Relatório Final da Iniciação Científica em Eletromagnetismo, Manuais, Projetos, Pesquisas de Eletromagnetismo

Baixe Relatório Final da Iniciação Científica em Eletromagnetismo e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS RELATÓRIO DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIETÍFICA SOLUÇÃO NUMÉRICA EM PROBLEMAS DE ELETROMAGNETISMO RELATÓRIO FINAL Período: agosto de 2015 a agosto de 2016 Orientador: Prof. Dr. Varese Salvador Timóteo Bolsista PIBIC CNPq: Luan Carlos Martins dos Santos/ RA: 156299 Curso: Engenharia de Telecomunicações Faculdade de Tecnologia Limeira, SP Agosto de 2016 RESUMO Sobre a óptica dos estudos de engenharia de telecomunicações, os problemas de eletrostática, em sua grande maioria, são considerados complexos devido aos cálculos matemáticos envolvidos a fim de se obter uma solução. Sendo assim, este projeto de pesquisa visa apresentar métodos computacionais de resoluções e análise de problemas desta área. Em resumo este projeto consiste em um trabalho envolvendo estudos e simulações (aplicações) de problemas de eletromagnetismo. O ambiente de programação e compilação utilizado para simular os problemas foi o Fortran 90 + IMSL7. Além disso, os problemas trabalhados foram calculados no software de matemática pura e aplicada, Mathematica, afim de se obter uma solução exata e, por fim, comparar com a simulação, pois, assim, é possível conferir a qualidade das simulações. Sendo assim, dois problemas foram trabalhados neste seguimento. O primeiro deles foi um caso envolvendo uma caixa com 6 faces, um cubo, grande o suficiente para que o potencial possa ser considerado nulo em suas paredes. Desta forma, a equação de Poisson teve uma importância, extremamente, fundamental neste processo e, portanto, foi implementada no Fortran 90 e no Mathematica para efeito de se obter soluções. O segundo problema foi envolvendo uma onda eletromagnética se propagando no espaço. Nesse sentido, diferentemente do primeiro problema analisado, esta aplicação teve influência, somente, do Mathematica. Num primeiro momento foi obtida uma solução numérica, posteriormente, uma solução analítica e, finalmente, ambas foram comparadas. Nesse último caso, por sua vez, as equações de Maxwell teve uma importância mais que fundamental, justamente, porque a aplicação mais primitiva deste quarteto de equações foi à onda eletromagnética. INTRODUÇÃO Em física clássica, no campo da eletricidade, ou mais precisamente, nos estudos de eletrostática, o problema mais fundamental que envolve o cálculo de um potencial elétrico, é o caso envolvendo uma carga elétrica puntiforme. extremamente, significativa na segunda parte do projeto (de fevereiro de 2016 a agosto de 2016). Entretanto, o interesse maior nesta primeira parte foi o potencial elétrico e, portanto, foi dada uma atenção especial a equação de Poisson: ∇2Φ = 4𝜋𝜌 E para resolver esta equação foi encontrada a função de Green que a satisfaz e, posteriormente, com deduções algébricas a solução foi encontrada: Φ(r) = ∫ ρ(r′) |r − r′| d3r′ O segundo passo foi estudar a plataforma de programação de matemática pura e aplicada, Mathematica. O interesse nesta ferramenta esteve atrelado a obtenção das soluções exatas dos problemas trabalhados tanto na primeira (de agosto de 2015 a fevereiro de 2016) quanto na segunda (de fevereiro de 2016 a agosto de 2016) parte do