Relatório de iniciação cientifica, Resumos de Física

Baixe Relatório de iniciação cientifica e outras Resumos em PDF para Física, somente na Docsity! Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais Faculdade de F́ısica Monografia Efeito Doppler Relativ́ıstico Marcos Vinicius de Sousa Silva Orientador: Ednilton Santos de Oliveira Belém, Novembro de 2013. 1 Sumário 1 Introdução 3 2 O Principio da Relatividade Especial 5 2.1 Os postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 As Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Consequências das Transformações de Lorentz 8 3.1 Dilatação do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Contração Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Efeito Doppler 11 4.1 Efeito Doppler Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.1 Observador móvel e fonte em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.2 Fonte móvel e observador em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1.3 Fonte e observador em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Efeito Doppler Relativ́ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Conclusão 17 2 Caṕıtulo 2 O Principio da Relatividade Especial 2.1 Os postulados Em 1905, em seu artigo já mencionado, Einstein propôs a teoria da relatividade es- pecial, e nela incorporou a constância da velocidade da luz. Ele descartou os conceitos da mecânica newtoniana baseados no prinćıpio da relatividade de Galileu propondo um novo principio da relatividade com o propósito de substituir o prinćıpio da relatividade de Galileu. Em resumo, a teoria da relatividade especial tem como base dois postulados: • O prinćıpio da relatividade – As leis da f́ısica são as mesmas para todos os referen- ciais inerciais. • O prinćıpio da constância da velocidade da luz – A velocidade da luz no vácuo, c, é uma constante e tem o mesmo valor para qualquer referencial inercial. O prinćıpio da relatividade de Einstein acaba se aprofundando mais que o prinćıpio da relatividade de Galileu, pois ele tenta englobar todas as leis f́ısicas, ao contrario de seu antecessor que tentava explicar apenas as leis da mecânica. Esse novo prinćıpio mostra que é imposśıvel escolher um sistema de referência preferencial, estando ele em repouso ou em movimento uniforme em relação a outro sistema; só é posśıvel descrever movimentos relativos entre os sistemas. O segundo postulo nos revela que a velocidade 5 da luz independe tanto do movimento da fonte quanto de quem a observa. Ele também explica o resultado nulo obtido por Michelson e Morley, pois eles buscavam um desvio no valor da velocidade da luz. Logo, com esse valor sendo constante, seria imposśıvel encontrar esse desvio, provando que o resultado obtido por Maxwell era verdadeiro. 2.2 As Transformações de Lorentz Com o surgimento da relatividade especial, nasceu a necessidade de se ter um novo conjunto de ferramentas para relacionar as coordenadas de um sistema de referência a outro. Essas ferramentas não poderiam ser as transformações de Galileu, pois já sabemos que elas são incoerentes com as equações de Maxwell. Antes mesmo de Einstein desenvol- ver a sua teoria, um f́ısico chamado Lorentz já havia obtido essas novas ferramentas, que foram chamadas de transformações de Lorentz. No entanto, o objetivo dele era conseguir uma forma de explicar o resultado nulo da experiência de Michelson e Morley sem abdicar da ideia do éter. Einstein conseguiu chegar nessas mesmas transformações sem adotar a existência do éter e tomando como verdade apenas os postulados da relatividade. Essas transformações são, no caso de dois observadores que têm eixos apontados na mesma direção e sua velocidade relativa tem apenas componentes no eixo x, dadas por: x′ = γ(x− vt), (2.1) y′ = y, (2.2) z′ = z, (2.3) t′ = γ(t− vx/c2), (2.4) onde: γ = 1/ √ 1− v2/c2, (2.5) sendo v a velocidade relativa. 6 Essas são as conhecidas transformações diretas de Lorentz. As inversas são dadas por; x = γ(x′ + vt′), (2.6) y = y′, (2.7) z = z′, (2.8) t = γ(t′ + vx′/c2). (2.9) Devemos notar que, para o caso em que a velocidade é muito pequena em comparação com a velocidade da luz, essas transformações recaem em: x′ = x− vt, (2.10) y′ = y, (2.11) z′ = z, (2.12) t′ = t, (2.13) que são exatamente as transformações de Galileu. Logo, se nota que as transformações de Galileu só são válidas no limite de baixas velocidades. 7 E assim então, x′b − x′a = γ(xb − xa)− vγ(tb − ta), obtendo então: L0 = γL (3.2) Sendo assim, o comprimento de uma barra ŕıgida ideal é máximo quando medido como sendo a barra em repouso relativo ao observador, alterando-se com o movimento desta, ao longo da direção do movimento, onde L0 é o comprimento da barra quando em repouso e L é comprimento da barra quando medido em movimento relativo com v. Quanto às dimensões da barra ao longo de y e z, perpendicular ao movimento relativo, segue que elas tem as mesmas medidas para ambos os observadores. 