêm ( ) ( ) ( )tuxmtxum 11, &&&& ψ= FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 65 Para uma estrutura com N graus de liberdade, a condição de determinante nulo conduz a uma equação polinomial de grau N nos w2. Trata-se da Equação Característica do sistema, da qual se pode obter N soluções que são as frequências dos N modos de vibração dos sistema. 22 2 2 1 ,,, Nwww K Para cada wn , temos o correspondente φn, modo de vibração que se obtém resolvendo o seguinte sistema de equações: que tem uma simples infinidade de soluções (ou seja, o vector φn não é determinado em grandeza). Obtém-se uma solução particular, por exemplo, fazendo unitária uma das componentes do vector: φ1n=1 . O sistema, de N-1 equações em ordem às restantes componentes de φn, permite determinar este vector: Vector próprio que caracteriza a deformada do n -ésimo modo de vibração.             φ φ φ =φ Nn n n n M 2 1 ( ) 02 =φ− nn MwK A determinação de valores e vectores próprios pode ser feita com recurso a diversos métodos numéricos (método de Jacobi, de Stodola, de sequências de Sturm, de iterações por sub-espaços) FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 66 9.5.1 Condições de Ortogonalidade Sejam dois modos de vibração φm e φn. Para o modo φn tem-se 43421 nf MwK nn n φ=φ 2 Forças de inércia De igual forma para o modo φm i j f jninf nφ φ imf jmf m Aplicando o teorema de Betti, pode escrever-se ( ) ( ) n T mmm T nn n T mmm T nn n T m T MwMw MwMw ff mn φφ=φφ φφ=φφ φ=φ 22 22 donde ( ) 022 =φφ− m T nmn Mww Assim, se resulta22 mn ww ≠ n m se ≠=φφ 0 m T n M Do mesmo modo se pode proceder em relação à matriz de rigidez: n m se ≠=φφ 0 m T n K 43421 mf MwK mm m φ=φ 2 Estas expressões são as designadas CONDIÇÕES de ORTOGONALIDADE dos modos de vibração em relação à matriz de MASSA e à matriz de RIGIDEZ. FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 67 1P 5.0 3. 0 3. 0 =160 kN =160 kN2P 0. 3x 0. 3 0. 3x 0. 3 I=∞ I=∞ Exemplo: Considere-se o pórtico de 2 andares abaixo representado, com vigas supostas de rigidez infinita. 27 /102 mkNE ×= a) Matriz de RIGIDEZ 1.0 21K K11 1.0 K12 K22 kN/mK kN/mK kN/mK kN/m l EIK 24000 12000 12000 12000212 22 12 21 311 = −= −= =×=       − − = 2400012000 1200012000 K b) Matriz de MASSA tonmi 33.168.9 160 ==       = 33.160 033.16 M FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 70 9.6.1 Equações de Equilíbrio Desligadas Sem Amortecimento Retomando a equação ( )tfuKuM =+&& e substituindo u e ∑ = φ= N i ii yu 1 &&&& ( )tfyKyM N i ii N i ii =      φ+      φ ∑∑ == 11 && Pré-multiplicando por Tnφ ( )tfyKyM T n N i ii T n N i ii T n φ=      φφ+      φφ ∑∑ == 11 && e atendendo a que, devido às condições de ortogonalidade, se tem nn T nNN T nnn T n T n T n N i ii T n yMyMyMyMyMyM &&&& 43421 K&&K&& 43421 && 43421 && φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=      φφ ∑ = 0 2 0 21 0 1 1 nn T nNN T nnn T n T n T n N i ii T n yKyKyKyKyKyK φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=      φφ ∑ = 43421 KK 43421321 0 2 0 21 0 1 1 resulta ( )tfyKyM T nnn T nnn T n φ=φφ+φφ && Definindo ( ) ( )tFtF KK MM T nn n T nn n T nn φ= φφ= φφ= massa generalizada para o modo n rigidez generalizada para o modo n força generalizada para o modo n FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 71 Obtém-se a seguinte equação de equilíbrio dinâmico no modo n ( )tFyKyM nnnnn =+&& que é uma equação com apenas uma variável incógnita. Portanto, em vez de