projeto. Nesse sentido, vale a pena citar os materiais de apoio: Tutorial Mathematica v5.0 para Windows4, e própria documentação do Mathematica 105. Sendo assim, os estudos foram explorados do básico aos cálculos mais elaborados, ou seja, das quatro operações da matemática (adição, subtração, multiplicação e divisão) ao cálculo integral e diferencial. Em seguida, o ambiente de programação e compilação usado para as simulações, Fortran 90, foi explorado. Este, por sua vez, não foi estudado profundamente, na realidade, foi algo mais superficial, ou seja, o suficiente para entender o algoritmo dos problemas selecionados para trabalhar. Desse modo, a documentação do Fortran 906, teve uma importância, extremamente, fundamental em todo o andamento do projeto. Além disso, a obra Numerical Reciper in Fortran 90, The Art of Parallel Scientific Computing7. Finalmente, para terminar o alicerce teórico e começar os trabalhos com as simulações dos problemas de eletromagnetismo, foi dado uma atenção especial para os métodos numéricos para integração de funções e soluções de equações diferenciais, matéria esta que rege o cálculo numérico. Nesse sentido, como material de apoio para este conteúdo foi usado a obra Cálculo Numérico (com aplicações)8. 2ª etapa: aplicações O problema que foi usado para os trabalhos com simulação foi um caso envolvendo uma caixa com 6 faces, ou melhor, um cubo com uma determinada distribuição de cargas elétricas e grande o suficiente para que o potencial elétrico possa ser considerado nulo em suas paredes, isto é, zero no infinito. Figura 1: Caixa com uma dada distribuição de cargas elétricas utilizada na simulação. Com isso, foi aplicado condições de contorno através da equação de Poisson, ∇2𝐺(𝑟, 𝑟′) = 4𝜋𝜌, no Mathematica utilizando o NDSolve e no Fortran 90 utilizando o Fast Poisson Solver (FPS) do IMSL7. Sendo assim, em primeiro lugar, foi desenvolvido um algoritmo algébrico no Mathematica envolvendo a equação de Poisson e a função de Green, ambas em coordenadas esféricas, com a mesma idéia dos estudos relatada na primeira etapa, ou seja, obter uma solução exata. Figura 2: Algoritmo da equação de Poisson e a representação gráfica da distribuição de carga do problema. Percebe-se que a distribuição de carga, ρ(r), de acordo com o algoritmo, é dependente do valor 𝜌0(distribuição de cargas quando 𝑟 = 0), onde 𝜌0 = 𝛼2 2𝜋 . A relação entre ρ(r) e 𝜌0 possui um comportamento muito semelhante a ρ(r): Figura 3: Razão entre ρ(r) e 𝝆𝟎. Em seguida, a solução da equação de Poisson foi calculada. Nesse sentido, sabendo que a função de Green que satisfaz a solução da equação de Poisson é ∇2𝐺(𝑟, 𝑟′) = 𝛿3(𝑟 − 𝑟′) e que a solução da função de Green pode ser 33. AY = -L 34. BY = +L 35. ! 36. AZ = -L 37. BZ = +L 38. ! Set boundary condition types 39. IBCTY(1) = 1 40. IBCTY(2) = 1 41. IBCTY(3) = 1 42. IBCTY(4) = 1 43. IBCTY(5) = 1 44. IBCTY(6) = 1 45. ! Coefficient of U 46. COEFU = 0.0 47. ! Order of the method 48. IORDER = 4 49. ! 50. ! Solve the PDE 51. ! 52. CALL FPS3H (PRHS, BRHS, COEFU, & 53. NX, NY, NZ, & 54. AX, BX, AY, BY, AZ, BZ, & 55. IBCTY, U) 56. ! 57. ! Steps in each direction (uniform mesh) 58. ! 59. DX = (BX - AX) / (NX - 1.0) 60. DY = (BY - AY) / (NY - 1.0) 61. DZ = (BZ - AZ) / (NZ - 1.0) 62. ! 63. ! Print the solution 64. ! 