resumo de figuras planas geométricas, Resumos de Matemática

Baixe resumo de figuras planas geométricas e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity! MA093 – Matemática básica 2 Segundo semestre de 2018 Quinta lista de exercícios. Triângulos retângulos. Polígonos regulares. Áreas de superfícies planas. 1. Qual deve ser o comprimento de uma escada para que, quando encostada a uma parede, seu topo atinja 2,4 m de altura quando sua base está a 0,7 m da parede? 2. (Dolce/Pompeo) Determine x. 3. (Dolce/Pompeo) Determine x. 4. (Dolce/Pompeo) Determine x. 5. Determine 𝒙𝒙, 𝒚𝒚, 𝒛𝒛 e 𝒉𝒉. 6. (Dolce/Pompeo) Sabendo que o trapézio abaixo é isósceles, determine x. 7. (Dolce/Pompeo) Determine x 8. (Dolce/Pompeo) Determine x no losango abaixo. 9. (Dolce/Pompeo) Determine x no paralelogramo abaixo. 10. (Dolce/Pompeo) Determine x 11. Determine 𝑥𝑥 na figura abaixo. 12. (Dolce/Pompeo) Determine x 13. (Dolce/Pompeo) Determine x 14. (Dolce/Pompeo) Determine a diagonal de um quadrado de perímetro 20 m. 15. (Dolce/Pompeo) O perímetro de um losango é 52 m e uma diagonal mede 10 m. Determine a outra diagonal. 16. (Dolce/Pompeo) Determine a altura de um triângulo equilátero de perímetro 24 m. 17. (Dolce/Pompeo) O perímetro de um triângulo isósceles é 18 m e a altura relativa à base mede 3 m. Determine a base. 18. (Dolce/Pompeo) As bases de um trapézio retângulo medem 3 m e 9 m e o seu perímetro é igual a 30 m. Calcule a altura. 19. (Dolce/Pompeo) Dois ciclistas partem da praça de uma mesma cidade em direção reta. Um segue na direção leste e o outro vai para o norte. Determine a distância que os separa depois de duas horas, sabendo que o primeiro viajou a uma velocidade de 30 km/h, enquanto o segundo pedalou a 45 km/h. 20. Adaptado de Dolce/Pompeo) Considere os dois círculos tangentes mostrados na figura. Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm, determine o raio do círculo menor. 21. Dado o triângulo, determine a, m, n e h. 22. Na figura abaixo, determine 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 e ℎ. (As dimensões estão em centímetros.) 23. Determine a altura h de um triângulo equilátero de lado x. 24. A base de um triângulo isósceles mede 10 cm e sua altura mede 12 cm. Quanto medem os outros lados do triângulo? 25. Em um triângulo isósceles, a altura (referente ao lado diferente dos demais) mede 1 cm e o perímetro é igual a 4 cm. Determine as medidas dos lados. Dica: faça um desenho que ilustre a situação. 26. Dado o triângulo abaixo, determine a altura relativa ao lado cuja medida é 4. Dica: aplique duas vezes o teorema de Pitágoras. 40. Determine o polígono regular cujos ângulos internos medem 140°. 41. Calcule o ângulo interno do polígono regular que tem 90 diagonais. 42. Um dos ângulos internos de um polígono regular mede 160°. Determine o número de lados e o número de diagonais do polígono. 43. Dado um círculo de raio R, calcule a razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito ao círculo. (Dica: faça um desenho que ilustre a situação.) 44. Determine o perímetro de um hexágono regular circunscrito a uma circunferência de raio igual a 3√3 cm. 45. A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é 2√3 cm. Determine a medida do lado do hexágono. 46. Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero de lado 15 cm. 47. Determine o lado do triângulo equilátero cuja circunferência inscrita tem raio 6 cm. 48. A circunferência inscrita em um hexágono tem raio 9 cm. Determine o raio da circunferência circunscrita ao hexágono. 