um sistema com N equações diferenciais a N incógnitas, fica-se reduzido a N equações com apenas uma incógnita cada – são as N equações de equilíbrio desligadas. Pode ainda verificar-se que nnn MKw /2 = De facto, pré-multiplicando a equação T nnn MwK n φφ=φ por2 n n nn M n T n K n T n M Kw MwK MwK n n n n n = = φφ=φφ 2 2 2 43421321 A resolução das N equações desligadas permite determinar as coordenadas modais Y1 , Y2 , ... , Yn , ... , YN , e a deformada final obtém-se, tal como já apresentado, somando as contribuições dos vários modos de vibração: ∑ = φ= N i ii yu 1 Esta é a base do designado MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO MODAL !!! Verifica-se ainda que, sobrepondo apenas as contribuições dos primeiros m modos de vibração ( com m << N ) se obtêm excelentes resultados ∑ = φ≅ m i ii yu 1 poupando-se um significativo esforço de cálculo em relação à solução exacta. FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 72 9.6.2 Equações de Equilíbrio Desligadas Com Amortecimento Admitindo a ortogonalidade dos modos de vibração, também em relação à matriz de massa, i.e. n m se ≠=φφ 0 m T n C e definindo o amortecimento generalizado para o modo n, resulta n T nn CC φφ= ( )tFyKyCyM nnnnnnn =++ &&& ou ( ) n n n n n n n n n M tFy M Ky M Cy =++ &&& Tal como para um simples oscilador de 1 g.l., pode definir-se o amortecimento crítico para o modo n que virá dado por nn crit n wMC 2= e o correspondente coeficiente de amortecimento do modo n será nnnncrit n n n wMCC C 2ξ=⇒=ξ obtendo-se finalmente ( ) n n nnnnnn M tFywywy =+ξ+ 22 &&& uma expressão formalmente idêntica à obtida para um oscilador de 1 g.l. Portanto, todas as metodologias abordadas para obtenção da resposta forçada de osciladores de 1 g.l. são directamente aplicáveis ao cálculo da resposta modal, em particular o integral de Duhamel e as expressões da resposta à acção sísmica. Fica assim bem patente a vantagem do método de sobreposição modal. FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 75 10.1 ANÁLISE MODAL A generalização da equação de equilíbrio dinâmico de sistemas de 1 g.l. sob solicitação sísmica, agora para sistemas de N g.l. conduz a 0=++ uKuCuM t &&& e atendendo a que { } { } gtgt uuuuuu &&&&&& 11 +=+= e { } guMuKuCuM &&&&& 1−=++ Em que resulta Em que {1} representa uma matriz coluna de valores unitários. ef nnnnnnn FyKyCyM =++ &&& De acordo com o que foi visto no método de sobreposição modal, a equação de equilíbrio dinâmico associada ao modo de vibração n é { } gTn ef n u nL MF && 43421 1φ= sendo Ln o Factor Modal de Excitação Sísmica g n n nnnnn uM Lywywy n &&&&& =+ξ+ 22 10. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE 10. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 76 A resolução do sistema de um grau de liberdade guuwuwu &&&&& =+ξ+ 22 conduziu a Sd(w,ξ), o deslocamento que pode ser obtido no espectro de resposta. Assim, a equação para o modo de vibração n conduzirá a Porém, o valor máximo da resposta total não pode ser obtido, em geral, adicionando as máximas respostas modais, porque estes máximos não ocorrem todos ao mesmo tempo. ( ) ( )nna n n nnd n n n wSMw LwS M Ly n ξ=ξ= ,, 2 Alternativamente pode ser usado o Método da Combinação Quadrática Completa, válido para qualquer relação de frequências: O processo mais corrente para obter a máxima resposta total a partir dos valores espectrais é calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados das respostas modais: ...22 2 1max maxmax ++= uuu Este método é aplicável sempre que as frequências próprias dos modos de vibração que contribuem de forma significativa para a resposta estiverem bem separadas (i.e., se a relação entre duas quaisquer frequências estiver fora do intervalo 0.67 a 1.5). Caso não seja aplicável aquele método, deve-se adicionar as respostas modais correspondentes às frequências que não estão bem separadas. Se, por exemplo f2 e f3 não estão bem separadas: ( ) ...2423221max maxmaxmaxmax ++++= uuuuu ∑∑ = = = n i n j jiji uquu 1 1 max maxmax em que o coeficiente de correlação qij é dado por ( ) ( ) ( ) j i ij w wr rrr rrq = +ξ+− +ξ= ; 141 18 2222 232 FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 77 EXEMPLO: Continuação do problema do capítulo anterior e) Determinação das massas generalizadas f) Determinação dos factores modais de excitação sísmica g) Valores do espectro de resposta Seja ξ = 5% ; Terreno tipo 2 ; Acção Sísmica tipo I { } 57.22 618.0 1 33.160 033.16 618.01 111 =             =φφ= MM T { } 57.22 1 618.0 33.160 033.16 1618.0 222 =      −       −=φφ= MM T { } { } 42.26 1 1 33.160 033.16 618.011 11 =             =φ= ML T { } { } 24.6 1 1 33.160 033.16 1618.01 22 =             −=φ= ML T 2 2 2 1 /4000.7 /3107.2 2 1 scmSHzf scmSHzf a a =→= =→= h) Coordenadas modais my 00388.03.0 757.16 1.3 57.22 42.26 21 =××= my 00017.03.0 86.43 0.4 57.22 24.6 22 =××= coef. de sismicidade da zona FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 80 Donde a componente j do vector aceleração devida ao 1º modo vem j a ja ii ii j dg SwdS dF dF u 2 21 == ∑ ∑&& E as forças de inércia serão dadas por jjajjj dmwg SumF 211 == && Estas forças aplicadas na estrutura permitem obter a sua resposta à acção sísmica. Este método conduz a resultados que comparam bem com os obtidos pela análise modal. Resolução do problema em estudo pelo método de Rayleigh       = 0266.0 0399.0 d 160 kN d1 160 kN = 0.0399 = 0.02662d 918.2822 == ∑ ∑ ∑ ∑ i i ii ii d d dF dF 2scm/310Hz7.2918.288.9 2 1 =→=×= aSf π rad/s83.16=w kN 68.11 52.17 0266.0 0399.0 8.9 16083.16 8.9 3.01.3 2       =       ×××=F A resposta da estrutura à acção sísmica obtém-se determinando os deslocamentos e esforços devidos a esta acção. 11.68 kN 17.52 kN FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 81 Através de: Espectros de RESPOSTA Análise DINÂMICA Espectros de POTÊNCIA Análise DINÂMICA 10.3.1 Caracterização da Acção dos Sismos 10.3 ASPECTOS REGULAMENTARES (R.S.A.) Coeficiente Sísmico de Referência Método Simplificado de Análise Estática Dependem do Terreno: Tipo I , II ou III Dependem da Zona Sísmica: A , B , C ou D Coeficiente de Sismicidade α Há que considerar Duas Acções Sísmicas: Acção Sísmica Tipo 1 – corresponde a sismos de magnitude moderada a pequena distância focal Acção Sísmica Tipo 2 – corresponde a sismos de maior magnitude a maior distância focal 10.3.2 Determinação dos Efeitos da Acção dos Sismos Há diversos métodos com diferentes graus de rigor, generalidade e de complexidade. Método Simplificado de Análise Estática Métodos Gerais e “Exactos” CO MP LE XID AD E FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 82 i) MÉTODO PADRÃO Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica e Não-Linear gu&& u F u 40% 60% Redução para 60% Redução para 40% Elástico Fe,máx. Desde que a estrutura tenha DUCTILIDADE adequada, podem obter-se menores esforços, ou melhor: podem ser adoptadas