Sistemas estruturais de forma ativa: Cabos e arcos, Notas de estudo de Cultura

Baixe Sistemas estruturais de forma ativa: Cabos e arcos e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! 0 UNIVERSIDADE DO VALE DE ITAJAÍ VANESSA ELAINE GELAIN SISTEMAS ESTRUTURAIS DE FORMA ATIVA: CABOS E ARCOS ITAJAÍ 2011 1 UNIVERSIDADE DO VALE DE ITAJAÍ VANESSA ELAINE GELAIN SISTEMAS ESTRUTURAIS DE FORMA ATIVA: CABOS E ARCOS Trabalho apresentado como requisito parcial para a obtenção da M3, na disciplina de Teoria das Estruturas, na Universidade do Vale do Itajaí, do Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar. ITAJAÍ 2011 4 1. INTRODUÇÃO Os sistemas estruturais de forma-ativa (arco e cabo) são estruturas flexíveis formadas de matéria não rígidas, a qual é formada de modo definido e com extremidades fixas, podendo se alto suportar e cobrir um vão. (BRITO E SILVA, 2010). O cabo é uma barra cujo comprimento é tão predominante em relação à sua seção transversal que se torna flexível, ou seja, não apresenta rigidez nem à compressão nem á flexão (REBELLO, 2003). O arco é um sistema estrutural que ao contrário do cabo, responde a esforços de compressão. As primeiras pontes em arco usando-se ferro fundido foram construídas na Inglaterra em 1779 que são as pontes de Severn e Coalbrookedale, servindo de passarela para pedestres. Muito antes disso, civilizações antigas descobriram a grande resistência dos tijolos e pedras e iniciaram a construção de pontes em arco utilizando esses materiais. A forma funicular de um sistema ativo corresponde a forma adquirida pelo sistema ao receber o carregamento, sendo que no arco, essa forma é invertida. Para que o arco ou o cabo seja considerado ideal, a linha de pressão deve coincidir com a forma da estrutura. O presente trabalho irá tratar de assuntos relacionados aos cabos e arcos, descrevendo seus princípios de funcionamento, suas principais características e como se procede para a determinação dos esforços solicitantes internos e externos. 5 1.2 OBJETIVOS: 1.2.1 Objetivo Geral: • Descrever o funcionamento e a determinação dos esforços internos solicitantes em sistemas estruturais de forma ativa (cabos e arcos). 1.2.2 Objetivos específicos: • Definir arcos e cabos; • Determinar quais as diferenças entre arcos e cabos; • Determinar os esforços internos solicitantes em arcos e cabos. 6 1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA: Os cabos são utilizados em vários tipos de estruturas. Nas pontes pênseis e teleféricos são principais elementos portantes, nas linhas de transmissão conduzem a energia elétrica, vencendo vãos entre as torres e são empregados como elemento portante de coberturas de grandes vãos (SUSSEKIND, 1987). (...) Este processo é conhecido por “fluxo das cargas”, ou seja, é o caminho natural que estas cargas devem percorrer um sistema estrutural. Este fluxo de cargas não terá problema desde que a estrutura tenha uma forma que permita com que as cargas atuantes sigam um caminho natural e mais curto até seu ponto de descarga, a terra. O problema ocorrerá quando estas cargas não seguem um caminho direto, mas tem que acomodar certos desvios. Sendo assim, projetar uma estrutura é uma técnica de desenvolver um sistema que o fluxo de cargas coincida ou pelo menos se aproxima da forma delineada da edificação no projeto arquitetônico. É uma tarefa de converter a imagem das forças atuantes através do material estrutural em uma nova imagem de forças de igual potencia, seja através da modificação da forma, seja através de reforço do material estrutural, ou ainda através da adição de uma nova estrutura (BRITO E SILVA, 2010). O cabo de suspensão vertical, que transmite a carga diretamente ao ponto de suspensão, e a coluna vertical, que, em direção reversa, transfere a carga diretamente ao ponto da base são protótipos de sistemas de forma-ativa. Eles transmitem cargas somente através de esforços simples, ou seja, de tração e compressão respectivamente. Portanto, eles são sistemas em que seus elementos estão sujeitos a uma única tensão normal, tração ou compressão (BRITO E SILVA, 2010).. 9 Figura 2: Comportamento de um cabo Fonte: Liliana Fay (2006). 