49. O raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 5 cm. Determine o comprimento do lado do hexágono, bem como o raio da circunferência inscrita, indicado pela letra r na figura a seguir. 50. Usando régua e compasso, desenhe a circunferência inscrita e a circunferência circunscrita a um a) Quadrado de lado 5 cm. b) Hexágono de lado 3 cm. 51. (Dolce/Pompeo) Dado o raio R de uma circunferência, determine o lado e o apótema do octógono regular inscrito. 52. (Dolce/Pompeo) Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado ℓ. 53. Dada uma circunferência de raio igual a 10 cm, determine o comprimento do arco correspondente a um ângulo central de a) 45°; b) 60°; c) 90°; d) 120°. 54. Você quer construir uma roda que percorra 1 m a cada volta. Qual deve ser o raio da roda? 55. Um ciclista tem que percorrer uma distância de 10 km. Se a roda de sua bicicleta tem 66 cm de diâmetro, e se cada pedalada faz a roda girar 5/6 de volta, quantas pedaladas o ciclista dará nesse percurso? 56. (Dolce/Pompeo) Determine o comprimen- to da circunferência abaixo. 57. (Dolce/Pompeo) A curva abaixo é composta por três arcos de circunferência, com centros em 𝑂𝑂1 , 𝑂𝑂2 e 𝑂𝑂3 . Determine o comprimento da curva. 58. (Dolce/Pompeo) Uma circunferência tem 12,56 cm de comprimento. Calcule o raio usando 𝜋𝜋 ≈ 3,14. 59. (Dolce/Pompeo) Um carpinteiro vai construir uma mesa redonda para acomodar 6 pessoas sentadas ao seu redor. Determine o diâmetro da mesa para que cada pessoa disponha de um arco de 50 cm. 60. Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Determine o comprimento de cada uma das partes do fio. b) Calcule a área dos quadrados formados. 61. Três roldanas de raio r = 2cm têm centro nos vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm. Determine o comprimento da curva fechada que tangencia externamente as três circunferências, mostrada na figura abaixo. 62. Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Determine a) o comprimento de cada lado do triângulo. b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 63. Duplicando o raio de uma circunferência, o que acontece com a) o comprimento da circunferência? b) a área do círculo a ela associado? 64. Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de 2.500 cm2, quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 m de comprimento por 50 m de largura? 65. Determine as dimensões do retângulo que tem 15 cm de perímetro e 14 cm2 de área. 66. Em um retângulo com 128 cm2 de área, a base mede o dobro da altura. Determine as dimensões do retângulo. 67. Determine a área do losango cuja diagonal maior é o dobro da menor e cujo perímetro é igual a 2 m. 68. Determine o lado de um quadrado sabendo que, ao aumentarmos esse lado em 3 cm, a área do quadrado aumenta em 81 cm2. 69. Determine o perímetro de um triângulo isósceles cuja base (que não é congruente a outro lado) mede 10 cm e cuja área é igual a 60 cm2. 70. (Dolce/Pompeo) Determine a área do paralelogramo abaixo, usando o metro como unidade de medida. 71. (Dolce/Pompeo) Determine a área do losango abaixo, usando o metro como unidade de medida. 72. (Dolce/Pompeo) Determine a área do quadrado abaixo, usando o metro como unidade de medida. 73. (Dolce/Pompeo) Sabendo que a área do trapézio abaixo é 18 m2, determine x. 74. (Dolce/Pompeo) Sabendo que a área do paralelogramo abaixo é 32 m2, determine x. 75. (Dolce/Pompeo) Determine a área do paralelogramo, usando o metro como unidade de medida. 76. (Dolce/Pompeo) Determine a área do triângulo, usando o metro como unidade de medida. 