Программирование различных типов задач реферат по информатике , Сочинения из Информатика

Скачай Программирование различных типов задач реферат по информатике и еще Сочинения в формате PDF Информатика только на Docsity! МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ №64 Программирование различных типов задач Экзаменационный реферат по информатике Медведев Александр Валерьевич, 11Б Кушникова Валерия Петровна, учитель Липецк 2007 Содержание I. Введение II. Основная часть: 1.Способы сортировки 2. Теория чисел 3. Задача «Красивые числа» III. Список используемой литературы Сортировка Сортировка является наиболее фундаментальной алгоритмической задачей в теории вычислительных машин и систем по двум различным причинам. Во-первых, сортировка – это полезная операция, которая эффективно решает многие задачи, с которыми встречается каждый программист. Во-вторых, были разработаны буквально десятки различных алгоритмов сортировки, каждый из которых основывается на определенной хитрой идее или наблюдении. Большинство примеров разработки алгоритмов ведет к интересным алгоритмам, включающим «разделяй и властвуй», рандомизацию, инкрементную вставку и продвинутые структуры данных. Из свойств этих алгоритмов следует множество интересных задач по программированию. Ключом к пониманию сортировки является понимание того, как она может быть использована для решения многих важных задач программирования. Рассмотрим некоторые случаи применения сортировки. • Проверка уникальности. Как мы можем проверить, все ли элементы данного набора объектов S являются различными? Отсортируем их либо в возрастающем, либо в убывающем порядке, так что любые повторяющиеся объекты будут следовать друг за другом. После этого один проход по всем элементам с проверкой равенства S[i]=s[i+1] для любого 1≤i<n решает поставленную задачу. • Удаление повторяющихся элементов. Как мы можем удалить все копии, кроме одной, любого из повторяющихся элементов S? Сортировка и чистка снова решают задачу. Обратите внимание, что чистку проще всего производить, использую два индекса – back, указывающий на последний элемент в очищенной части массива, и i, указывающий на следующий элемент, который нужно рассмотреть. Если S[back]<>S[i], увеличиваем back и копируем S[i] в S[back]. • Распределение приоритетов событий. Предположим, что у нас имеется список работ, которые необходимо сделать, и для каждой определен свой собственный срок сдачи. Сортировка объектов по времени сдачи (или по аналогичному критерию) расположит работы в том порядке, в котором их необходимо делать. Очереди по приоритетам удобны для работы с календарями и расписаниями, когда имеется операции вставки и удаления, но сортировка удобна в том случае, когда набор событий не меняется в ходе выполнения. • Медиана/выбор. Предположим, что мы хотим найти k-й по величине объект в S. После сортировки объектов в порядке возрастания нужный нам будет находится в ячейке S[k]. В определенных случаях этот подход может быть использован для нахождения наименьшего, наибольшего и медианного объекта. • Расчет частоты. Какой элемент чаще всего встречается в S? После сортировки линейный проход позволяет нам посчитать число раз, которое встречается каждый элемент. • Восстановление первоначального порядка. Как мы можем восстановить первоначальное расположение набора объектов, после того как мы переставили их для некоторых целей? Добавим дополнительное поле к записи данных объекта, такое что i-й записи это поле равняется i. Сохранив это поле во время всех перестановок, мы сможем отсортировать по нему тогда, когда нам потребуется восстановить первоначальный порядок. • Создание пересечения/объединения. Как мы можем рассчитать пересечение или объединение двух контейнеров? Если они оба отсортированы, мы может объединить их, если будем выбирать наименьший из двух ведущих элементов, помещать его в новое множество, если хотим, а затем удалять из соответствующего списка. • Поиск необходимой пары. Как мы можем проверить, существуют ли два целых числа x,yS таких ,что x+y=z для какого-то заданного z? Вместо того, чтобы перебирать все возможные пары, отсортируем