65. DO I=1, NX 66. ! WRITE(1,*) AX + (I-1)*DX, U(I,100,100) 67. DO J=1, NY 68. DO K=1, NZ 69. WRITE(1,*) AX + (I-1)*DX, AY + (J-1)*DY, AZ + (K-1)*DZ, U(I,J,K) 70. ENDDO 71. ENDDO 72. ENDDO 73. ! 74. ! 75. END 76. ! 77. ! Right-Hand Side of Eq. 78. ! 79. REAL FUNCTION PRHS (X, Y, Z) 80. REAL X, Y, Z 81. ! 82. REAL RHO, RHO0, ALPHA, R2, PI 83. ! 84. REAL ACOS, COS, EXP, SQRT 85. INTRINSIC ACOS, COS, EXP, SQRT 86. ! Right side of the PDE 87. PI = ACOS(-1.0) 88. ALPHA = 0.1 89. ! 90. R2 = X*X + Y*Y + Z*Z 91. ! 92. RHO0 = ALPHA**2.0 / (2.0*PI) 93. RHO = RHO0 * EXP(-ALPHA**2.0*R2) 94. ! 95. PRHS = 4.0 * PI * RHO 96. ! 97. RETURN 98. ! 99. END 100. ! 101. ! Right-Hand Side for BC 102. ! 103. REAL FUNCTION BRHS (ISIDE, X, Y, Z) 104. INTEGER ISIDE 105. REAL X, Y, Z 106. ! 107. REAL COS, EXP, SIN 108. INTRINSIC COS, EXP, SIN 109. ! 110. ! Boundary conditions 111. ! 112. IF (ISIDE .EQ. 1) THEN 113. BRHS = 0.0 114. END IF 115. ! 116. RETURN 117. ! 118. END 119. ! À partir deste algoritmo foram feitos mais de 400 simulações variando as dimensões da caixa (L), isto é, o valor de L que está declarado na linha 28 do código e o número de pontos (N), ou seja, o valor de NALL que está declarado na linha 11 do código. Este último parâmetro significa a discretização do espaço. Finalmente, a solução gerada no Mathematica (solução exata) e a solução gerada no Fortran 90 (simulação) foram comparadas (veja nos resultados). O material gerado pelo compilador (F90) foi importado no Mathematica e, assim, foram gerados gráficos e, nesse sentido, que as soluções foram comparadas, ou seja, a solução gráfica do Mathematica com a solução gráfica do Fortran 90. A respeito da solução numérica, em primeiro lugar, os cálculos foram dedicados ao campo elétrico, de acordo com a seguinte equação: 𝜕2 𝜕𝑥2 𝐸(𝑥, 𝑡) = 1 𝑐2 𝜕2 𝜕𝑡2 𝐸(𝑥, 𝑡) Sendo assim, no Mathematica esta equação foi implementada e, posteriormente, sua solução foi representada graficamente para t=0, t=2 e t=4. Figura 7: Implementação da equação da onda para o campo elétrico e a representação gráfica para t=0, t=2 e t=4. Em seguida, este trabalho foi realizado com o campo magnético e, portanto, a equação implementada foi a equação da onda para o campo magnético: 𝜕2 𝜕𝑦2 𝐵(𝑦, 𝑡) = 1 𝑐2 𝜕2 𝜕𝑡2 𝐵(𝑦, 𝑡) Figura 8: Implementação da equação da onda para o campo magnético e a representação gráfica para t=0, t=2 e t=4. Por fim, a solução analítica. Esta, por sua vez, esteve embasada na obra Fundamentos de Física, vol 42. Sendo assim, num primeiro momento, as equações para os campos elétrico e magnético a seguir foram implementadas no Mathematica. 𝐸 = 𝐸𝑚 . 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), 𝐵 = 𝐵𝑚 . 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡). Figura 9: Cálculo e representação gráfica do campo elétrico e magnético (solução analítica) nos instantes t=0, t=2 e t=4. Perceba que neste caso, como o gráfico está ilustrado, somente, levando em consideração a amplitude dos campos e o eixo-x (coordenada cartesiana), somente, o campo elétrico pode ser observado, pois o campo magnético oscila no eixo-y. Veja sua representação em 3D na figura a seguir: Figura 10: Cálculo e representação gráfica para o campo magnético (solução analítica). Veja que é, praticamente, impossível perceber oscilações no eixo-x, e que, além disso, é completamente nítido olhando através do eixo-y. Finalmente, agora é possível comparar os resultados obtidos, ou seja, a solução numérica com