77. (Dolce/Pompeo) Determine a área do triângulo, usando o metro como unidade de medida. 78. Um losango tem 100 cm de perímetro. Sabendo que uma diagonal é o triplo da outra, calcule as medidas das diagonais e a área do losango. 79. (Dolce/Pompeo) Determine a área do losango, usando o metro como unidade de medida. 80. (Dolce/Pompeo) Determine a área do hexágono regular inscrito em um círculo de raio 4 m. 81. (Dolce/Pompeo) Determine a área do triângulo, usando o metro como unidade de medida. 82. (Dolce/Pompeo) Determine a área do círculo. 95. Uma praça circular tem um canteiro central com raio igual a 15 m. O canteiro é circundado por uma calçada de 3 m de largura. Determine a área ocupada pela calçada. 96. (Dolce/Pompeo) Os pontos A, B e C são centros dos três círculos tangentes exteriormente mostrados na figura abaixo. Sendo as distâncias 𝐴𝐴𝐴𝐴���� , 𝐴𝐴𝐵𝐵���� e 𝐴𝐴𝐵𝐵���� respectivamente iguais a 10 cm, 14 cm e 18 cm, determine as áreas desses três círculos. 97. Determine o lado de cada quadrado da figura abaixo e a área da região sombreada. Observe que o vértice de um quadrado é o ponto médio do lado do quadrado externo. 98. Calcule a área da região sombreada da figura abaixo. (Dica: calcule a área de 1/8 da região, subtraindo de um determinado setor circular a área interna ao triângulo tracejado.) 99. Determine o comprimento da diagonal maior e área do losango mostrado na figura abaixo. 100. Determine a área da região sombreada. 101. Determine a área da região cinza mostrada na figura. 102. Calcule a área da região destacada na figura abaixo. 103. A figura abaixo mostra um quadrado, dentro do qual foram traçados arcos de circunferência com centro nos vértices A, B, C e D, e segmentos ligando os pontos médios dos lados. a) Determine a área da região cinza. b) Determine o raio da circunferência mostrada no centro da figura. 104. Um terreno retangular deve ter 600 m2 de área. Determine os lados do terreno sabendo que um deles deve ser 10 m maior que o outro. 105. Calcule a área do trapézio abaixo. 106. Um pneu roda por uma superfície plana, parando após girar 144°, como mostra a figura abaixo. Determine a distância percorrida pelo pneu, sabendo que o raio da roda tem 50 cm. 107. Calcule a área da região destacada na figura abaixo, sabendo que cada quadrado pequeno corresponde a 2,5 m2. 108. Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o número mínimo de tomadas e o espaçamento entre as tomadas do cômodo abaixo, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo perímetro do cômodo. 109. Calcule a área da região destacada na figura abaixo, sabendo que 𝜶𝜶 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏° e que as duas circunferências são congruentes. Dica: calcule a área de metade da região, subtraindo de um determinado setor circular a área do triângulo tracejado. 110. A parte interna de uma pista de atletismo é formada por dois trechos retos ligados por duas semicircunferências congruentes, como mostra a figura abaixo. Determine o raio R, sabendo que a pista tem 400 m de comprimento. 111. A base de um banquinho de madeira é composta por quatro peças com o formato da letra A, como mostra a figura abaixo. Calcule a área de uma dessas peças. 112. A diagonal maior de um losango tem 3 cm a mais que a diagonal menor. Determine os comprimentos das diagonais, sabendo que a área do losango é 14 cm2. Dica: faça um desenho que ilustre a situação. 113. Em um losango de área igual a 30 cm2, uma diagonal é 4 cm maior que a outra. Determine o comprimento dos lados do losango. 