числа в порядке возрастания. С ростом S[i], при увеличении I, его возможный партнер j, такой что S[j]=z-S[i], уменьшается. Таким образом, уменьшая j соответствующим образом при увеличении I, мы получаем изящное решение. • Эффективный поиск. Как мы можем эффективно проверить, принадлежит ли элемент s множеству S? Конечно, упорядочивание множества с целью применения эффективного бинарного поиска – это, наверное, наиболее стандартное приложение сортировки. Просто не забывайте остальные! Рассмотрим несколько достаточно поучительных алгоритмов сортировки Сортировка пузырьком Расположим массив сверху вниз, от нулевого элемента - к последнему. Идея метода: шаг сортировки состоит в проходе снизу вверх по массиву. По пути просматриваются пары соседних элементов. Если элементы некоторой пары находятся в неправильном порядке, то меняем их местами. После нулевого прохода по массиву "вверху" оказывается самый "легкий" элемент - отсюда аналогия с пузырьком. Следующий проход делается до второго сверху элемента, таким образом второй по величине элемент поднимается на правильную позицию... Делаем проходы по все уменьшающейся нижней части массива до тех пор, пока в ней не останется только один элемент. На этом сортировка заканчивается, так как последовательность упорядочена по возрастанию. Type arrType = Array[1 .. n] Of Integer; Procedure Bubble(Var ar: arrType; n: integer); Метод последовательного поиска минимумов Теория: Просматривается весь массив, ищется минимальный элемент и ставится на место первого, "старый" первый элемент ставится на место найденного type TArr = array[1..100] of integer; var mass1 : TArr; n : integer; procedure NextMinSearchSort(var mass:TArr; size:integer); var i, j, Nmin, temp: integer; begin for i:=1 to size-1 do begin nmin:=i; for j:=i+1 to size do if mass[j]<mass[Nmin] then Nmin:=j; temp:=mass[i]; mass[i]:=mass[Nmin]; mass[Nmin]:=temp; end; end; Сортировка вставками Сортировка простыми вставками в чем-то похожа на вышеизложенные методы. Аналогичным образом делаются проходы по части массива, и аналогичным же образом в его начале "вырастает" отсортированная последовательность... Однако в сортировке пузырьком или выбором можно было четко заявить, что на i-м шаге элементы a[0]...a[i] стоят на правильных местах и никуда более не переместятся. Здесь же подобное утверждение будет более слабым: последовательность a[0]...a[i] упорядочена. При этом по ходу алгоритма в нее будут вставляться (см. название метода) все новые элементы. Будем разбирать алгоритм, рассматривая его действия на i-м шаге. Как говорилось выше, последовательность к этому моменту разделена на две части: готовую a[0]...a[i] и неупорядоченную a[i+1]...a[n]. На следующем, (i +1)-м каждом шаге алгоритма берем a[i+1] и вставляем на нужное место в готовую часть массива. Поиск подходящего места для очередного элемента входной последовательности осуществляется путем последовательных сравнений с элементом, стоящим перед ним. В зависимости от результата сравнения элемент либо остается на текущем месте(вставка завершена), либо они меняются местами и процесс повторяется. Таким образом, в процессе вставки мы "просеиваем" элемент x к началу массива, останавливаясь в случае, когда 1. Hайден элемент, меньший x или 2. Достигнуто начало последовательности. Type arrType = Array[1 .. n] Of Integer; Procedure Insert(Var ar: arrType; n: Integer); Var i, j, T: Integer; Begin For i := 1 To n Do Begin T := ar[i]; j := Pred(i); While (T < ar[j]) and (j > 0) Do Begin ar[Succ(j)] := ar[j]; Dec(j); End; ar[Succ(j)] := T; End; End; Сложность О(n^2) Распределяющая сортировка - RadixSort - цифровая – поразрядная Пусть имеем максимум по k байт в каждом ключе (хотя за элемент сортировки вполне можно принять и что-либо другое, например слово - двойной байт, или буквы, если сортируются строки). k должно быть известно заранее, до сортировки. Разрядность данных (количество возможных значений элементов) - m - также должна быть известна заранее и постоянна. Если мы сортируем слова, то элемент сортировки - буква, m = 33. Если в самом длинном слове 10 букв, k = 10. Обычно мы будем сортировать данные по