a solução analítica. RESULTADOS De Agosto de 2015 a fevereiro de 2016 Os resultados obtidos na primeira parte relativo aos cálculos no Mathematica e as simulações no Fortran 90 foram comparados e representados no gráfico a seguir e, dentre as mais de 400 simulações feitas, vale a pena destacar duas delas: A primeira diz respeito a um valor fixo para L, L=100, e o número de pontos N variando de 10 em 10, no intervalo que vai de 10 até 50. equação de Poisson e Laplace e o quarteto das equações de Maxwell, uma vez que, graças a isso que a engenharia de telecomunicações se desenvolveu no patamar do mundo atual e, consequentemente, impactando no desenvolvimento de outras áreas. Além disso, devido aos objetivos do projeto, foi, completamente, indispensável o estudo das plataformas computacionais, isto é, Fortran 90 e Mathematica, além das linguagens de programação que regem estes softwares. Com isso, torna-se mais viável pesquisar e trabalhar com as aplicações desta teoria e, assim, é possível inovar e desenvolver muito mais em telecomunicações, por exemplo. Nesse sentido, este projeto termina na análise destes dois problemas, entretanto, esta metodologia pode ser aplicado em muitas outras situações no campo de pesquisa em eletromagnetismo e, assim, garantir a veracidade de teorias, entender fenômenos e, até mesmo, fazer descobertas. CONCLUSÃO Desse modo, dos resultados obtidos do problema envolvendo a caixa com 6 faces, foi possível concluir que a simulação se aproxima, cada vez mais, da solução exata, calculada no Mathematica, a medida que as dimensões da caixa (L) e a discretização do espaço, número de pontos (N), aumentam, ou seja, quanto maior for a caixa e mais discretizado for o espaço, mais a simulação se aproxima de uma situação ideal (solução exata). Por último, e não menos importante, na segunda parte foi possível concluir, sem precisar de muito senso crítico na observação dos resultados, que a solução numérica e a solução analítica são iguais, ou seja, graficamente, geram os mesmo gráficos para os campos elétricos e magnéticos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Machado KD. Teoria do Eletromagnetismo, vol. 1. Ponta Grossa: UEPG; 2000. p. 299. 2. Halliday D, Resnick R, Walker J. Fundamentos de Física, vol. 4: óptica e física moderna, 8ª Ed. Rio de Janeiro: LTC; 2009. p. 2. 3. Viana RL. Eletromagnetismo II. Curitiba - PR: UFPR; 2015. p. 10. 4. Rosa MAF, Falcetta FAM. Tutorial Mathematica v5.0 para Windows: Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/mathematica/043576Filipe.pdf> Acessado em 28 de julho de 2016. 5. Wolfram Research Inc, Mathematica 10 Documentation, Champaign, IL; 2015. 6. IMSL Fortran 90 5.0 Beta Documentation, IMSL Fortran Library User’s Guide MATH/LIBRARY Vol. 1 of 2, Mathematical Functions in Fortran: Disponível em:< http://www.absoft.com/wp-content/uploads/2015/09/MathV1.pdf> Acessado em 28 de julho de 2016. 7. Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes in Fortran 90, The Art of Parallel Scientific Computing, vol. 2, 2ª ed. Cambridge: Cambridge University Press; 1997. 8. Barroso LC, Barroso MMA, Campos FF, Carvalho MLB, Maia ML. Cálculo Numérico (com aplicações), 2ª Ed. São Paulo: HARBRA; 1987. 9. Serway RA, Beichner RJ. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 5th Ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole; 2000. p. 1080.