2.3.2 Materiais e seções usuais: As estruturas de cabos, também chamadas de estruturas suspensas ou pênseis, são estruturas que podem vencer grandes vãos com pequenos consumo de material (FAY, 2006). A relação entre flecha e vão que resulta em menor volume de material, depende do tipo de carregamento e encontra-se entre os limites: 1 10 <   < 15 (Equação 1) Onde f é a flecha do cabo, e L o vão do cabo. As seções que apresentam concentração de massa junto ao centro e gravidade, são as que ocupam menores espaços, o que conduz a seção circular a ser a mais indicada pra utilização nos cabos. O cabo está sujeito apenas a esforços de tração simples. É indicado a utilização de materiais que apresentem boa resistência a esse tipo de esforço, tal como o aço. Com os aços disponível no mercado, atinge-se limites de vãos em torno de 1500 metros para pontes, e 5500 metros para torres de transmissão. 2.3.3 Exemplo de formas funiculares: 10 Figura 3. Formas funiculares. Fonte: Pet ECV UFSC. A catenária possui uma geometria mais baixa que a parábola. Isto é conseqüência do peso próprio se concentrar mais nas regiões próximas das extremidades. 11 Figura 4. Catenária. Fonte: Pet ECV UFSC. Para as relações de flecha (f) e vão entre extremidades (L), constata-se que para relações (f / L) ≤ 0,2 as formas da parábola e da catenária são praticamente coincidentes. Nesse caso, utiliza-se a forma da parábola para determinação dos lugares geométricos dos pontos ao longo do cabo:  = ²+  +  (Equação 2) 2.3.4 Aplicações e limites de utilização dos cabos: Duas desvantagens na utilização de cabos como sistemas estruturais são a dificuldade de absorção de empuxos horizontais e a instabilidade da forma devido a variações de carregamento. Isso exige que os cabos trabalhem em conjunto com outros elementos estruturais que lhe garantam estabilidade. A absorção dos empuxos pode ser feita por pilares livres ou atirantados, como mostra a figura abaixo: Figura 5: Cabo associado com pilares. Fonte: Liliana Fay (2006). 2.3.5 Vibrações nos cabos: 14 As reações verticais do arco terão o mesmo valos das reações de apoio de uma viga substituindo um arco. 2.4.4 Como resolver um arco: Figura 6 . Análise Estrutural. Fonte:Flavio Barbosa de Lima. Universidade Federal de Alagoas. Os valores dos esforços internos solicitantes são cotados perpendicularmente ao eixo do elemento estrutural ao arco, sendo R o raio do arco. As reações de apoio em x e y são encontradas como os outros sistemas estruturais já estudados. A componente horizontal do vínculo A é encontrada sem dificuldades, pois não há esforços externos solicitantes nessa direção. Para encontrar as reações na vertical, é necessário realizar o somatório dos momentos em um ponto, que nesse caso, foi o ponto A, sendo assim encontrado os valores de Ay e By: ∑ = 0 →  = 0 ∑ = 0 →  +  =  ∑ = 0 → 2 −  = 0  =  = 2 (Equação 3) Para a determinação dos esforços internos solicitantes, é necessário seccionar o arco em um ponto qualquer, a uma distância x de um vinculo, sendo possível assim, 15 determinar os esforços internos solicitantes da estrutura. Figura 7. Esforços internos solicitantes. Fonte: Flavio Barbosa de Lima. Universidade Federal de Alagoas. O esforço normal interno N é encontrado a partir da soma de todas as forças atuando da direção do eixo local da estrutura, conforme demonstrado a seguir: ∑Fh = 0 N = −Ax. cos *π2 – θ. − Ay. sen * π 2 – θ. (Equação4) N = − P2 cosθ (Equação 5) O esforço cortante V é encontrado a partir da soma de todas as forças atuando perpendicular ao eixo local do cabo, conforme demonstrado a seguir: ∑Fv = 0 V = −Ax. sen *π2 – θ. − Vy. cos * π 2 – θ. (Equação 6) V = − P2 senθ (Equação 7) Para o arco do arco ideal, o momento fletor deve ser igual a zero. Abaixo segue a descrição de como encontrar o momento fletor solicitante em um arco: ∑M = 0 M = −Ax. R. senθ−Ay. R(1 − cosθ) (Equação 8) M = PR2 (1 − cosθ) (Equação 9) 2.4.5 Vínculos: 16 Os arcos podem apresentam alguns vínculos que permitam rotação relativa entre duas seções adjacentes. O número máximo de articulações que podem ocorrer num arco é 3. Acima disso, o arco torna-se hipostático. Essas articulações geralmente ocorrem nos apoios e nos topos. Um arco com três articulações é denominado articulado. Quando as articulações ocorrem apenas nos seus apoios, é denominado arco biarticulado. Arcos que não apresentam articulações são denominados arcos biengastados. São arcos usados em situações especiais, pois por serem engastados, absorvem momentos fletores, o que não é desejado. Figura 8: Tipos de arcos. Fonte: Liliana Fay (2006). 