Trabalho prático II - Metodo dos deslocamento, Exercícios de Teoria das Estruturas

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Exercício 1 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼𝐴𝐵 = 2,1 ∙ 107 ∙ 0,01 = 210000𝑘𝑁𝑚2 𝐸𝐼𝐵𝐶 = 2,1 ∙ 107 ∙ 0,006 = 126000𝑘𝑁𝑚2 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 0 𝑘𝐵 = 3𝐸𝐼 𝐿 = 3 ∙ 210000 8 + 3 ∙ 126000 6 = 78750 + 63000 = 141750𝑘𝑁𝑚 𝑘𝐶 = 0 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 0𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = 150 2 − 100 ∙ 3 ∙ 5 2 ∙ 82 ∙ (8 + 3) + 20 ∙ 62 8 = 75 − 128,91 + 90,00 = 36,09𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = 0𝑘𝑁𝑚 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 141750𝑘𝑁𝑚 𝑓10 = 36,09𝑘𝑁𝑚 Equação de compatibilidade: 𝑘11𝐷1 + 𝑓10 = 0 141750𝐷1 + 36,09 = 0 𝐷1 = −0,0002546𝑟𝑎𝑑 Momentos finais: 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐵 = −90,00 + 63000 ∙ 0,0002546 = −73,96𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 = 0 Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 50 ∙ 8 + 150 + 100 ∙ 5 − 73,96 8 = 122,01𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐵 = 50 ∙ 0 − 150 + 100 ∙ 3 + 73,96 8 + 20 ∙ 6 ∙ 3 + 73,96 6 = 100,32𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐶 = 20 ∙ 6 ∙ 3 − 73,96 6 = 47,67𝑘𝑁(↑) Diagrama de esforços cortantes [kN]: 𝑉𝐴 = 72,01𝑘𝑁 𝑉𝐵𝑒𝑠𝑞 = 72,01 − 100 = −27,99𝑘𝑁 𝑉𝐵𝑑𝑖𝑟 = −27,99 + 100,32 = 72,33𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 72,33 − 20 ∙ 6 = −47,67𝑘𝑁 Diagrama de momentos fletores [kNm]: 𝑀𝐴𝐵 = −150 + 72,01 ∙ 3 = 66,02𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵𝐶 = −73,96 + 72,33 ∙ 3,6165 2 = 56,82𝑘𝑁𝑚 Exercício 2 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 6 = 0,333𝐸𝐼 𝑘𝐵 = 4𝐸𝐼 𝐿 + 3𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 6 + 3𝐸𝐼 6 = 0,667𝐸𝐼 + 0,5𝐸𝐼 = 1,167𝐸𝐼 𝑘𝐶 = 0 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 4 ∙ 62 12 = 12,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = − 4 ∙ 62 12 + 4 ∙ 62 8 − 8 2 = −12,00 + 18,00 − 4,00 = 2,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = 0𝑡𝑓𝑚 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 1,167𝐸𝐼 𝑓10 = 2,00𝑡𝑓𝑚 2,133𝐸𝐼𝐷1 + 0,667𝐸𝐼𝐷2 + 15,00 = 0 0,667𝐸𝐼𝐷1 + 2,133𝐸𝐼𝐷2 − 15,00 = 0 𝐷1 = − 10,2273 𝐸𝐼 𝐷2 = 10,2273 𝐸𝐼 Momentos finais: 𝑀𝐴 = 0,4𝐸𝐼 ∙ 10,2273 𝐸𝐼 = 4,09𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 = −0,8𝐸𝐼 ∙ 10,2273 𝐸𝐼 = −8,18𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 = −0,8𝐸𝐼 ∙ 10,2273 𝐸𝐼 = −8,18𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 = −0,4𝐸𝐼 ∙ 10,2273 𝐸𝐼 = −4,09𝑘𝑁𝑚 Reações de apoio: 𝑅𝐴 = −4,09 − 8,18 5 = 2,45𝑘𝑁(↓) 𝑅𝐵 = 4,09 + 8,18 5 + 20 ∙ 3 ∙ 1,5 + 8,18 − 8,18 3 = 32,45𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐶 = 20 ∙ 3 ∙ 1,5 + 8,18 − 8,18 3 + 4,09 + 8,18 5 = 32,45𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐷 = −8,18 − 4,09 5 = 2,45𝑘𝑁(↓) Diagrama de esforços cortantes [kN]: Diagrama de momentos fletores [kNm]: 𝑀𝐵𝐶 = −8,18 + 30,00 ∙ 1,50 2 = 14,32𝑘𝑁𝑚 Exercício 4 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 9 = 0,222𝐸𝐼 𝑘𝐵 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 9 + 4𝐸𝐼 6 = 0,444𝐸𝐼 + 0,667𝐸𝐼 = 1,111𝐸𝐼 𝑘𝐶 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 6 = 0,333𝐸𝐼 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 20 ∙ 92 30 = 54,00𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = − 20 ∙ 92 20 + 80 ∙ 6 8 = −81,00 + 60,00 = −21,00𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = − 80 ∙ 6 8 = −60,00𝑘𝑁𝑚 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 1,111𝐸𝐼 𝑓10 = −21,00𝑘𝑁𝑚 Equação de compatibilidade: 𝑘11𝐷1 + 𝑓10 = 0 1,111𝐸𝐼𝐷1 − 21,00 = 0 𝐷1 = 18,90 𝐸𝐼 Momentos finais: 𝑀𝐴 = −54,00 − 0,222𝐸𝐼 ∙ 18,90 𝐸𝐼 = −58,20𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 = −81,00 + 0,444𝐸𝐼 ∙ 18,90 𝐸𝐼 = −72,60𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 = −60,00 + 0,333𝐸𝐼 ∙ 18,90 𝐸𝐼 = −53,70𝑘𝑁𝑚 Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 20 ∙ 9 2 ∙ 3 + 58,20 − 72,60 9 = 28,40𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐵 = 20 ∙ 9 2 ∙ 6 − 58,20 + 72,60 9 + 80 ∙ 3 + 72,60 − 53,70 6 = 104,75𝑘𝑁(↑) 𝑅𝐶 = 80 ∙ 3 − 72,60 + 53,70 6 = 36,85𝑘𝑁(↑) Diagrama de esforços cortantes [kN]: 𝑉𝐴 = 28,40𝑘𝑁 𝑉𝐵𝑒𝑠𝑞 = 28,40 − 20 ∙ 9 2 = −61,60𝑘𝑁 𝑉𝐵𝑑𝑖𝑟 = −61,60 + 104,75 = 43,15𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 43,15 − 80 = −36,85𝑘𝑁 Diagrama de momentos fletores [kNm]: 𝑀𝐴𝐵 = −58,20 + 28,40 ∙ 6,741 2 = 37,52𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵𝐶 = −72,60 + 43,15 ∙ 3 = 56,85𝑘𝑁𝑚 Exercício 6 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 4 = 0,5𝐸𝐼 𝑘𝐵 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 4 + 4𝐸𝐼 6 = 1,0𝐸𝐼 + 0,667𝐸𝐼 = 1,667𝐸𝐼 𝑘𝐶 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 6 = 0,333𝐸𝐼 Sistema 2, aplicar rotação unitária em C: 𝑘𝐵 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 6 = 0,333𝐸𝐼 𝑘𝐶 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 6 + 4𝐸𝐼 2 = 0,667𝐸𝐼 + 2,0𝐸𝐼 = 2,667𝐸𝐼 𝑘𝐷 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 2 = 1,0𝐸𝐼 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 12 ∙ 42 12 = 16,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = − 12 ∙ 42 12 + 12 ∙ 62 12 = −16,00 + 36,00 = 20,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = − 12 ∙ 62 12 + 12 ∙ 22 12 = −36,00 + 4,00 = −32,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐷 = − 12 ∙ 22 12 = −4,00𝑡𝑓𝑚 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 