10 Caṕıtulo 4 Efeito Doppler 4.1 Efeito Doppler Clássico Consideremos um observador parado em uma local, quando neste local passa uma fonte sonora. O observador irá perceber uma variação na tonalidade do som, enquanto a fonte sonora se aproxima do observador a sua tonalidade sonora é maior do que no instante em que eles estão se afastando. Em 1842, Christian Johann Doppler escreveu uma artigo onde ele discutia o fato de que a cor de um corpo luminoso deveria modificar-se pelo movimento relativo do corpo com o observador e também mencionou de que forma esse fenômeno se aplicava as ondas sonoras [3]. Para explicarmos esse fenômeno, em sua forma não relativ́ıstica, devemos considerar três situações, uma com o observador móvel e a fonte em repouso, outra com o observador em repouso e a fonte em movimento e, por último, com ambos em movimento. 4.1.1 Observador móvel e fonte em repouso Utilizaremos ondas sonoras para analisar o efeito Doppler na situação em que a fonte está em repouso e o observador em movimento relativa a ela. Consideremos um observador O se movimentando em direção a uma fonte sonora, com velocidade V0 relativa a fonte. Primeiramente a fonte está em repouso em relação à Terra, e estará emitindo ondas sonoras com frequência f0 = 1/T0 = V/λ0, sendo T0 o peŕıodo, 11 λ0 o comprimento de onda e V a velocidade da onda sonora em relação ao ar estático. A frequência f0 representa a quantidade de frentes de onda emitidas em uma unidade de tempo. A frequência, f , que o observador irá medir representará a quantidade de frentes de onda que passam por ele em uma unidade de tempo. A distância entre duas frentes de onda emitidas será λ0. Com o movimento do obser- vado em relação a fonte sonora, com velocidade V0,ele irá percorrer uma distância V0/λ0 frentes de onda a mais do que as V/λ0 que teriam passado por ele se ele estivesse em repouso. Portanto o valor da frequência observada será: f = V/λ0 + V0/λ0. (4.1) Como o primeiro termo da soma é igual a f0, podemos reorganizar a equação anterior obtendo: f = f0(1 + V0/V ), (4.2) e esse valor obtido é mais agudo do que f0. Essa relação foi obtida para o observador se movimentando em sentido à fonte. Para o caso em que o observador está se afastando da fonte, a relação é dada por: f = f0(1− V0/V ), (4.3) gerando assim um som mais grave. Portanto, podemos generalizar o efeito Doppler para o caso da fonte em repouso, por: f = f0(1± V0/V ), (4.4) onde o sinal representa a direção do movimento do observador. 4.1.2 Fonte móvel e observador em repouso A partir de agora iremos supor que o observador está em repouso, e a fonte sonora irá se aproximar dele com velocidade u. Consideremos diversas fontes de onda emitidas consecutivamente pela fonte em diferentes posições, a intervalos de tempo de um peŕıodo T0 entre duas frentes consecutivas. Durante esse tempo a fonte percorre uma distância 12 Portanto uma equação que descreve o movimento de uma onda partindo da origem do sistema S ′ seria da forma: cos 2π ( x′ cos θ′ + y′ sin θ′ λ′ − f ′t′ ) . (4.19) No sistema S, a equação que descreve o movimento ondulatório terá a mesma forma: cos 2π ( x cos θ + y sin θ λ − ft ) , (4.20) onde f é a frequência medida pelo observador em S. Aplicando a equações (2.1) e (2.4), temos: cos 2π ( 1 λ′ x− vt√ 1− β2 cos θ′ + y sin θ′ λ′ − f ′ [t− (v/c2)x]√ 1− β2 ) . (4.21) Reordenando os termos, obtemos: cos 2π ( cos θ′ + β λ′ √ 1− β2 x+ sin θ′ λ′ y − (β cos θ′ + 1)f ′√ 1− β2 t ) . (4.22) Esta equação representa a mesma onda e deve ser a mesma da equação para o sistema S. Portanto, o coeficiente de x, y e t em cada equação devem ser idênticos. Para o Efeito Doppler devemos analisar a frequência da onda eletromagnética. Logo, igualando o coeficiente de t, temos: f = f ′ (1 + β cos θ′)√ 1− β2 . (4.23) Esta pode ser escrita inversamente, como: f ′ = f (1− β cos θ)√ 1− β2 . (4.24) Isto é: f = f ′ √ 1− β2 (1− β cos θ) . (4.25) Que nos fornece a frequência medida pelo observador S. Com isso, podemos considerar o caso em que θ = 0◦, caso em que observador e fonte se aproximam. Sendo assim, temos: 15 f = f ′ √ 1− β2 1− β , f = f ′ √ 1− β2 (1− β)2 , f = f ′ √ 1 + β 1− β , f = f ′ √ c+ v c− v . (4.26) Podemos ainda generalizar a equação acima, para que fique da seguinte forma: f = f ′ √ c± v c∓ v , (4.27) onde o sinal dependerá do movimento relativo entre o observador e a fonte. Este é o resultado para o efeito Doppler relativ́ıstico. Neste caso, ao contrario do efeito clássico, não importa a velocidade da fonte e do observador em relação ao meio, mas sim a velocidade relativa entre eles. 16 Caṕıtulo 5 Conclusão Podemos notar que é mais vantajoso trabalhar com o efeito Doppler relativ́ıstico do que com o clássico, pois agora não teremos mais a dependência do movimento do observador e da fonte em relação ao meio. E com essa visão relativ́ıstica é posśıvel prever outra forma do efeito Doppler, o efeito Doppler transversal, que não é previsto pela f́ısica pré-relativ́ıstica. Também é posśıvel verificar que, de acordo com a relatividade, o efeito Doppler tem relação com um outro efeito chamado de aberração. No entanto, classicamente esses dois efeitos são independentes um do outro. Esses resultados também podem ser obtidos através da análise tensorial. No entanto, essa não foi a nossa intenção neste trabalho, pois apenas tivemos como objetivo a análise de como o comportamento difere de um caso para o outro. Com o conhecimento adquirido, esperamos, ao continuar na linha de estudos apresen- tados aqui, adquirir as ferramentas matemáticas necessárias aos estudos sobre a Relativi- dade Geral. 17