ключам из k байт, m=256. Пусть у нас есть массив source из n элементов по одному байту в каждом. Для примера можете выписать на листочек массив source = <7, 9, 8, 5, 4, 7, 7>, и проделать с ним все операции, имея в виду m=9. I. Составим таблицу распределения. В ней будет m (256) значений и заполняться она будет так: for i := 0 to Pred(255) Do distr[i]:=0; for i := 0 to Pred(n) Do distr[source[i]] := distr[[i]] + 1; Для нашего примера будем иметь distr = <0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 3, 1, 1>, то есть i-ый элемент distr[] - количество ключей со значением i. II. Заполним таблицу индексов: index: array[0 .. 255] of integer; index[0]:=0; for i := 1 to Pred(255) Do index[i]=index[i-1]+distr[i-1]; index[source[i]] := index[source[i]]+1; end; end; var b: arrType; begin RadixSort(a, b); end. Теория чисел. Теория чисел является, возможно, самым интересным и красивым разделом математики. Доказательство Евклидом существования бесконечного количества простых чисел остается таким же четким и ясным сегодня, каким оно было более двух тысяч лет назад. Такие невинные вопросы, как существуют ли решения уравнения аn+bn=cn для целых a,b,c и n>2, часто оказывается совсем не такими невинными. Более того, это формулировка великой теоремы Ферма! Компьютеры уже долгое время используют в исследованиях теории чисел. Проведение некоторых вычислений, связанных с теорией, для больших чисел требует значительной эффективности. К счастью, существует множество алгоритмов, которые могут помочь в этом. Простые числа Целое число р>1 называют простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Говоря другими словами, если р – простое число, то равенство р=a*b для целых a≤b эквивалентно тому, что a=1 и b=p. Первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23 и 29. Мы говорим, что число р является множителем числа х, если оно входит в его разложение на простые множители. Любое число не являющееся простым, называется составным. Нахождение количества делителей и самих делители числа а. Для этого будем перебирать все числа i, подходящие на роль делителя. Очевидно, что 1 <= i <= a. Чтобы ускорить работу алгоритма заметим, что если i – делитель а, то a/i – тоже делитель a, и к тому же одно из чисел i и a/i не превышает Sqrt(a) (если предположить противное, то получим a = i*(a/i) > Sqrt(a)*Sqrt(a) = a – противоречие). Поэтому достаточно перебирать числа i в пределах от 1 до Trunc(Sqrt(a)) и при нахождении, что некоторое i – делитель выдавать, что a/i – тоже делитель и увеличивать количество делителей на 2. Этот алгоритм не будет работать, когда a – точный квадрат, что легко исправляется. Приведенные соображения реализованы в алгоритме (2): c:= 0; For i:= 1 to Trunc(Sqrt(a)) do If a mod i = 0 then begin If i*i = a then begin c:= c+1; WriteLn(‘Найден делитель ’, i); end else begin c:= c+2; if i=a div i then c:=c-1; WriteLn(‘Найден делитель ‘, i); WriteLn(‘Найден делитель ‘, a div i); end; end; WriteLn(‘Количество делителей ‘, c); Для того, чтобы проверить, является ли число простым, нужно посчитать количество его делителей, используя алгоритм 2. Нахождение всех простых чисел, не превосходящих заданное число N. Возможны несколько подходов к решению этой задачи: 1) Метод Эратосфена. Выпишем все числа от 2 до N. Затем, пока есть числа, которые не вычеркнуты и не обведены, делаем следующий набор операций: обводим минимальное из оставшихся чисел, вычеркиваем все числа, кратные ему. После окончания работы алгоритма все простые числа будут обведены. Доказательство. Данный алгоритм не может вычеркнуть простое число, так как если число вычеркивается, то оно заведомо делится на какое-то другое, не равное ему. Теперь докажем по индукции, что для любого N алгоритм обводит все простые числа, не превосходящие N. База: при N = 2 утверждение верно, так как 2 будет обведено на 1-м шаге. Индуктивный переход: пусть утверждение верно при 2 <= N <= k-1. Рассмотрим N = k. Если N – составное, то у числа N есть простой делитель t, в качестве которого можно взять, например, его минимальный делитель (почему?). По индукции, на каком-то шаге число t будет обведено, на этом же шаге будет вычеркнуто N. Если же N – простое, то оно не может быть вычеркнуто, поэтому на каком- то шаге станет минимальным из оставшихся и будет обведено. Утверждение доказано. 