1,667𝐸𝐼 𝑘12 = 0,333𝐸𝐼 𝑓10 = 20,00𝑡𝑓𝑚 𝑘21 = 0,333𝐸𝐼 𝑘22 = 2,667𝐸𝐼 𝑓20 = −32,00𝑡𝑓𝑚 Equação de compatibilidade: 𝑘11𝐷1 + 𝑘12𝐷2 + 𝑓10 = 0 𝑘21𝐷1 + 𝑘22𝐷2 + 𝑓20 = 0 1,667𝐸𝐼𝐷1 + 0,333𝐸𝐼𝐷2 + 20,00 = 0 0,333𝐸𝐼𝐷1 + 2,667𝐸𝐼𝐷2 − 32,00 = 0 𝐷1 = − 14,769 𝐸𝐼 𝐷2 = 13,846 𝐸𝐼 Rotação em E: 𝜃𝐸 = (𝜃𝐵 + 𝜃𝐴) 𝐿𝐸𝐵 𝐿𝐴𝐵 = (− 14,769 𝐸𝐼 + 0) ∙ 1 4 𝜃𝐸 = − 3,6925 𝐸𝐼 Exercício 7 – Método dos Deslocamentos: Rigidez da estrutura: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸𝐴 = ∞ Reações de apoio: Horizontais: 𝐻𝐴 = 0 𝐻𝐶 = −10,00𝑘𝑁(←) Verticais: 𝑉𝐴 = 6,00𝑘𝑁(↑) 𝑉𝐶 = 0 Diagrama dos esforços: Diagrama de esforços normais [kN]: Exercício 8 – Método dos Deslocamentos: Rigidez da estrutura: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸𝐴 = 2𝐸𝐼 Análise do Sistema 1, aplicar rotação unitária em B 𝐷1: Reações horizontais: 𝐻𝐴 = − 6𝐸𝐼 𝐿2 = − 6𝐸𝐼 42 = −0,375𝐸𝐼 𝐻𝐵 = 6𝐸𝐼 𝐿2 = 6𝐸𝐼 42 = 0,375𝐸𝐼 𝐻𝐶 = 0 Reações verticais: 𝑉𝐴 = 0 𝑉𝐵 = 6𝐸𝐼 𝐿2 = 6𝐸𝐼 62 = 0,1667𝐸𝐼 𝑉𝐶 = − 6𝐸𝐼 𝐿2 = − 6𝐸𝐼 62 = −0,1667𝐸𝐼 Momentos fletores: 𝑀𝐴 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 4 = 0,5𝐸𝐼 𝑀𝐵 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 4 + 4𝐸𝐼 6 = 1,667𝐸𝐼 𝑀𝐶 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 6 = 0,333𝐸𝐼 Equação de compatibilidade: Forma matricial: 𝐾𝐷 + 𝑓 = 0 [ 𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑘31 𝑘32 𝑘33 ] [ 𝐷1 𝐷2 𝐷3 ] + [ 𝑓1 𝑓2 𝑓3 ] = 0 [ 1,667𝐸𝐼 0,375𝐸𝐼 0,1667𝐸𝐼 0,375𝐸𝐼 0,5208𝐸𝐼 0 0,1667𝐸𝐼 0 0,5556𝐸𝐼 ] [ 𝜃𝐵 𝛿𝑥𝐵 𝛿𝑦𝐵 ] + [ 0 −10 6 ] = 0 Forma sistema de equações: 1,667𝐸𝐼𝐷1 + 0,375𝐸𝐼𝐷2 + 0,1667𝐸𝐼𝐷3 = 0 0,375𝐸𝐼𝐷1 + 0,5208𝐸𝐼𝐷2 − 10 = 0 0,1667𝐸𝐼𝐷1 + 0,5556𝐸𝐼𝐷3 + 6 = 0 Resolvendo o sistema: 𝐷1 = − 4,010 𝐸𝐼 𝐷2 = 22,09 𝐸𝐼 𝐷3 = − 9,597 𝐸𝐼 Momentos fletores finais: 𝑀𝐴 = 0,5𝐸𝐼 ∙ 4,010 𝐸𝐼 − 0,375 ∙ 22,09 𝐸𝐼 = −6,28𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 = 1,0𝐸𝐼 ∙ 4,010 𝐸𝐼 − 0,375 ∙ 22,09 𝐸𝐼 = 4,27𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 = −0,333𝐸𝐼 ∙ 4,010 𝐸𝐼 − 0,1667𝐸𝐼 ∙ 9,597 𝐸𝐼 = −2,94𝑘𝑁𝑚 Reações de apoio: Horizontais: 𝐻𝐴 = −6,28 − 4,27 4 = −2,64𝑘𝑁(←) 𝐻𝐶 = −10 + 2,64 = −7,36𝑘𝑁(←) Verticais: 𝑉𝐶 = 4,27 + 2,94 6 = 1,20𝑘𝑁(↑) 𝑉𝐴 = 6 − 1,20 = 4,80𝑘𝑁(↑) Diagrama dos esforços: Diagrama de esforços normais [kN]: Diagrama de esforços cortantes [kN]: Diagrama de momentos fletores [kNm]: Exercício 9 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2𝐸𝐼 4 = 0,5𝐸𝐼 𝑘𝐵 = 4𝐸𝐼 𝐿 + 3𝐸𝐼 𝐿 = 4𝐸𝐼 4 + 3𝐸𝐼 5 = 1,0𝐸𝐼 + 0,6𝐸𝐼 = 1,6𝐸𝐼 𝑘𝐶 = 0 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 30 ∙ 4 8 = 15,00𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = − 30 ∙ 4 8 + 18 ∙ 52 8 = −15,00 + 56,25 = 41,25𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = 0 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 1,6𝐸𝐼 𝑓10 = 41,25𝑘𝑁𝑚 Equação de