menores forças sísmicas de dimensionamento. ii) Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica, Comportamento Linear e Coeficientes de Comportamento iii) Estruturas Planas, Análise Dinâmica, Comportamento Linear, Coeficientes de Comportamento e Correcção de Efeitos de Torção iv) Método Simplificado de Análise Estática v) Método de Recurso 0.22 α Fi FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 85 Valores e Distribuição das Forças Estáticas Estimativa da Frequência: Hz h bf Hz n f nHz n f 6 16 )(12 = = == Parede Tipo Estrutura Parede-Pórtico Tipo Estrutura pisos de nº Pórtico Tipo Estrutura ∑ ∑ = =β= n j jj n j j iik Gh G GhF i 1 1 aplicadas, em cada piso i, com as seguinte excentricidades relativas ao centro de massa Quando há simetria e distribuição uniforme de rigidez em planta pode afectar-se os resultados do seguinte factor de correcção dos efeitos de torção a x6.01+=ξ ae abe i ii 05.0 05.05.0 2 1 = += a b i CRi e2i 1ie Cgi iF onde x é a distância do elemento em estudo ao centro de massa (ou de rigidez, uma vez que ambos coincidem) As forças Fki nos pisos devem ser consideradas todas com as excentricidades e1i ou todas com e2i, conforme o que for mais gravoso para o elemento em estudo. FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 86 Justificação dos Valores e Distribuição das Forças Estáticas Quantificação da força de corte basal Distribuição de Rb em altura de acordo com a forma triangular invertida que tem por base a contribuição do 1º modo apenas e com uma configuração linear (aproximação aceitável apenas para estruturas regulares em altura). h1 ih h n mi mn n u n-1u ui u F1 Fi 2F Fn-1 nF Rb n n i i uh hu &&&& =       == n n iiiii h uhmumF && && ∑∑∑ ===       =      == n i ii n n n i n n ii n i ib hmh u h uhmFR 111 &&&&⇒ ∑∑ == = n i i n i ii n n mghm h u 11 β&&⇒ ( ) ∑ ∑ = ==      ∴ n i ii n i i n n hm m g h u 1 1β&& ∑⋅= = n i ib mgR 1 βComo: declive da deformada             == ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = n i ii n i i iin i ii n i i iii hG G hG hm m ghmF 1 1 1 1 ββEntão: FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 87 Excentricidade das forças sísmicas (RSA) (justificação) 0.05 a – Parcela que se destina a atender à componente da rotação do sismo (ou melhor à diferente intensidade com que actua nos diversos elementos verticais da base do edifício ao longo da direcção normal à da acção sísmica), e ainda ao facto de, havendo comportamento não linear, se gerarem assimetrias de rigidez porque um dos lados pode entrar primeiro em regime não-linear do que o seu simétrico, ficando portanto com menor rigidez. No caso de haver simetria estrutural e de massa, Cr = Cg , as excentricidades coincidem em valor (mas não em sentido, pelo que há que considerar ambos) 0.5 bi – Parcela para atender ao facto de a resultante das forças de inércia reais não passarem exactamente pelo centro de massa, devido à natureza dinâmica do problema, i.e., por existirem massas a vibrar que se podem deslocar, alterando portanto a posição da resultante das respectivas forças de inércia. aeabe iii 05.0//05.05.0 21 =+= 2ie 1ie gicric ib O factor de correcção para efeitos de torção em estruturas simétricas com rigidez uniformemente distribuída (ξ = 1+0.6 x/a) pode ser deduzido a partir da condição de que |e1i| = |e2i| = 0.05a e da distribuição uniforme de rigidez (ou seja, da distribuição uniforme de forças resistentes ao nível do piso).