2.4.6 O arco ideal Deve-se procurar dar aos arcos formas que correspondam aos funiculares das cargas que atuam sobre eles (invertido), garantindo a não ocorrência de flexão. Se a funicular das cargas não coincide com o eixo do arco, surgem esforços de flexão. Quanto maior for a diferença entre o eixo do arco e a funicular, maior serão os esforços de flexão. A reação horizontal do arco diminui com o aumento da altura da estrutura. Portanto, pode-se chegar a uma altura tal que as reações horizontais sejas nulas. Ou seja, quando se altera a altura de um arco, muda-se apenas as reações horizontais. 2.4.7 Estabilização do arco: 19 momento representado por uma equação de segundo grau, e seu diagrama conseqüentemente será uma parábola. Uma carga concentrada no meio do vão de um cabo, produzirá um formato triangular, condizendo com o diagrama de momento fletor de uma estrutura assim solicitada. Essa forma adquirida pelo sistema será de certa forma, o caminho que as forças irão percorrer até chegar aos apoios, chamada de linha funicular. Se o formato de um arco for idêntico ao formato da sua linha funicular, ele é chamado ideal, pois ocorrerão apenas esforços internos de compressão, e não de flexão. Se o formato do cabo foi idêntico ao formato da sua linha funicular, ele é chamado arco ideal, pois estará submetido somente a esforços de tração. 02) Considerando as estruturas em cabo apresentadas abaixo, demonstre as expressões que conduzem à determinação das reações de apoio, explicando cada passo para sua obtenção. a) Cabo com duas forças concentradas aplicadas em seu terço médio: Figura 11. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. Os vínculos A e B são de segunda classe, pois além de da reação vertical, existe uma força horizontal atuando. Como o cabo é um sistema estrutural plano, as seguintes condições devem ser satisfeitas: ∑ = 0 ∑ = 0 ∑ = 0 20 Fazendo o somatório das forças em x ( ∑ = 0), obtêm-se: ∑Fx = 0 → Ax − Bx = 0 Fazendo o somatório dos momentos no ponto B, obtêm-se: ∑MA = −PL3 − P2L 3 + ByL = 0 Eliminando a incógnita L que é comum para todos os termos, tem-se: P 3 + P2 3 = By (Equação 10) P = By (Equação 11) Analisando os esforços verticais, observa-se a presença das cargas P, e a reação da estrutura em A e B. Fazendo o somatório das forças em y ( ∑ = 0), obtêm-se: ∑Fy = 0 → Ay + By − P − P = 0 Ay + By = 2 (Equação 12) Se By = P, então: Ay + P = 2P Ay = P (Equação 13) Para descobrir as componentes horizontais (Ax e Bx), leva-se em consideração o princípio que, devido ao fato do cabo ser flexível, em qualquer ponto o momento fletor é nulo. Chamando-se de flecha (f) a distância vertical máxima do cabo até a linha de fechamento entre as extremidades A e B do cabo, faz-se então, o somatório dos momentos no ponto C (∑ = 0): 21 Figura 12. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. ∑ = 0 → .  − . 3 = 0 .  = . 3  = . 3 (Equação 14) As reações do sistema estrutural são: Ax = Bx = P. L3f Ay = By = P (Equação 15) Pode-se observar que pelo fato do sistema estrutural de cabos ser simétrico, a reação em Ay e By vai ser igual, o mesmo acontecendo para Ax e Bx. A geometria da figura é a mesma que o gráfico do momento fletor em uma barra biapoiada, com dois esforços aplicados eqüidistantes entre si e o apoio. Observe na figura abaixo, como o diagrama de momento fletor de uma viga biapoiada semelhante ao arco em estudo se assemelha com o formato do cabo ao assumir o carregamento. Figura 13: Diagrama momento fletor de uma viga com duas cargas concentradas eqüidistante dos apoios. Fonte: Ftool. 24 Figura 16. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. −qL2 + ByL = 0 ByL = qL2 By = Ay = qL2 (Equação 22) Escolhendo um ponto C, no meio do vão L do arco, encontram-se as reações horizontais, partindo do princípio que a soma dos momentos nesse ponto deve ser igual a zero. ∑Mc = 0 → Ay. L2 + Ax. f − q. L. L 2.4 = 0 ∑Mc = 0 → −q. L2 . L 2 + Ax. f − qL² 8 = 0 q. LG 4 + Ax. f − q. LG 8 = 0 Axf = qL²8 − qL² 4 Ax = qL G 8f (Equação 23) Se Ax = By, então: Ax = Bx = qL²8f Para a determinação dos esforços internos solicitantes, nesse caso esforços normais, secciona –se o cabo em um ponto qualquer, e calcula-se as componentes do esforço normal em x e y, conforme segue: 25 Figura 17. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. ∑Fx = 0 NACx = qL G 8f (Equação 24) ∑Fy = 0 NACy = HIG − qx (Equação 25) Observa-se que onde a flecha é máxima, não ocorre esforço normal de tração no cabo. Conclui-se então que o esforço de tração varia ao longo do cabo. Por exemplo, para o ponto x=0, o esforço normal será: NACy = qL2 − q. 0 (Equação 26) NACy = qL2 Para x=L/2 (na metade do vão), o esforço normal vale: NACy = qL2 − q. L 2 NACy = 0 (Equação 27) O valor mínimo do esforço normal ocorre na reação de apoio, e é igual a reação horizontal. Fazendo uma analogia a uma viga biapoiada com o mesmo carregamento, percebe-se que o esforço cortante é máximo próximo aos apoios e é zero no centro da viga. 26 Figura 18: Viga biapoiada. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. Novamente percebe-se que a reação horizontal de cada apoio é igual a relação entre o momento máximo de uma viga biapoiada semelhante e a flecha. O diagrama de momento fletor desse cabo tem a forma da figura que segue abaixo, e é importante destacar novamente a semelhança entre o diagrama de momento fletor e o formato adquirido pelo cabo ao receber esforços. Figura 19: Diagrama de momentos fletores. Fonte: Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. 2.6.2 Arcos: c) Uma passarela que liga duas edificações afastadas em 25 metros, possui 3 metros de largura e deve suportar uma sobrecarga de 5kN/m² além de seu peso próprio, estimado em 5 kN/m². A passarela será suspensa por 2 cabos com flecha de 5 metros. Determine as reações de apoio e a força normal máxima que tracionará o cabo. 29 Cada vez que o funicular das cargas desvia-se do eixo do arco originam-se esforços de flexão, sendo que quanto maiores forem os desvios maiores serão esses esforços. Então, para garantir que esta estrutura funcione como uma linha de pressão, temos que nos certificar que a estrutura receberá apenas esforço normal em qualquer parte que for seccionada. Para arcos triarticulados, nos certificamos que a estrutura segue a linha de pressão quando a flecha existente é igual a flecha calculada atreves da fórmula a seguir: f = MH Onde m é o momento e H a reação em x. A flecha pode ser calculada também pelo métodos dos elementos finitos. 30 3. CONCLUSÃO: Os cabos e arcos são sistemas estruturais de forma ativa que tornam possível o vencimento de grandes vãos com economia de material. Entretanto, algumas vezes precisam estar associados a outros sistemas estruturais para um bom desempenho, como é o caso da associação arcos e tirantes. O arco sofre a ação de esforços soliticitantes de compressão, enquanto o cabo trabalha a esforços de tração. Duas características comuns entre os dois sistemas estruturais, é que ambos tendem a tomar forma do carregamento recebido, chamado de funicular da estrutura, porém, no caso do arco, essa forma é invertida. Os cabos são indicados para situações em que não é necessário que a estrutura resista esforços de compressão, já que os eles sofrem com o efeito de flambagem se submetidos a estes esforços. Para se obter um cabo ideal, deve-se fazer com que a forma da estrutura seja idêntica a linha de pressão, garantindo assim a não existência de esforços indesejáveis, tais como momentos fletores e tração nos arcos, prejudicando o desempenho do sistema. Os sistemas estruturais de forma-ativa são dependentes das condições do carregamento e estritamente influenciados pelo fluxo “natural” das cargas, portanto não podem ser projetados de forma livre e arbitraria. A forma e o espaço arquitetônico são o resultado do mecanismo de suporte. Entretanto, em virtude de seus esforços serem apenas por simples compressão ou tração, o arco e o cabo de suspensão, no que se refere à relação peso/vão, são as estruturas mais econômicas de cobrir grandes vãos e formar amplos espaços (BRITO E SILVA, 2010). 31 REFERÊNCIAS: REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 2003. LMC. Disponível em <http://www.lmc.ep.usp.br/people/pauletti/Publicacoes_arquivos/RMOP-Cap-1.pdf>. Acesso em 23 de nov. de 2011. Feup. Disponível em <http://www.fe.up.pt/si/ocorrencias_geral.formquery>. Acesso em 23 de nov. de 2011. LOTUFO, Vitor. A flambagem. BRITO E SILVA, Mauro César. Sistemas de estruturas. 2010. HENGEL, Heino. Sistema de estruturas. São Paulo: Hemus, c1981. Análise Estrutural I. Departamento de Engenharia Civil da UFSC. SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural 1. São Paulo: Editora Globo, 1981. FAY, Liliana. Estruturas Arquitetônicas: Composição e modelagem. Rio de Janeiro, 2006.