1) НОД(a, b) = НОД(b, a) – следует из определения. 2) НОД(a, 0) = a – очевидно. 3) НОД(a, b) = НОД(a mod b, b). Доказательство. Докажем сначала, что НОД(a, b) = НОД(a-b, b). Пусть c – общий делитель a и b. Тогда a = kc, b = lc, a-b = (k-l)c, поэтому с – общий делитель a-b и b. Аналогично показывается, что если c – общий делитель (a- b) и b, то с – общий делитель a и b. Поэтому множества общих делителей пар (a, b) и (a-b, b) совпадают. А значит НОД(a,b) = НОД(a-b, b). Применяя эту формулу a div b раз, получим требуемое. Для нахождения НОД можно использовать следующий алгоритм Евклида: While (a<>0) and (b<>0) do If a>b then a:= a mod b else b:= b mod a; nod:= a+b; Корректность этого алгоритма следует из вышеуказанных свойств НОДа. Справедливо следующее утверждение: существует целые числа u и v такие, что au+bv = НОД(a, b). Доказательство. Находя НОД по алгоритму Евклида, мы, по сути дела, записали следующие равенства: a = q1b+r1, b = q2r1+r2, …, rn = qn+2rn+1+rn +2, rn+1 = qn+3rn+2. Причем НОД(a, b) = rn+2. Развернем эту цепочку равенств в другую сторону: НОД(a, b) = rn+2 = rn-qn+2rn+1 = rn-qn+2(rn-1- qn+1rn) = -qn+2rn-1+(1+qn+2qn+1)rn = krn-1+lrn = … = Ab+Br1 = Ab + B(a- q1b) = Ba + (A-Bq1)b = au + bv, что и требовалось доказать. Из этого доказательства следует алгоритм нахождения u и v по a и b. И в заключении рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из олимпиад прошлых лет. Красивые числа Имя входного файла: numbers.in Имя выходного файла: numbers.out Максимальное время работы на одном тесте: 1 секунда Максимальный объем используемой памяти: 64 мегабайта Саша считает красивыми числа, десятичная запись которых не содержит других цифр, кроме 0 и k (1 ≤ k ≤ 9). Например, если k = 2, то такими числами будут 2, 20, 22, 2002 и т.п. Остальные числа Саше не нравятся, поэтому он представляет их в виде суммы красивых чисел. Например, если k = 3, то число 69 можно представить так: 69 = 33 + 30 + 3 + 3. Однако, не любое натуральное число можно разложить в сумму красивых целых чисел. Например, при k = 5 число 6 нельзя представить в таком виде. Но если использовать красивые десятичные дроби, то это можно сделать: 6 = 5.5 + 0.5. Недавно Саша изучил периодические десятичные дроби и начал использовать и их в качестве слагаемых. Например, если k = 3, то число 43 можно разложить так: 43 = 33.(3) + 3.(3) + 3 + 3.(3). Оказывается, любое натуральное число можно представить в виде суммы положительных красивых чисел. Но такое разложение не единственно — например, число 69 можно также представить и как 69 = 33 + 33 + 3. Сашу заинтересовало, какое минимальное количество слагаемых требуется для представления числа n в виде суммы красивых чисел. Требуется написать программу, которая для заданных чисел n и k находит разложение числа n в сумму положительных красивых чисел с минимальным количеством слагаемых. Формат входных данных Во входном файле записаны два натуральных числа n и k (1 ≤ n ≤ 109; 1≤ k ≤ 9). Формат выходных данных В выходной файл выведите разложение числа n в сумму положительных чисел, содержащих только цифры 0 и k, количество слагаемых в котором минимально. Разложение должно быть представлено в виде: n=a1+a2+...+am Слагаемые a1, a2, ..., am должны быть выведены без ведущих нулей, без лишних нулей в конце дробной части. Запись каждого слагаемого должна быть такой, что длины периода и предпериода дробной части имеют минимально возможную длину. Например, неправильно выведены числа: 07.7; 2.20; 55.5(5); 0.(66); 7.(0); 7. ; .5; 0.33(03). Их следует выводить так: 7.7; 2.2; 55.(5); 0.(6); 7; 7; 0.5; 0.3(30). Предпериод и период каждого из выведенных чисел должны состоять не более чем из 100 цифр. Гарантируется, что хотя бы одно такое решение существует. Если искомых решений несколько, выведите любое. Порядок слагаемых может быть произвольным. Выходной файл не должен содержать пробелов. Примеры numbers.in numbers.out 69 3 69=33+33+3 6 5 6=5.5+0.5 10 9 10=9.(9)