114. Em um trapézio isósceles, a base maior mede 30 cm e a base menor mede 18 cm. Determine a área do trapézio, sabendo que o perímetro é igual a 68 cm. Dica: faça um desenho que ilustre a situação. 115. Uma indústria siderúrgica fabrica um tipo de cantoneira metálica, cuja seção transversal tem a forma motrada na figura abaixo, em que e = 5 mm e a = 40 mm. Determine a área da seção. 116. Uma praça tem o formato mostrado abaixo. Calcule a área calçada da praça, que é aquela indicada em cinza na figura. Calcule também o perímetro da praça. 117. Uma janela tem o formato composto por um retângulo e um segmento circular, com centro em C, como mostrado na figura. Determine os valores de 𝒙𝒙 e y, bem como o perímetro da janela. Respostas. 1. A escada deve medir 2,5 m. 2. 𝑥𝑥 = 2√29 3. 𝑥𝑥 = 6 4. 𝑥𝑥 = 9 5. 𝑥𝑥 = 1,6 cm, 𝑦𝑦 = 0,9 cm 𝑧𝑧 = 2 cm, ℎ = 1,2 cm 6. 𝑥𝑥 = 6 7. 𝑥𝑥 = 17 8. 𝑥𝑥 = 17 9. 𝑥𝑥 = 5 10. 𝑥𝑥 = 11 4 11. 𝑥𝑥 = 3,8 cm 12. 𝑥𝑥 = 3√7 13. 𝑥𝑥 = 6 14. 5√2 m 15. 24 m 16. 4√3 m 17. 8 m 18. 8 m 19. 30√13 km 20. 3 − 2√2 21. a = 5, m = 16/5, n = 9/5 e h = 12/5. 22. 𝑥𝑥 = 25 cm, 𝑦𝑦 = 144 cm, 𝑧𝑧 = 65 cm, ℎ =60 cm 23. ℎ = 𝑥𝑥√3/2. 24. Os dois lados restantes medem 13 cm. 25. 5 4 cm e 3 2 cm 26. h = 12. 27. 15 km. 28. 5 cm. 29. 1201,5 m. 30. O diâmetro mede 17. 31. 3 m. 32. Cerca de 1249 km. 33. 𝑏𝑏 = 5, 𝑚𝑚 = 144 13 , 𝑛𝑛 = 25 13 e ℎ = 60 13 . 34. a) 1 6 𝑐𝑐𝑚𝑚2 b) 3 𝑐𝑐𝑚𝑚2 35. a) 84 cm b) 81,4 cm c) 80 cm 36. 𝑥𝑥 = 60°, y= 30°, 𝑧𝑧 = 30° 37. 𝑥𝑥 = 36°, y= 72°, 𝑧𝑧 = 108° 38. 𝛼𝛼 = 22,5∘, 𝛽𝛽 = 135∘ 39. 𝛼𝛼 = 144∘, 𝛽𝛽 = 36∘ 40. O eneágono (que tem 9 lados). 41. 156°. 42. 𝑛𝑛 = 18, 𝑑𝑑 = 135. 43. √2/2. 44. 36 cm. 45. 2 cm. 46. 5√3 cm 47. 12√3 cm 48. 6√3 cm 49. 5 cm; 5√3 2 cm 50. ... 51. 𝑅𝑅�2 − √2; 𝑅𝑅 �2+√2 2 52. ℓ�4 + 2√2; ℓ(√2 + 1); ℓ�2 + √2 53. a. 5π/2 cm. b. 10π/3 cm. c. 5π cm. d. 20π/3 cm. 54. Cerca de 15,9 cm. 55. 5788 pedaladas. 56. 12𝜋𝜋 m 57. 48𝜋𝜋 cm 58. 2 cm 59. 300 𝜋𝜋 cm 60. a. 32 cm e 16 cm. b. 64 cm2 e 16 cm2. 61. 18 + 4π cm. 62. a. 3 cm. b. 𝐴𝐴𝑇𝑇/𝐴𝐴𝐻𝐻 = 1,5. 63. a. Dobra. b. Quadruplica. 64. 30.000 pessoas. 65. 3,5 × 4 cm. 66. 16 × 8 cm. 67. 0,2 m2. 68. 12 cm. 69. 36 cm. 70. 18 m2 71. 24 m2 72. 32 m2 73. 3 m 74. 4 m 75. 28 m2 76. 60 m2 77. 48 m2 78. 5√10 cm, 15√10 cm e 375 cm2. 79. 120 m2 80. 24√3 m2 81. 10√3 m2 82. 32𝜋𝜋 m2 83. 25(𝜋𝜋 − 2) cm2 84. 3√3 − 𝜋𝜋 m2 85. 16𝜋𝜋 m2 85. a. R$ 48.000,00. b. 87. 0,72 m3. 88. 625(1 + √3) cm2. 89. a. 300 trabalhadores. b. 120 trabalhadores. 90. Soja: 48.000 m2. Milho: 48.000 m2. 91. 3𝑅𝑅2√3/4. 92. Leste: 350 km2; Sudoeste: 80 km2; Campinas: 800 km2. 93. a. 25π/2 cm2. b. 50π/3 cm2. c. 25π cm2. d. 100π/3 cm2. 94. O retângulo deve ter 8 × 16 cm. 95. 99π m2. 96. 9 π cm2, 49π cm2 e 121π cm2. 97. Lados: √2/2 m, 1/2 m e √2/4 m. Área: 1/8 m2. 98. 8(π – 2) cm2. 99. D = 40 cm, A = 600 cm2 100. 12𝜋𝜋 − 18√3 cm2. 101. 150√3 − 36𝜋𝜋 cm2. 102. 4√3 − 2𝜋𝜋 cm2. 103. a) 9𝜋𝜋 − 18 cm2. b) 3√2 − 3 cm. 104. 20 m e 30 m. 105. 132 cm2. 106. 40𝜋𝜋 cm. 107. 260 m2. 108. Deve-se instalar ao menos 3 tomadas, espaçadas de 3,6 m. 109. 24𝜋𝜋 − 18√3 cm2 110. 120 𝜋𝜋 m ≈ 38,2 m 111. 950 cm2 112. 4 cm e 7 cm 113. √34 cm. 114. 192 cm2 115. 450 + 25𝜋𝜋 4 mm2 116. 𝐴𝐴 = 1296 + 50𝜋𝜋 m2, 𝑃𝑃 = 180 + 10𝜋𝜋 m. 117. 𝑥𝑥 = √3, 𝑦𝑦 = 2𝜋𝜋3 m. Perímetro: √3 + 2𝜋𝜋3 + 2 m 118. a. 84𝜋𝜋 m2 b. 3016 azulejos 119. 𝐴𝐴 = 16𝜋𝜋 mm2, 𝑃𝑃 = 4 + 16𝜋𝜋 mm 120. 256 + 48𝜋𝜋 mm2 121. 60 + 8√2 + 16𝜋𝜋 mm 122. 𝐴𝐴 = 24 + 16√2 + 6𝜋𝜋 cm2 𝐵𝐵 = 20 + 12√2 + 4𝜋𝜋 cm 123. 16√2 cm2 124. 360° 𝑛𝑛 e 180° − 360° 𝑛𝑛 125. 𝑎𝑎 = 48,64 + 0,72𝜋𝜋 cm2 ≈ 50,9 cm2 126. 𝐴𝐴 = 216 + 14𝜋𝜋 mm2 127. 𝐴𝐴 = 8476,8 cm2 128. 𝐴𝐴 = 281,96 mm2 129. Aleta: 84 cm2. Ponta: 119,8 cm2.