compatibilidade: 𝑘11𝐷1 + 𝑓10 = 0 1,6𝐸𝐼𝐷1 + 41,25 = 0 𝐷1 = − 25,78125 𝐸𝐼 Momentos finais: 𝑀𝐴 = −15,00 + 0,5𝐸𝐼 ∙ 25,78125 𝐸𝐼 = −2,11𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 = −15,00 − 1,0𝐸𝐼 ∙ 25,78125 𝐸𝐼 = −40,78𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 = 0 Reações de apoio: 𝐻𝐴 = −30 ∙ 2 − 2,11 + 40,78 4 = −5,33𝑘𝑁(←) 𝐻𝐶 = −30 + 5,33 = −24,67𝑘𝑁(←) 𝑉𝐴 = 18 ∙ 5 ∙ 2,5 + 40,78 5 = 53,16𝑘𝑁(↑) 𝑉𝐶 = 18 ∙ 5 − 53,16 = 36,84𝑘𝑁(↑) Momentos finais: 𝑀𝐴 = 16000 ∙ 7,749 ∙ 10−5 = 1,24𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐵 = −32000 ∙ 7,749 ∙ 10−5 = −2,48𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸 = 16000 ∙ 1,384 ∙ 10−4 = 2,21𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐶𝑖𝑛𝑓 = −32000 ∙ 1,384 ∙ 10−4 = −4,43𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐶𝑑𝑖𝑟 = −18,00 + 24000 ∙ 1,384 ∙ 10−4 = −14,68𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐶𝑒𝑠𝑞 = 4,43 − 14,68 = −10,25𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐷 = 0 Reações de apoio: 𝐻𝐴 = 1,24 + 2,48 6 = 0,62𝑡𝑓(→) 𝐻𝐸 = 2,21 + 4,43 6 = 1,11𝑡𝑓(→) 𝐻𝐷 = −0,62 − 1,11 = −1,73𝑡𝑓(←) 𝑉𝐴 = 6 ∙ 4 + 2,48 − 10,26 8 = 2,03𝑡𝑓(↑) 𝑉𝐸 = 6 ∙ 4 − 2,48 + 10,26 8 + 4 ∙ 6 ∙ 3 + 10,26 6 = 18,42𝑡𝑓(↑) 𝑉𝐷 = 6 + 4 ∙ 6 − 2,03 − 18,42 = 9,55𝑡𝑓(↑) Diagrama de esforços normais [tf]: Diagrama de esforços cortantes [tf]: Diagrama de momentos fletores [tfm]: 𝑀𝐵𝐶 = −2,48 + 2,03 ∙ 4 = 5,63𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐶𝐷 = −14,68 + 14,45 ∙ 3,6125 2 = 11,41𝑡𝑓𝑚 Exercício 11 – Método dos Deslocamentos: Rigidez: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 106 ∙ 5 ∙ 10−4 = 1000𝑡𝑓𝑚2 Sistema 1, aplicar rotação unitária em B: 𝑘𝐴 = 0 𝑘𝐵 = 3𝐸𝐼 𝐿 + 4𝐸𝐼 𝐿 = 3 ∙ 1000 4 + 4 ∙ 1000 6 = 750 + 666,667 = 1416,667𝑡𝑓𝑚 𝑘𝐶 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2 ∙ 1000 6 = 333,333𝑡𝑓𝑚 Sistema 2, aplicar rotação unitária em C: 𝑘𝐵 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2 ∙ 1000 6 = 333,333𝑡𝑓𝑚 𝑘𝐶 = 4𝐸𝐼 𝐿 = 4 ∙ 1000 6 + 4 ∙ 1000 8 = 666,667 + 500 = 1166,667𝑡𝑓𝑚 𝑘𝐷 = 2𝐸𝐼 𝐿 = 2 ∙ 1000 8 = 250𝑡𝑓𝑚 Sistema 0, esforços de engastamento perfeito: 𝑀𝐸𝑃𝐴 = 0𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐵 = 4 ∙ 6 8 = 3,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐶 = − 4 ∙ 6 8 = −3,00𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝑃𝐷 = 0𝑡𝑓𝑚 Coeficientes de compatibilidade: 𝑘11 = 1416,667𝑡𝑓𝑚 𝑘12 = 333,333𝑡𝑓𝑚 𝑓10 = 3,00𝑡𝑓𝑚 𝑘21 = 333,333𝑡𝑓𝑚 𝑘22 = 1166,667𝑡𝑓𝑚 𝑓20 = −3,00𝑡𝑓𝑚 Equação de compatibilidade: 𝑘11𝐷1 + 𝑘12𝐷2 + 𝑓10 = 0 𝑘21𝐷1 + 𝑘22𝐷2 + 𝑓20 = 0 1416,667𝐷1 + 333,333𝐷2 + 3,00 = 0 333,333𝐷1 + 1166,667𝐷2 − 3,00 = 0 𝐷1 = −3,560 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑 𝐷2 = 3,165 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